# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/12/mathematics/analytic-geometry/parabola
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/12/mathematics/analytic-geometry/parabola/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
  title: "Parabola",
  description: "Pelajari persamaan parabola, puncak, fokus, dan direktriks. Pahami bentuk standar, aplikasi nyata, dan selesaikan soal dengan contoh lengkap.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "05/26/2025",
  subject: "Geometri Analitik",
};

import { getColor } from "@repo/design-system/lib/color";
import { LineEquation } from "@repo/design-system/components/contents/line-equation";

## Mengenal Parabola

Pernahkah kamu melempar bola basket ke ring? Atau melihat air mancur yang menyembur ke udara? Lintasan yang terbentuk dari gerakan-gerakan ini membentuk kurva yang sangat istimewa dalam matematika, yaitu **parabola**.

Parabola bukan sekadar kurva biasa. Bentuknya yang unik membuatnya sangat berguna dalam kehidupan nyata. Antena satelit berbentuk parabola untuk menangkap sinyal, lampu sorot menggunakan reflektor parabola untuk memfokuskan cahaya, bahkan jembatan dan arsitektur modern sering menggunakan lengkungan parabola karena kekuatannya.

Yang menarik dari parabola adalah sifat **refleksinya** yang sempurna. Semua sinar yang datang sejajar dengan sumbu parabola akan dipantulkan menuju satu titik yang disebut **fokus**. Inilah mengapa parabola sangat efektif untuk mengumpulkan atau memancarkan energi.

<LineEquation
  title={<>Parabola <InlineMath math="y = ax^2" /> dalam Kehidupan Nyata</>}
  description={<>Visualisasi parabola dengan fokus di <InlineMath math="F(0, \frac{1}{4a})" /> dan direktriks <InlineMath math="y = -\frac{1}{4a}" />.</>}
  data={[
    {
      points: Array.from({ length: 101 }, (_, i) => {
        const x = (i - 50) / 10; // x dari -5 ke 5
        const y = 0.2 * x * x; // parabola y = 0.2x²
        return { x, y, z: 0 };
      }),
      color: getColor("PURPLE"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "Lintasan Parabola", at: 80, offset: [1, 1, 0] }],
    },
    {
      points: [{ x: 0, y: 1.25, z: 0 }], // fokus di (0, 1/(4*0.2)) = (0, 1.25)
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: true,
      labels: [{ text: "Fokus", at: 0, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
    },
    {
      points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }], // puncak parabola
      color: getColor("CYAN"),
      showPoints: true,
      labels: [{ text: "Puncak", at: 0, offset: [-0.8, -0.5, 0] }],
    },
    {
      points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
        const x = -6 + i * 12;
        const y = -1.25; // direktriks di y = -1/(4*0.2) = -1.25
        return { x, y, z: 0 };
      }),
      color: getColor("AMBER"),
      showPoints: false,
      smooth: false,
      labels: [{ text: "Direktriks", at: 1, offset: [0, -0.5, 0] }],
    },
    {
      points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
        const xMin = -6;
        const xMax = 6;
        const y = 0;
        return {
          x: xMin + i * (xMax - xMin),
          y: y,
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("ROSE"),
      showPoints: false,
      smooth: false,
    },
    {
      points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
        const yMin = -2;
        const yMax = 6;
        const x = 0;
        return {
          x: x,
          y: yMin + i * (yMax - yMin),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("ROSE"),
      showPoints: false,
      smooth: false,
    },
  ]}
  cameraPosition={[0, 0, 15]}
  showZAxis={false}
/>

## Definisi Matematika

Secara matematis, **parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya sama terhadap sebuah titik tetap dan sebuah garis tetap**. Titik tetap itu disebut **fokus**, sedangkan garis tetapnya disebut **direktriks**.

Bayangkan kamu punya satu titik (fokus) dan satu garis lurus (direktriks). Sekarang cari semua titik yang jaraknya ke fokus sama dengan jaraknya ke garis direktriks. Kumpulan titik-titik itulah yang membentuk parabola!

Definisi ini memberikan kita cara yang sistematis untuk memahami parabola. Tidak peduli bagaimana orientasi atau posisinya, selama memenuhi syarat jarak yang sama ke fokus dan direktriks, maka itu adalah parabola.

> Sifat unik parabola ini membuat semua titik pada kurva memiliki "keseimbangan" jarak yang sempurna antara fokus dan direktriks.

## Persamaan Parabola Standar

Mari kita mulai dengan parabola yang paling sederhana: **parabola dengan puncak di titik asal** <InlineMath math="O(0,0)" />. Ada empat bentuk dasar parabola standar tergantung arah bukaan kurva.

