# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/12/mathematics/analytic-geometry/hyperbola
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/12/mathematics/analytic-geometry/hyperbola/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
  title: "Hiperbola",
  description: "Kuasai konsep hiperbola: fokus, asimtot, dan persamaan x²/a² - y²/b² = 1. Pelajari eksentrisitas, puncak, dan selesaikan soal dengan contoh langkah demi langkah.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "05/26/2025",
  subject: "Geometri Analitik",
};

import { getColor } from "@repo/design-system/lib/color";
import { LineEquation } from "@repo/design-system/components/contents/line-equation";

## Apa itu Hiperbola?

Kamu pernah lihat bentuk menara pendingin di pembangkit listrik? Atau mungkin pernah memperhatikan bayangan cahaya senter di dinding yang membentuk kurva terbuka? Nah, bentuk-bentuk seperti itu adalah contoh **hiperbola** dalam kehidupan nyata!

Hiperbola adalah kurva yang terbentuk ketika sebuah bidang memotong kerucut ganda dengan sudut tertentu. Berbeda dengan elips yang membentuk kurva tertutup, hiperbola justru terbentuk dari **dua kurva terpisah** yang saling berhadapan.

Secara matematis, hiperbola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik yang **selisih absolut jaraknya terhadap dua titik tetap selalu konstan**. Kedua titik tetap ini disebut **fokus** hiperbola. Untuk setiap titik <InlineMath math="P" /> pada hiperbola, selisih <InlineMath math="|PF_1 - PF_2| = 2a" /> (konstan), sedangkan di [elips](/subject/high-school/12/mathematics/analytic-geometry/ellipse) jumlah jaraknya yang konstan: <InlineMath math="PF_1 + PF_2 = 2a" />.

<LineEquation
  title="Konsep Dasar Hiperbola"
  description="Hiperbola dengan dua fokus menunjukkan selisih jarak yang konstan"
  data={[
    {
      points: (() => {
        const points = [];
        const a = 3;
        const b = 2;
        const c = Math.sqrt(a * a + b * b);
        
        // Right branch of hyperbola
        for (let t = -2; t <= 2; t += 0.1) {
          const x = a * Math.cosh(t);
          const y = b * Math.sinh(t);
          points.push({ x, y, z: 0 });
        }
        return points;
      })(),
      color: getColor("PURPLE"),
      showPoints: false,
    },
    {
      points: (() => {
        const points = [];
        const a = 3;
        const b = 2;
        
        // Left branch of hyperbola
        for (let t = -2; t <= 2; t += 0.1) {
          const x = -a * Math.cosh(t);
          const y = b * Math.sinh(t);
          points.push({ x, y, z: 0 });
        }
        return points;
      })(),
      color: getColor("PURPLE"),
      showPoints: false,
    },
    {
      points: (() => {
        const a = 3;
        const b = 2;
        const c = Math.sqrt(a * a + b * b);
        return [
          { x: -c, y: 0, z: 0 },
          { x: c, y: 0, z: 0 }
        ];
      })(),
      color: getColor("CYAN"),
      showPoints: true,
      labels: [
        { text: "F₁", at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
        { text: "F₂", at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] }
      ],
    },
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 }
      ],
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: true,
      labels: [{ text: "O", at: 0, offset: [-0.3, -0.3, 0] }],
    },
    {
      points: [
        { x: -6, y: 0, z: 0 },
        { x: 6, y: 0, z: 0 }
      ],
      color: getColor("ROSE"),
      showPoints: false,
      smooth: false,
    },
    {
      points: [
        { x: 0, y: -4, z: 0 },
        { x: 0, y: 4, z: 0 }
      ],
      color: getColor("ROSE"),
      showPoints: false,
      smooth: false,
    },
  ]}
  cameraPosition={[0, 0, 12]}
  showZAxis={false}
/>

Lihat visualisasi di atas! Hiperbola punya dua cabang yang terpisah. Untuk setiap titik <InlineMath math="P" /> yang ada di hiperbola, selisih jarak dari <InlineMath math="P" /> ke kedua fokus <InlineMath math="F_1" /> dan <InlineMath math="F_2" /> selalu konstan.

