# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/12/mathematics/analytic-geometry/tangent-line-to-conic-sections
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/12/mathematics/analytic-geometry/tangent-line-to-conic-sections/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
  title: "Garis Singgung pada Irisan Kerucut",
  description: "Kuasai garis singgung parabola, elips, dan hiperbola dengan prinsip bagi adil. Temukan persamaan untuk titik pada kurva, gradien tertentu, dan titik luar.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "05/26/2025",
  subject: "Geometri Analitik",
};

## Konsep Garis Singgung

Pernah gak kalian lihat bola basket yang pas banget menyentuh ring? Di titik sentuh itu, bola cuma **menyentuh satu titik** aja tanpa tembus ring. Konsep seperti ini yang kita sebut garis singgung dalam matematika!

Garis singgung pada irisan kerucut itu **garis yang menyentuh kurva tepat di satu titik** saja. Beda sama garis secant yang memotong kurva di dua titik, garis singgung cuma bersentuhan di satu titik dan gak memotong kurva sama sekali.

Bayangin aja kalau kalian punya parabola <InlineMath math="y = x^2" />. Garis singgung akan menyentuh parabola di satu titik tertentu, sedangkan garis secant akan memotong parabola di dua titik yang berbeda.

Untuk irisan kerucut seperti parabola, elips, dan hiperbola, ada beberapa cara buat menentukan persamaan garis singgungnya tergantung informasi yang kita punya.

## Titik pada Kurva

Kalau kita sudah tau titik singgungnya di mana, menentukan garis singgung jadi gampang banget! Konsep dasarnya pakai **prinsip bagi adil** yang praktis untuk irisan kerucut.

### Prinsip Bagi Adil

Untuk menentukan garis singgung lewat titik <InlineMath math="T(x_1, y_1)" /> pada irisan kerucut, kita bisa pakai prinsip bagi adil. Caranya gampang, yaitu **bagi setiap pangkat dua jadi pangkat satu** pada titik singgung.

Misalnya, kalau kita punya parabola <InlineMath math="y^2 = 4px" /> dan titik singgung <InlineMath math="T(x_1, y_1)" />, maka persamaan garis singgungnya jadi:

<BlockMath math="yy_1 = 2p(x + x_1)" />

Coba kita ambil contoh parabola <InlineMath math="y^2 = 8x" /> di titik <InlineMath math="(2, 4)" />.

Dari parabola <InlineMath math="y^2 = 8x" />, kita tau <InlineMath math="4p = 8" /> jadi <InlineMath math="p = 2" />. Garis singgung di titik <InlineMath math="(2, 4)" /> adalah:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="y \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot (x + 2)" />
  <BlockMath math="4y = 4(x + 2)" />
  <BlockMath math="y = x + 2" />
</div>

> Prinsip bagi adil ini bikin perhitungan jadi lebih mudah! Kita gak perlu ribet hitung turunan. Cukup "bagi" setiap pangkat dua jadi perkalian sama koordinat titik singgung!

## Gradien Tertentu

Kadang kita malah gak tau titik singgungnya, tapi kita tau **kemiringan** atau gradien garis singgungnya. Dalam kasus seperti ini, kita substitusikan persamaan garis dengan gradien <InlineMath math="m" /> ke persamaan irisan kerucutnya.

Contohnya nih, kita mau cari garis singgung hiperbola <InlineMath math="4x^2 - 9y^2 = 36" /> yang tegak lurus sama garis <InlineMath math="x + 4y + 10 = 0" />.

Langkah pertama, kita tentuin dulu gradien garis singgungnya. Karena garis singgung tegak lurus terhadap <InlineMath math="x + 4y + 10 = 0" />, maka gradien garis asalnya <InlineMath math="m_g = -\frac{1}{4}" /> jadi gradien garis singgungnya <InlineMath math="m_s = 4" />.