<LineEquation
  title={<>Empat Bentuk Parabola Standar dengan Puncak <InlineMath math="O(0,0)" /></>}
  description={<>Parabola standar <InlineMath math="x^2 = 4py" /> (vertikal) dan <InlineMath math="y^2 = 4px" /> (horizontal).</>}
  data={[
    {
      points: Array.from({ length: 61 }, (_, i) => {
        const x = (i - 30) / 10; // x dari -3 ke 3
        const y = 0.25 * x * x; // parabola x² = 4py dengan p=0.25
        return { x, y, z: 0 };
      }),
      color: getColor("PURPLE"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "x² = 4py (ke atas)", at: 11, offset: [-3, 2, 0] }],
    },
    {
      points: Array.from({ length: 61 }, (_, i) => {
        const x = (i - 30) / 10; // x dari -3 ke 3
        const y = -0.25 * x * x; // parabola x² = -4py dengan p=0.25
        return { x, y, z: 0 };
      }),
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "x² = -4py (ke bawah)", at: 50, offset: [3, -2.5, 0] }],
    },
    {
      points: Array.from({ length: 61 }, (_, i) => {
        const y = (i - 30) / 10; // y dari -3 ke 3  
        const x = 0.25 * y * y; // parabola y² = 4px dengan p=0.25
        return { x, y, z: 0 };
      }),
      color: getColor("CYAN"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "y² = 4px (ke kanan)", at: 50, offset: [3, 1.5, 0] }],
    },
    {
      points: Array.from({ length: 61 }, (_, i) => {
        const y = (i - 30) / 10; // y dari -3 ke 3
        const x = -0.25 * y * y; // parabola y² = -4px dengan p=0.25
        return { x, y, z: 0 };
      }),
      color: getColor("TEAL"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "y² = -4px (ke kiri)", at: 11, offset: [-3, -1.5, 0] }],
    },
    {
      points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }], // puncak semua parabola di O(0,0)
      color: getColor("ROSE"),
      showPoints: true,
      labels: [{ text: "O(0,0)", at: 0, offset: [-0.8, -0.5, 0] }],
    },
    {
      points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
        const xMin = -4;
        const xMax = 4;
        const y = 0;
        return {
          x: xMin + i * (xMax - xMin),
          y: y,
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("AMBER"),
      showPoints: false,
      smooth: false,
    },
    {
      points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
        const yMin = -3;
        const yMax = 3;
        const x = 0;
        return {
          x: x,
          y: yMin + i * (yMax - yMin),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("AMBER"),
      showPoints: false,
      smooth: false,
    },
  ]}
  cameraPosition={[0, 0, 15]}
  showZAxis={false}
/>

Keempat bentuk persamaan parabola standar adalah:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="y^2 = 4px \quad \text{(terbuka ke kanan)}" />
  <BlockMath math="y^2 = -4px \quad \text{(terbuka ke kiri)}" />
  <BlockMath math="x^2 = 4py \quad \text{(terbuka ke atas)}" />
  <BlockMath math="x^2 = -4py \quad \text{(terbuka ke bawah)}" />
</div>

Nilai <InlineMath math="p" /> dalam persamaan ini menunjukkan **jarak dari puncak ke fokus**. Semakin besar nilai <InlineMath math="p" />, semakin "terbuka" parabola tersebut.

Sebagai contoh, untuk parabola <InlineMath math="y^2 = 4px" /> (terbuka ke kanan):

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="\text{Puncak: } (0, 0)" />
  <BlockMath math="\text{Fokus: } (p, 0)" />
  <BlockMath math="\text{Direktriks: } x = -p" />
  <BlockMath math="\text{Sumbu simetri: sumbu } X" />
</div>

> Ingat bahwa tanda <InlineMath math="p" /> menentukan arah bukaan: positif untuk kanan/atas, negatif untuk kiri/bawah.

## Parabola dengan Puncak Sembarang

Dalam aplikasi nyata, parabola tidak selalu berpusat di titik asal. Parabola bisa memiliki puncak di titik mana saja <InlineMath math="(h, k)" />. Ini adalah **bentuk umum parabola**.