## Komponen Hiperbola

Sebelum masuk ke rumus-rumus, yuk kenalan dulu sama bagian-bagian penting dari hiperbola. Setiap komponen ini punya peran tersendiri dalam menentukan bentuk dan sifat hiperbola.

<LineEquation
  title="Bagian-bagian Hiperbola"
  description="Komponen penting hiperbola dengan sumbu utama horizontal."
  data={[
    {
      points: (() => {
        const points = [];
        const a = 3;
        const b = 2.5;
        
        // Right branch
        for (let t = -1.5; t <= 1.5; t += 0.1) {
          const x = a * Math.cosh(t);
          const y = b * Math.sinh(t);
          points.push({ x, y, z: 0 });
        }
        return points;
      })(),
      color: getColor("INDIGO"),
      showPoints: false,
    },
    {
      points: (() => {
        const points = [];
        const a = 3;
        const b = 2.5;
        
        // Left branch
        for (let t = -1.5; t <= 1.5; t += 0.1) {
          const x = -a * Math.cosh(t);
          const y = b * Math.sinh(t);
          points.push({ x, y, z: 0 });
        }
        return points;
      })(),
      color: getColor("INDIGO"),
      showPoints: false,
    },
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 }
      ],
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: true,
      labels: [{ text: "Pusat", at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }],
    },
    {
      points: (() => {
        const a = 3;
        const b = 2.5;
        const c = Math.sqrt(a * a + b * b);
        return [
          { x: -c, y: 0, z: 0 },
          { x: c, y: 0, z: 0 }
        ];
      })(),
      color: getColor("CYAN"),
      showPoints: true,
      labels: [
        { text: "F₁", at: 0, offset: [-0.5, 0.5, 0] },
        { text: "F₂", at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }
      ],
    },
    {
      points: [
        { x: -3, y: 0, z: 0 },
        { x: 3, y: 0, z: 0 }
      ],
      color: getColor("TEAL"),
      showPoints: true,
      labels: [
        { text: "A₁", at: 0, offset: [-0.5, 0.5, 0] },
        { text: "A₂", at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }
      ],
    },
    {
      points: [
        { x: -6, y: -5, z: 0 },
        { x: 6, y: 5, z: 0 }
      ],
      color: getColor("AMBER"),
      showPoints: false,
      smooth: false,
      labels: [{ text: "Asimtot", at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
    },
    {
      points: [
        { x: -6, y: 5, z: 0 },
        { x: 6, y: -5, z: 0 }
      ],
      color: getColor("AMBER"),
      showPoints: false,
      smooth: false,
      labels: [{ text: "Asimtot", at: 0, offset: [-0.5, 0.5, 0] }],
    },
  ]}
  cameraPosition={[0, 0, 15]}
  showZAxis={false}
/>

Komponen-komponen hiperbola yang perlu kamu ketahui:

1. **Pusat hiperbola** adalah titik tengah antara kedua fokus, biasanya dilambangkan dengan <InlineMath math="O" />.

2. **Fokus** (<InlineMath math="F_1" /> dan <InlineMath math="F_2" />) adalah dua titik tetap yang menjadi acuan definisi hiperbola. Jarak antara kedua fokus disebut jarak fokal.

3. **Puncak** (<InlineMath math="A_1" /> dan <InlineMath math="A_2" />) adalah titik-titik terdekat antara kedua cabang hiperbola. Garis yang menghubungkan kedua puncak disebut sumbu utama.

4. **Sumbu utama** adalah garis yang melewati pusat dan kedua fokus hiperbola.

5. **Asimtot** adalah garis-garis yang didekati oleh cabang hiperbola saat menuju tak hingga. Hiperbola tidak pernah menyentuh asimtotnya, tapi semakin jauh dari pusat, kurva semakin mendekati garis asimtot.

> Perbedaan utama hiperbola dengan elips: hiperbola punya asimtot dan terdiri dari dua cabang terpisah, sedangkan elips adalah kurva tertutup tanpa asimtot.