Persamaan garis singgung hiperbola dengan gradien <InlineMath math="m" /> itu <InlineMath math="y = mx + c" />. Kita substitusikan ke persamaan hiperbolanya:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="4x^2 - 9(4x + c)^2 = 36" />
  <BlockMath math="4x^2 - 9(16x^2 + 8cx + c^2) = 36" />
  <BlockMath math="-140x^2 - 72cx - 9c^2 = 36" />
</div>

Buat garis singgung, diskriminannya harus nol:

<BlockMath math="D = (-72c)^2 - 4(-140)(-9c^2) = 0" />

Jadi diperoleh <InlineMath math="c = 0" /> dan persamaan garis singgungnya adalah <InlineMath math="y = 4x" />.

## Titik Luar Kurva

Kalau titiknya ada di luar irisan kerucut, kita bisa punya **dua garis singgung** yang bisa ditarik dari titik itu ke kurva. Konsepnya mirip kayak narik garis dari titik luar lingkaran.

Contohnya, ambil parabola <InlineMath math="y^2 = 8x" /> dengan titik <InlineMath math="A(2, 5)" />. Dari titik <InlineMath math="A" /> ini, kita bisa tarik dua garis singgung yang berbeda ke parabola.

Untuk menentukan persamaan garis singgung lewat titik luar, kita pakai persamaan kutub atau polar. Untuk parabola <InlineMath math="y^2 = 8x" /> dengan titik <InlineMath math="A(2,5)" />, persamaan kutubnya adalah:

<BlockMath math="yy_1 = 4(x + x_1)" />

Substitusikan <InlineMath math="x_1 = 2" /> dan <InlineMath math="y_1 = 5" />:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="5y = 4(x + 2)" />
  <BlockMath math="5y = 4x + 8" />
  <BlockMath math="y = \frac{4x + 8}{5}" />
</div>

Sekarang kita substitusikan ke persamaan parabola untuk cari titik singgungnya:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="\left(\frac{4x + 8}{5}\right)^2 = 8x" />
  <BlockMath math="\frac{16x^2 + 64x + 64}{25} = 8x" />
  <BlockMath math="16x^2 + 64x + 64 = 200x" />
  <BlockMath math="16x^2 - 136x + 64 = 0" />
  <BlockMath math="2x^2 - 17x + 8 = 0" />
</div>

Pakai rumus kuadrat, kita dapet <InlineMath math="x_1 = \frac{1}{2}" /> dan <InlineMath math="x_2 = 8" />. Jadi titik singgungnya ada di <InlineMath math="(\frac{1}{2}, 2)" /> dan <InlineMath math="(8, 8)" />.

## Ringkasan Rumus

Ini dia tabel lengkap persamaan irisan kerucut dan persamaan garis singgungnya. Simpan baik-baik ya, soalnya ini bakalan kepake terus!

| Irisan Kerucut | Persamaan Garis Singgung |
|---|---|
| <InlineMath math="y^2 = 4px" /> | <InlineMath math="yy_1 = 2p(x + x_1)" /> |
| <InlineMath math="x^2 = 4py" /> | <InlineMath math="xx_1 = 2p(y + y_1)" /> |
| <InlineMath math="(x - m)^2 = 4p(y - n)" /> | <InlineMath math="(x - m)(x_1 - m) = 2p(y - n)(y_1 - n)" /> |
| <InlineMath math="(y - m)^2 = 4p(x - n)" /> | <InlineMath math="(y - m)(y_1 - m) = 2p(x - n)(x_1 - n)" /> |
| <InlineMath math="\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1" /> | <InlineMath math="\frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1" /> |
| <InlineMath math="\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1" /> | <InlineMath math="\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1" /> |
| <InlineMath math="\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1" /> | <InlineMath math="\frac{yy_1}{a^2} - \frac{xx_1}{b^2} = 1" /> |
| <InlineMath math="\frac{(x-m)^2}{a^2} + \frac{(y-n)^2}{b^2} = 1" /> | <InlineMath math="\frac{(x-m)(x_1-m)}{a^2} + \frac{(y-n)(y_1-n)}{b^2} = 1" /> |
| <InlineMath math="\frac{(x-m)^2}{a^2} - \frac{(y-n)^2}{b^2} = 1" /> | <InlineMath math="\frac{(x-m)(x_1-m)}{a^2} - \frac{(y-n)(y_1-n)}{b^2} = 1" /> |
| <InlineMath math="\frac{(y-n)^2}{a^2} - \frac{(x-m)^2}{b^2} = 1" /> | <InlineMath math="\frac{(y-n)(y_1-n)}{a^2} - \frac{(x-m)(x_1-m)}{b^2} = 1" /> |

