# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/12/mathematics/circle-arc-sector/central-angle-on-arc
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/12/mathematics/circle-arc-sector/central-angle-on-arc/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
  title: "Sudut Pusat pada Busur",
  description: "Temukan sudut pusat yang dibentuk jari-jari dan hubungan langsung dengan busur. Kuasai klasifikasi sudut-busur, perhitungan, dan aplikasi nyata.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "05/26/2025",
  subject: "Busur dan Juring Lingkaran",
};

import { LineEquation } from "@repo/design-system/components/contents/line-equation";
import { getColor } from "@repo/design-system/lib/color";

## Pengertian Sudut Pusat

Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari lingkaran dengan titik sudutnya berada di pusat lingkaran. Bayangkan seperti potongan pizza, dimana ujung pizza yang runcing berada tepat di tengah lingkaran. Kedua sisi sudut pusat ini adalah jari-jari yang menghubungkan pusat lingkaran ke tepi lingkaran.

Dalam lingkaran dengan pusat O, jika kita memiliki titik A dan B pada keliling lingkaran, maka <InlineMath math="\angle AOB" /> adalah sudut pusat. Sudut ini menghadap busur AB yang merupakan bagian keliling lingkaran antara titik A dan B.

<LineEquation
  title={<>Visualisasi Sudut Pusat <InlineMath math="\angle AOB" /></>}
  description="Sudut pusat dibentuk oleh dua jari-jari OA dan OB dengan vertex di pusat lingkaran O."
  data={[
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 3 * Math.cos(Math.PI / 6), y: 3 * Math.sin(Math.PI / 6), z: 0 },
      ],
      color: getColor("ORANGE"),
      labels: [{ text: "OA", at: 0.5, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
      showPoints: true,
    },
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 3 * Math.cos(5 * Math.PI / 6), y: 3 * Math.sin(5 * Math.PI / 6), z: 0 },
      ],
      color: getColor("ORANGE"),
      labels: [{ text: "OB", at: 0.5, offset: [-0.3, 0.3, 0] }],
      showPoints: true,
    },
    {
      points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
        const angle = (Math.PI / 6) + (i * (2 * Math.PI / 3) / 20);
        return {
          x: 1.5 * Math.cos(angle),
          y: 1.5 * Math.sin(angle),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("PURPLE"),
      lineWidth: 2,
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "θ = 120°", at: 10, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
    },
    {
      points: Array.from({ length: 61 }, (_, i) => {
        const angle = (Math.PI / 6) + (i * (2 * Math.PI / 3) / 60);
        return {
          x: 3 * Math.cos(angle),
          y: 3 * Math.sin(angle),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("VIOLET"),
      lineWidth: 3,
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "Busur AB", at: 30, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
    },
    {
      points: Array.from({ length: 101 }, (_, i) => {
        const angle = i * (2 * Math.PI / 100);
        return {
          x: 3 * Math.cos(angle),
          y: 3 * Math.sin(angle),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("CYAN"),
      lineWidth: 1,
      showPoints: false,
      smooth: true,
    },
  ]}
  cameraPosition={[0, 0, 10]}
  showZAxis={false}
/>

## Hubungan Sudut Pusat dengan Busur

Hubungan fundamental antara sudut pusat dan busur yang dihadapinya sangat sederhana namun penting. Besar sudut pusat dalam derajat sama dengan besar busur yang dihadapinya dalam derajat. Ini seperti hubungan langsung antara pembuka botol dan tutup botol yang dibuka.

<BlockMath math="\text{Besar sudut pusat} = \text{Besar busur yang dihadapi}" />

Jika sudut pusat <InlineMath math="\angle AOB = 60°" />, maka busur AB juga berukuran <InlineMath math="60°" />. Konsep ini berlaku karena busur didefinisikan berdasarkan sudut pusat yang menghadapinya.