## Persamaan Hiperbola

Ada beberapa bentuk tergantung orientasi dan posisi pusatnya. Kita akan bahas dua kasus:

### Pusat di Titik Asal

Kalau pusat hiperbola ada di <InlineMath math="O(0,0)" />, ada dua kemungkinan orientasi:

<LineEquation
  title="Sumbu Utama Horizontal"
  description={<>Hiperbola <InlineMath math="\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1" /> dengan sumbu utama horizontal.</>}
  data={[
    {
      points: (() => {
        const points = [];
        const a = 3;
        const b = 2;
        
        // Right branch
        for (let t = -1.8; t <= 1.8; t += 0.1) {
          const x = a * Math.cosh(t);
          const y = b * Math.sinh(t);
          points.push({ x, y, z: 0 });
        }
        return points;
      })(),
      color: getColor("VIOLET"),
      showPoints: false,
    },
    {
      points: (() => {
        const points = [];
        const a = 3;
        const b = 2;
        
        // Left branch
        for (let t = -1.8; t <= 1.8; t += 0.1) {
          const x = -a * Math.cosh(t);
          const y = b * Math.sinh(t);
          points.push({ x, y, z: 0 });
        }
        return points;
      })(),
      color: getColor("VIOLET"),
      showPoints: false,
    },
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 }
      ],
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: true,
      labels: [{ text: "O(0,0)", at: 0, offset: [-0.8, -0.5, 0] }],
    },
    {
      points: (() => {
        const a = 3;
        const b = 2;
        const c = Math.sqrt(a * a + b * b);
        return [
          { x: -c, y: 0, z: 0 },
          { x: c, y: 0, z: 0 }
        ];
      })(),
      color: getColor("CYAN"),
      showPoints: true,
      labels: [
        { text: "F₁", at: 0, offset: [-0.5, 0.5, 0] },
        { text: "F₂", at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }
      ],
    },
    {
      points: [
        { x: -3, y: 0, z: 0 },
        { x: 3, y: 0, z: 0 }
      ],
      color: getColor("TEAL"),
      showPoints: true,
      labels: [
        { text: "A₁", at: 0, offset: [-0.5, 0.5, 0] },
        { text: "A₂", at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }
      ],
    },
    {
      points: [
        { x: -6, y: -4, z: 0 },
        { x: 6, y: 4, z: 0 }
      ],
      color: getColor("AMBER"),
      showPoints: false,
      smooth: false,
    },
    {
      points: [
        { x: -6, y: 4, z: 0 },
        { x: 6, y: -4, z: 0 }
      ],
      color: getColor("AMBER"),
      showPoints: false,
      smooth: false,
    },
  ]}
  cameraPosition={[0, 0, 12]}
  showZAxis={false}
/>

Ketika sumbu utama sejajar dengan sumbu <InlineMath math="X" /> (horizontal), persamaan hiperbola adalah:

<BlockMath math="\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1" />

Kalau kita visualisasikan, akan terlihat seperti ini:

<LineEquation
  title="Sumbu Utama Vertikal"
  description={<>Hiperbola <InlineMath math="\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1" /> dengan sumbu utama vertikal.</>}
  data={[
    {
      points: (() => {
        const points = [];
        const a = 3;
        const b = 2;
        
        // Top branch
        for (let t = -1.8; t <= 1.8; t += 0.1) {
          const x = b * Math.sinh(t);
          const y = a * Math.cosh(t);
          points.push({ x, y, z: 0 });
        }
        return points;
      })(),
      color: getColor("TEAL"),
      showPoints: false,
    },
    {
      points: (() => {
        const points = [];
        const a = 3;
        const b = 2;
        