> Semua rumus ini berdasarkan prinsip bagi adil yang bikin perhitungan lebih gampang! Gak perlu ribet-ribet pake kalkulus segala.

## Latihan

1. Cari persamaan garis singgung parabola <InlineMath math="y^2 = 12x" /> di titik <InlineMath math="(3, 6)" />.

2. Ada hiperbola <InlineMath math="4x^2 - 9y^2 = 36" />. Cari persamaan garis singgung yang tegak lurus sama garis <InlineMath math="x + 4y + 10 = 0" />.

3. Cari persamaan garis singgung elips <InlineMath math="\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1" /> yang lewat titik <InlineMath math="A(1, 3)" />.

4. Ada parabola <InlineMath math="y^2 = 8x" />. Cari persamaan garis singgung parabola ini yang lewat titik <InlineMath math="A(2, 5)" />.

### Kunci Jawaban

1. **Jawaban**:

   Yang diketahui: parabola <InlineMath math="y^2 = 12x" /> dengan titik singgung <InlineMath math="(3, 6)" />.
   
   Dari persamaan <InlineMath math="y^2 = 12x" />, kita dapat <InlineMath math="4p = 12" /> jadi <InlineMath math="p = 3" />.
   
   Pakai rumus garis singgung parabola:
   
   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="yy_1 = 2p(x + x_1)" />
     <BlockMath math="y \cdot 6 = 2 \cdot 3 \cdot (x + 3)" />
     <BlockMath math="6y = 6(x + 3)" />
     <BlockMath math="6y = 6x + 18" />
     <BlockMath math="y = x + 3" />
   </div>
   
   Jadi persamaan garis singgungnya <InlineMath math="y = x + 3" />.

2. **Jawaban**:

   Yang diketahui: hiperbola <InlineMath math="4x^2 - 9y^2 = 36" /> atau <InlineMath math="\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1" />.
   
   Garis <InlineMath math="x + 4y + 10 = 0" /> punya gradien <InlineMath math="m = -\frac{1}{4}" />.
   
   Karena garis singgungnya tegak lurus sama garis itu, maka gradien garis singgungnya:
   
   <BlockMath math="m_s = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{-\frac{1}{4}} = 4" />
   
   Rumus garis singgung hiperbola dengan gradien <InlineMath math="m" />:
   
   <BlockMath math="y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}" />
   
   Dengan <InlineMath math="a^2 = 9" />, <InlineMath math="b^2 = 4" />, dan <InlineMath math="m = 4" />:
   
   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="y = 4x \pm \sqrt{9 \cdot 16 - 4}" />
     <BlockMath math="y = 4x \pm \sqrt{144 - 4}" />
     <BlockMath math="y = 4x \pm \sqrt{140}" />
     <BlockMath math="y = 4x \pm 2\sqrt{35}" />
   </div>
   
   Jadi persamaan garis singgungnya <InlineMath math="y = 4x + 2\sqrt{35}" /> atau <InlineMath math="y = 4x - 2\sqrt{35}" />.

3. **Jawaban**:

   Yang diketahui: elips <InlineMath math="\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1" /> dan titik <InlineMath math="A(1, 3)" />.
   
   Cek dulu nih, apakah titik <InlineMath math="A(1, 3)" /> ada di elipsnya:
   
   <BlockMath math="\frac{1^2}{9} + \frac{3^2}{4} = \frac{1}{9} + \frac{9}{4} = \frac{4 + 81}{36} = \frac{85}{36} > 1" />
   
   Karena <InlineMath math="\frac{85}{36} > 1" />, titik <InlineMath math="A" /> ada di luar elips.
   