## Jenis Busur Berdasarkan Sudut Pusat

Berdasarkan besar sudut pusatnya, busur dapat dibedakan menjadi tiga jenis:

### Busur Minor
Busur minor adalah busur yang dihadapi oleh sudut pusat kurang dari <InlineMath math="180°" />. Ini adalah busur yang lebih pendek dari setengah lingkaran. Seperti potongan kue yang lebih kecil dari setengah kue utuh.

### Busur Setengah Lingkaran
Busur setengah lingkaran dihadapi oleh sudut pusat tepat <InlineMath math="180°" />. Sudut pusat ini dibentuk oleh diameter lingkaran, sehingga busurnya adalah setengah keliling lingkaran.

### Busur Mayor
Busur mayor adalah busur yang dihadapi oleh sudut pusat lebih dari <InlineMath math="180°" />. Ini adalah busur yang lebih panjang dari setengah lingkaran. Untuk menghitung besar busur mayor, kita menggunakan:

<div className="flex flex-col gap-4">
<BlockMath math="\text{Busur mayor} = 360° - \text{Busur minor}" />

<LineEquation
  title="Perbandingan Jenis Busur"
  description="Visualisasi busur minor, setengah lingkaran, dan busur mayor."
  data={[
    {
      points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
        const angle = i * (Math.PI / 3) / 20;
        return {
          x: 2 * Math.cos(angle),
          y: 2 * Math.sin(angle),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("PURPLE"),
      lineWidth: 2,
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "θ = 60°", at: 10, offset: [1, 0.3, 0] }],
    },
    {
      points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
        const angle = i * (Math.PI / 3) / 30;
        return {
          x: 4 * Math.cos(angle),
          y: 4 * Math.sin(angle),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("LIME"),
      lineWidth: 4,
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "Busur Minor (60°)", at: 15, offset: [1, 0.5, 0] }],
    },
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 4 * Math.cos(Math.PI / 3), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 3), z: 0 },
      ],
      color: getColor("ORANGE"),
      lineWidth: 2,
      showPoints: false,
    },
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 4, y: 0, z: 0 },
      ],
      color: getColor("ORANGE"),
      lineWidth: 2,
      showPoints: false,
    },
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: -4, y: 0, z: 0 },
      ],
      color: getColor("ORANGE"),
      lineWidth: 2,
      showPoints: false,
    },
    {
      points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
        const angle = Math.PI + (i * Math.PI / 20);
        return {
          x: 2.5 * Math.cos(angle),
          y: 2.5 * Math.sin(angle),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("PURPLE"),
      lineWidth: 2,
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "θ = 180°", at: 10, offset: [0, -0.8, 0] }],
    },
    {
      points: Array.from({ length: 51 }, (_, i) => {
        const angle = Math.PI + (i * Math.PI / 50);
        return {
          x: 4 * Math.cos(angle),
          y: 4 * Math.sin(angle),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("AMBER"),
      lineWidth: 4,
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "Setengah Lingkaran (180°)", at: 25, offset: [0, -1, 0] }],
    },
    {
      points: Array.from({ length: 101 }, (_, i) => {
        const angle = i * (2 * Math.PI / 100);
        return {
          x: 4 * Math.cos(angle),
          y: 4 * Math.sin(angle),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("TEAL"),
      lineWidth: 1,
      showPoints: false,
      smooth: true,
    },
  ]}
  cameraPosition={[0, 0, 15]}
  showZAxis={false}
/>
</div>

## Perhitungan Panjang Busur

Panjang busur dapat dihitung menggunakan perbandingan antara sudut pusat dengan sudut penuh lingkaran. Rumus dasar untuk menghitung panjang busur adalah:

<BlockMath math="s = \frac{\theta}{360°} \times 2\pi r" />

Dimana:
- <InlineMath math="s" /> = panjang busur
- <InlineMath math="\theta" /> = besar sudut pusat dalam derajat
- <InlineMath math="r" /> = jari-jari lingkaran

Jika sudut pusat dinyatakan dalam radian, rumusnya menjadi lebih sederhana:

<BlockMath math="s = \theta \times r" />

Dimana <InlineMath math="\theta" /> dalam radian.