        // Bottom branch
        for (let t = -1.8; t <= 1.8; t += 0.1) {
          const x = b * Math.sinh(t);
          const y = -a * Math.cosh(t);
          points.push({ x, y, z: 0 });
        }
        return points;
      })(),
      color: getColor("TEAL"),
      showPoints: false,
    },
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 }
      ],
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: true,
      labels: [{ text: "O(0,0)", at: 0, offset: [-0.8, -0.5, 0] }],
    },
    {
      points: (() => {
        const a = 3;
        const b = 2;
        const c = Math.sqrt(a * a + b * b);
        return [
          { x: 0, y: -c, z: 0 },
          { x: 0, y: c, z: 0 }
        ];
      })(),
      color: getColor("CYAN"),
      showPoints: true,
      labels: [
        { text: "F₁", at: 0, offset: [0.5, -0.5, 0] },
        { text: "F₂", at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }
      ],
    },
    {
      points: [
        { x: 0, y: -3, z: 0 },
        { x: 0, y: 3, z: 0 }
      ],
      color: getColor("VIOLET"),
      showPoints: true,
      labels: [
        { text: "A₁", at: 0, offset: [0.5, -0.5, 0] },
        { text: "A₂", at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }
      ],
    },
    {
      points: [
        { x: -4, y: -6, z: 0 },
        { x: 4, y: 6, z: 0 }
      ],
      color: getColor("AMBER"),
      showPoints: false,
      smooth: false,
    },
    {
      points: [
        { x: -4, y: 6, z: 0 },
        { x: 4, y: -6, z: 0 }
      ],
      color: getColor("AMBER"),
      showPoints: false,
      smooth: false,
    },
  ]}
  cameraPosition={[0, 0, 12]}
  showZAxis={false}
/>

Ketika sumbu utama sejajar dengan sumbu <InlineMath math="Y" /> (vertikal), persamaan hiperbola adalah:

<BlockMath math="\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1" />

### Pusat Berpindah

Kalau pusat hiperbola bukan di titik asal, tapi di titik <InlineMath math="(h, k)" />, persamaannya menjadi:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \quad \text{(sumbu utama horizontal)}" />
  <BlockMath math="\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1 \quad \text{(sumbu utama vertikal)}" />
</div>

## Sifat Penting Hiperbola

Ada beberapa hubungan matematika yang selalu berlaku untuk setiap hiperbola:

<BlockMath math="c^2 = a^2 + b^2" />

di mana:
- <InlineMath math="a" /> adalah jarak dari pusat ke puncak (semi-sumbu utama)
- <InlineMath math="b" /> adalah konstanta yang menentukan bentuk hiperbola (semi-sumbu konjugat)
- <InlineMath math="c" /> adalah jarak dari pusat ke fokus

Hubungan ini berbeda dengan elips yang menggunakan <InlineMath math="c^2 = a^2 - b^2" />.

**Eksentrisitas** hiperbola didefinisikan sebagai:

<BlockMath math="e = \frac{c}{a}" />

Nilai eksentrisitas hiperbola selalu <InlineMath math="e > 1" />. Ini karena <InlineMath math="c > a" /> (dari hubungan <InlineMath math="c^2 = a^2 + b^2" />, maka <InlineMath math="c = \sqrt{a^2 + b^2} > a" />). Semakin besar nilai <InlineMath math="e" />, hiperbola semakin "terbuka" atau lebar. Sebagai perbandingan: lingkaran memiliki <InlineMath math="e = 0" />, elips memiliki <InlineMath math="0 < e < 1" />, parabola memiliki <InlineMath math="e = 1" />, dan hiperbola memiliki <InlineMath math="e > 1" />.

**Persamaan asimtot** untuk hiperbola dengan pusat di <InlineMath math="(0,0)" />:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="y = \pm \frac{b}{a}x \quad \text{(sumbu utama horizontal)}" />
  <BlockMath math="y = \pm \frac{a}{b}x \quad \text{(sumbu utama vertikal)}" />
</div>

> Asimtot adalah "panduan" bagi cabang hiperbola. Semakin jauh dari pusat, kurva hiperbola semakin mendekati garis asimtot, tapi tidak pernah menyentuhnya.

## Latihan

1. Tentukan persamaan hiperbola dengan pusat di <InlineMath math="(0,0)" />, puncak di <InlineMath math="(\pm 2, 0)" />, dan fokus di <InlineMath math="(\pm 3, 0)" />.

2. Diketahui hiperbola <InlineMath math="\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{9} = 1" />. Tentukan koordinat fokus, eksentrisitas, dan persamaan asimtot.

3. Sebuah hiperbola memiliki pusat di <InlineMath math="(1, -2)" />, sumbu utama horizontal, <InlineMath math="a = 3" />, dan <InlineMath math="b = 4" />. Tentukan persamaan hiperbola tersebut.