   Pakai persamaan kutub elips:
   
   <BlockMath math="\frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1" />
   
   Substitusikan <InlineMath math="x_1 = 1" /> dan <InlineMath math="y_1 = 3" />:
   
   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="\frac{x \cdot 1}{9} + \frac{y \cdot 3}{4} = 1" />
     <BlockMath math="\frac{x}{9} + \frac{3y}{4} = 1" />
     <BlockMath math="4x + 27y = 36" />
   </div>
   
   Kalau mau cari titik singgungnya, substitusikan persamaan ini ke persamaan elips. Dari <InlineMath math="4x + 27y = 36" />, kita dapat <InlineMath math="x = \frac{36 - 27y}{4}" />.

   Substitusikan ke persamaan elips dan selesaikan untuk mendapat dua titik singgung.
   
   Jadi persamaan garis singgungnya <InlineMath math="4x + 27y = 36" />.

4. **Jawaban**:

   Yang diketahui: parabola <InlineMath math="y^2 = 8x" /> dan titik <InlineMath math="A(2, 5)" />.
   
   Cek dulu apakah titik <InlineMath math="A(2, 5)" /> ada di parabolanya:
   
   <BlockMath math="5^2 = 25 \neq 8 \cdot 2 = 16" />
   
   Titik <InlineMath math="A" /> ada di luar parabola.
   
   Pakai persamaan kutub parabola dengan <InlineMath math="p = 2" />:
   
   <BlockMath math="yy_1 = 4(x + x_1)" />
   
   Substitusikan <InlineMath math="x_1 = 2" /> dan <InlineMath math="y_1 = 5" />:
   
   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="5y = 4(x + 2)" />
     <BlockMath math="5y = 4x + 8" />
     <BlockMath math="y = \frac{4x + 8}{5}" />
   </div>
   
   Substitusikan ke persamaan parabola:
   
   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="\left(\frac{4x + 8}{5}\right)^2 = 8x" />
     <BlockMath math="\frac{(4x + 8)^2}{25} = 8x" />
     <BlockMath math="(4x + 8)^2 = 200x" />
     <BlockMath math="16x^2 + 64x + 64 = 200x" />
     <BlockMath math="16x^2 - 136x + 64 = 0" />
     <BlockMath math="2x^2 - 17x + 8 = 0" />
   </div>
   
   Pakai rumus kuadrat:
   
   <BlockMath math="x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 64}}{4} = \frac{17 \pm \sqrt{225}}{4} = \frac{17 \pm 15}{4}" />
   
   Jadi <InlineMath math="x_1 = \frac{1}{2}" /> dan <InlineMath math="x_2 = 8" />.
   
   Titik singgungnya ada di <InlineMath math="(\frac{1}{2}, 2)" /> dan <InlineMath math="(8, 8)" />.
   
   Persamaan garis singgung lewat <InlineMath math="(\frac{1}{2}, 2)" />:
   
   <BlockMath math="y - 2 = \frac{2 - 5}{\frac{1}{2} - 2}(x - \frac{1}{2}) = \frac{-3}{-\frac{3}{2}}(x - \frac{1}{2}) = 2(x - \frac{1}{2})" />
   
   Jadi <InlineMath math="y = 2x + 1" />.
   
   Persamaan garis singgung lewat <InlineMath math="(8, 8)" />:
   
   <BlockMath math="y - 8 = \frac{8 - 5}{8 - 2}(x - 8) = \frac{3}{6}(x - 8) = \frac{1}{2}(x - 8)" />
   
   Jadi <InlineMath math="y = \frac{1}{2}x + 4" />.
   
   Kesimpulannya, persamaan garis singgungnya <InlineMath math="y = 2x + 1" /> dan <InlineMath math="y = \frac{1}{2}x + 4" />.