<LineEquation
  title={<>Parabola <InlineMath math="(x-h)^2 = 4p(y-k)" /> dengan Puncak <InlineMath math="(h,k)" /></>}
  description={<>Parabola dengan puncak di <InlineMath math="(2, 1)" /> dan parameter <InlineMath math="p = 0.5" />.</>}
  data={[
    {
      points: Array.from({ length: 81 }, (_, i) => {
        const x = (i - 40) / 10; // x dari -4 ke 4
        const h = 2, k = 1, p = 0.5;
        const y = k + (1/(4*p)) * Math.pow(x - h, 2); // parabola dengan puncak (h,k)
        return { x, y, z: 0 };
      }),
      color: getColor("INDIGO"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "Parabola", at: 60, offset: [3, 1, 0] }],
    },
    {
      points: [{ x: 2, y: 1, z: 0 }], // puncak
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: true,
      labels: [{ text: "Puncak (2,1)", at: 0, offset: [-1, -0.2, 0] }],
    },
    {
      points: [{ x: 2, y: 1.5, z: 0 }], // fokus di (h, k+p) = (2, 1+0.5)
      color: getColor("LIME"),
      showPoints: true,
      labels: [{ text: "Fokus (2,1.5)", at: 0, offset: [0.5, 1, 0] }],
    },
    {
      points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
        const x = -2 + i * 8;
        const y = 0.5; // direktriks di y = k-p = 1-0.5 = 0.5
        return { x, y, z: 0 };
      }),
      color: getColor("AMBER"),
      showPoints: false,
      smooth: false,
      labels: [{ text: "Direktriks y = 0.5", at: 1, offset: [0, 0.5, 0] }],
    },
    {
      points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
        const yMin = -1;
        const yMax = 5;
        const x = 2; // sumbu simetri
        return { x, y: yMin + i * (yMax - yMin), z: 0 };
      }),
      color: getColor("PINK"),
      showPoints: false,
      smooth: false,
      cone: { position: "both" },
      labels: [{ text: "Sumbu simetri x = 2", at: 1, offset: [1, 0.5, 0] }],
    },
    {
      points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
        const xMin = -3;
        const xMax = 7;
        const y = 0;
        return {
          x: xMin + i * (xMax - xMin),
          y: y,
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("ROSE"),
      showPoints: false,
      smooth: false,
    },
    {
      points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
        const yMin = -2;
        const yMax = 6;
        const x = 0;
        return {
          x: x,
          y: yMin + i * (yMax - yMin),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("ROSE"),
      showPoints: false,
      smooth: false,
    },
  ]}
  cameraPosition={[0, 0, 15]}
  showZAxis={false}
/>

Bentuk umum persamaan parabola dengan puncak di <InlineMath math="(h, k)" />:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="(y-k)^2 = 4p(x-h) \quad \text{(horizontal)}" />
  <BlockMath math="(x-h)^2 = 4p(y-k) \quad \text{(vertikal)}" />
</div>

Untuk parabola vertikal <InlineMath math="(x-h)^2 = 4p(y-k)" />:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="\text{Puncak: } (h, k)" />
  <BlockMath math="\text{Fokus: } (h, k+p)" />
  <BlockMath math="\text{Direktriks: } y = k-p" />
  <BlockMath math="\text{Sumbu simetri: } x = h" />
</div>

Untuk parabola horizontal <InlineMath math="(y-k)^2 = 4p(x-h)" />:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="\text{Puncak: } (h, k)" />
  <BlockMath math="\text{Fokus: } (h+p, k)" />
  <BlockMath math="\text{Direktriks: } x = h-p" />
  <BlockMath math="\text{Sumbu simetri: } y = k" />
</div>

> Tanda nilai <InlineMath math="p" /> menentukan arah bukaan parabola. Positif untuk ke atas/kanan, negatif untuk ke bawah/kiri.

## Menentukan Unsur Parabola

Ketika kita diberikan persamaan parabola, kita bisa mengidentifikasi semua unsur pentingnya dengan cara sistematis. Langkah pertama adalah **mengenali orientasi parabola**:

- Jika variabel <InlineMath math="x" /> yang dikuadratkan → parabola **vertikal** (terbuka ke atas/bawah)
- Jika variabel <InlineMath math="y" /> yang dikuadratkan → parabola **horizontal** (terbuka ke kiri/kanan)

Mari kita lihat bagaimana caranya dengan contoh.

**Contoh**: Diberikan parabola dengan persamaan <InlineMath math="x^2 - 4x - 8y + 12 = 0" />

Langkah pertama adalah mengubah ke bentuk baku dengan melengkapkan kuadrat sempurna:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="x^2 - 4x - 8y + 12 = 0" />
  <BlockMath math="x^2 - 4x = 8y - 12" />
  <BlockMath math="x^2 - 4x + 4 = 8y - 12 + 4" />
  <BlockMath math="(x-2)^2 = 8y - 8" />
  <BlockMath math="(x-2)^2 = 8(y-1)" />
</div>

Dari bentuk <InlineMath math="(x-2)^2 = 8(y-1)" />, kita identifikasi:

- <InlineMath math="h = 2" />, <InlineMath math="k = 1" />
- <InlineMath math="4p = 8" />, sehingga <InlineMath math="p = 2" />

Maka unsur-unsur parabola adalah:

<LineEquation
  title={<>Analisis Parabola <InlineMath math="(x-2)^2 = 8(y-1)" /></>}
  description={<>Identifikasi puncak <InlineMath math="(2,1)" />, fokus <InlineMath math="(2,3)" />, direktriks <InlineMath math="y = -1" />, dan <InlineMath math="p = 2" />.</>}
  data={[
    {
      points: Array.from({ length: 81 }, (_, i) => {
        const x = (i - 40) / 8; // x dari -5 ke 5
        const h = 2, k = 1, p = 2;
        const y = k + (1/(4*p)) * Math.pow(x - h, 2); // (x-h)² = 4p(y-k)
        return { x, y, z: 0 };
      }),
      color: getColor("VIOLET"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "(x-2)² = 8(y-1)", at: 60, offset: [2, 1.5, 0] }],
    },
    {
      points: [{ x: 2, y: 1, z: 0 }], // puncak (h,k)
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: true,
      labels: [{ text: "Puncak (2,1)", at: 0, offset: [-1, -0.5, 0] }],
    },
    {
      points: [{ x: 2, y: 3, z: 0 }], // fokus (h, k+p) = (2, 1+2)
      color: getColor("LIME"),
      showPoints: true,
      labels: [{ text: "Fokus (2,3)", at: 0, offset: [0.8, 0.5, 0] }],
    },
    {
      points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
        const x = -2 + i * 8;
        const y = -1; // direktriks y = k-p = 1-2 = -1
        return { x, y, z: 0 };
      }),
      color: getColor("AMBER"),
      showPoints: false,
      smooth: false,
      labels: [{ text: "Direktriks y = -1", at: 1, offset: [0, -0.5, 0] }],
    },
    {
      points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
        const yMin = -2;
        const yMax = 6;
        const x = 2; // sumbu simetri x = h = 2
        return { x, y: yMin + i * (yMax - yMin), z: 0 };
      }),
      color: getColor("PINK"),
      showPoints: false,
      smooth: false,
      cone: { position: "both" },
      labels: [{ text: "Sumbu simetri", at: 1, offset: [1, 0.5, 0] }],
    },
    {
      points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
        const xMin = -3;
        const xMax = 7;
        const y = 0;
        return {
          x: xMin + i * (xMax - xMin),
          y: y,
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("ROSE"),
      showPoints: false,
      smooth: false,
    },
    {
      points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
        const yMin = -3;
        const yMax = 7;
        const x = 0;
        return {
          x: x,
          y: yMin + i * (yMax - yMin),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("ROSE"),
      showPoints: false,
      smooth: false,
    },
  ]}
  cameraPosition={[0, 0, 15]}
  showZAxis={false}
/>

Dari analisis ini kita dapatkan:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="\text{Puncak: } (2, 1)" />
  <BlockMath math="\text{Fokus: } (2, 3)" />
  <BlockMath math="\text{Direktriks: } y = -1" />
  <BlockMath math="\text{Sumbu simetri: } x = 2" />
  <BlockMath math="\text{Arah bukaan: ke atas (karena } p = 2 > 0\text{)}" />
</div>

## Contoh Soal

Mari kita kerjakan beberapa soal untuk memperdalam pemahaman tentang parabola.

**Soal 1**: Tentukan persamaan parabola yang memiliki puncak di <InlineMath math="(1, -2)" /> dan fokus di <InlineMath math="(4, -2)" />.

**Penyelesaian**:

Karena puncak dan fokus memiliki ordinat yang sama, parabola ini **horizontal**.

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="\text{Puncak: } (h, k) = (1, -2)" />
  <BlockMath math="\text{Fokus: } (h+p, k) = (4, -2)" />
</div>

Dari kondisi fokus, kita dapat <InlineMath math="h + p = 4" />. Substitusi <InlineMath math="h = 1" />:

<BlockMath math="1 + p = 4 \Rightarrow p = 3" />

Persamaan parabola horizontal adalah <InlineMath math="(y-k)^2 = 4p(x-h)" />:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="(y-(-2))^2 = 4(3)(x-1)" />
  <BlockMath math="(y+2)^2 = 12(x-1)" />
</div>

**Soal 2**: Parabola <InlineMath math="y^2 - 6y - 4x + 13 = 0" />. Tentukan koordinat puncak dan fokusnya.

**Penyelesaian**:

Lengkapkan kuadrat sempurna untuk variabel <InlineMath math="y" />:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="y^2 - 6y - 4x + 13 = 0" />
  <BlockMath math="y^2 - 6y = 4x - 13" />
  <BlockMath math="y^2 - 6y + 9 = 4x - 13 + 9" />
  <BlockMath math="(y-3)^2 = 4x - 4" />
  <BlockMath math="(y-3)^2 = 4(x-1)" />
</div>

Dari bentuk <InlineMath math="(y-3)^2 = 4(x-1)" />, kita identifikasi:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="h = 1, \quad k = 3" />
  <BlockMath math="4p = 4 \Rightarrow p = 1" />
</div>

Sehingga:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="\text{Puncak: } (h, k) = (1, 3)" />
  <BlockMath math="\text{Fokus: } (h+p, k) = (1+1, 3) = (2, 3)" />
</div>