4. Tentukan persamaan asimtot dari hiperbola <InlineMath math="\frac{(y+1)^2}{4} - \frac{(x-2)^2}{9} = 1" />.

### Kunci Jawaban

1. **Penyelesaian**:

   Diketahui:
   - Pusat di <InlineMath math="(0,0)" />
   - Puncak di <InlineMath math="(\pm 2, 0)" />, jadi <InlineMath math="a = 2" />
   - Fokus di <InlineMath math="(\pm 3, 0)" />, jadi <InlineMath math="c = 3" />
   - Sumbu utama horizontal (karena puncak dan fokus di sumbu <InlineMath math="X" />)
   
   Gunakan hubungan <InlineMath math="c^2 = a^2 + b^2" />:
   
   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="3^2 = 2^2 + b^2" />
     <BlockMath math="9 = 4 + b^2" />
     <BlockMath math="b^2 = 5" />
   </div>
   
   Persamaan hiperbola dengan sumbu utama horizontal:
   
   <BlockMath math="\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1" />

2. **Penyelesaian**:

   Dari persamaan <InlineMath math="\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{9} = 1" />:
   - <InlineMath math="a^2 = 25" />, jadi <InlineMath math="a = 5" />
   - <InlineMath math="b^2 = 9" />, jadi <InlineMath math="b = 3" />
   
   Karena bentuk <InlineMath math="\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1" />, sumbu utama horizontal.
   
   Hitung <InlineMath math="c" />:
   
   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="c^2 = a^2 + b^2 = 25 + 9 = 34" />
     <BlockMath math="c = \sqrt{34} \approx 5{,}831" />
   </div>
   
   Koordinat fokus: <InlineMath math="(\pm \sqrt{34}, 0)" />
   
   Eksentrisitas:
   
   <BlockMath math="e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{34}}{5} \approx \frac{5{,}831}{5} \approx 1{,}166" />
   
   Persamaan asimtot (sumbu utama horizontal):
   
   <BlockMath math="y = \pm \frac{b}{a}x = \pm \frac{3}{5}x" />

3. **Penyelesaian**:

   Diketahui:
   - Pusat: <InlineMath math="(h,k) = (1, -2)" />
   - Sumbu utama horizontal
   - <InlineMath math="a = 3" />, jadi <InlineMath math="a^2 = 9" />
   - <InlineMath math="b = 4" />, jadi <InlineMath math="b^2 = 16" />
   
   Persamaan hiperbola dengan pusat <InlineMath math="(h,k)" /> dan sumbu utama horizontal:
   
   <BlockMath math="\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1" />
   
   Substitusi nilai:
   
   <BlockMath math="\frac{(x-1)^2}{9} - \frac{(y+2)^2}{16} = 1" />

4. **Penyelesaian**:

   Dari persamaan <InlineMath math="\frac{(y+1)^2}{4} - \frac{(x-2)^2}{9} = 1" />:
   - Pusat: <InlineMath math="(h,k) = (2, -1)" />
   - <InlineMath math="a^2 = 4" />, jadi <InlineMath math="a = 2" />
   - <InlineMath math="b^2 = 9" />, jadi <InlineMath math="b = 3" />
   - Sumbu utama vertikal (karena bentuk <InlineMath math="\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1" />)
   
   Untuk hiperbola dengan pusat <InlineMath math="(h,k)" /> dan sumbu utama vertikal, persamaan asimtot:
   
   <BlockMath math="y - k = \pm \frac{a}{b}(x - h)" />
   
   Substitusi nilai:
   
   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="y - (-1) = \pm \frac{2}{3}(x - 2)" />
     <BlockMath math="y + 1 = \pm \frac{2}{3}(x - 2)" />
     <BlockMath math="y = -1 \pm \frac{2}{3}(x - 2)" />
   </div>
   
    Jadi persamaan asimtotnya:
    
    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="y = -1 + \frac{2}{3}(x - 2)" />
      <BlockMath math="y = -1 - \frac{2}{3}(x - 2)" />
    </div>