## Contoh Penerapan

Mari kita terapkan konsep ini dalam contoh konkret. Misalkan kita memiliki lingkaran dengan jari-jari <InlineMath math="r = 6 \text{ cm}" /> dan sudut pusat <InlineMath math="\theta = 120°" />.

Langkah pertama, kita hitung panjang busur:

<div className="flex flex-col gap-4">
<BlockMath math="s = \frac{120°}{360°} \times 2\pi \times 6" />
<BlockMath math="s = \frac{1}{3} \times 12\pi" />
<BlockMath math="s = 4\pi \text{ cm}" />
</div>

Jadi panjang busur yang dihadapi sudut pusat <InlineMath math="120°" /> adalah <InlineMath math="4\pi \text{ cm}" /> atau sekitar <InlineMath math="12.57 \text{ cm}" />.

<LineEquation
  title={<>Contoh Sudut Pusat <InlineMath math="120°" /></>}
  description={<>Lingkaran dengan jari-jari 6 cm dan sudut pusat <InlineMath math="120°" />.</>}
  data={[
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 6, y: 0, z: 0 },
      ],
      color: getColor("PURPLE"),
      labels: [{ text: "r = 6 cm", at: 0.5, offset: [0, -0.5, 0] }],
      showPoints: true,
    },
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 6 * Math.cos(2 * Math.PI / 3), y: 6 * Math.sin(2 * Math.PI / 3), z: 0 },
      ],
      color: getColor("PURPLE"),
      labels: [{ text: "r = 6 cm", at: 0.5, offset: [-0.5, 0.3, 0] }],
      showPoints: true,
    },
    {
      points: Array.from({ length: 25 }, (_, i) => {
        const angle = i * (2 * Math.PI / 3) / 24;
        return {
          x: 3 * Math.cos(angle),
          y: 3 * Math.sin(angle),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("ORANGE"),
      lineWidth: 2,
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "θ = 120°", at: 12, offset: [0.8, 0.8, 0] }],
    },
    {
      points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
        const angle = i * (2 * Math.PI / 3) / 40;
        return {
          x: 6 * Math.cos(angle),
          y: 6 * Math.sin(angle),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("ROSE"),
      lineWidth: 4,
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "s = 4π cm", at: 20, offset: [-1, -1, 0] }],
    },
    {
      points: Array.from({ length: 101 }, (_, i) => {
        const angle = i * (2 * Math.PI / 100);
        return {
          x: 6 * Math.cos(angle),
          y: 6 * Math.sin(angle),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("INDIGO"),
      lineWidth: 1,
      showPoints: false,
      smooth: true,
    },
  ]}
  cameraPosition={[0, 0, 15]}
  showZAxis={false}
/>

## Aplikasi dalam Kehidupan Sehari-hari

Konsep sudut pusat pada busur memiliki banyak aplikasi praktis. Dalam desain roda gigi, sudut pusat menentukan jarak antar gigi. Pada jam analog, jarum jam bergerak membentuk sudut pusat yang menunjukkan waktu. Arsitek menggunakan konsep ini untuk merancang lengkungan jembatan atau kubah bangunan.

Dalam navigasi, pilot pesawat menggunakan konsep busur lingkaran untuk menghitung jarak tempuh saat terbang mengikuti jalur melengkung di permukaan bumi. Semakin besar sudut pusat yang dilalui, semakin jauh jarak yang ditempuh.

## Latihan

1. Sebuah lingkaran memiliki jari-jari 8 cm. Jika sudut pusat yang menghadap suatu busur adalah 45°, hitunglah panjang busur tersebut.

2. Diketahui panjang busur suatu lingkaran adalah 10π cm dan jari-jarinya 15 cm. Tentukan besar sudut pusat yang menghadap busur tersebut.

3. Dalam sebuah lingkaran dengan pusat O, terdapat sudut pusat <InlineMath math="\angle AOB = 72°" />. Jika jari-jari lingkaran adalah 5 cm, tentukan panjang busur AB dan nyatakan hasilnya dalam bentuk π.

4. Sebuah roda sepeda memiliki jari-jari 30 cm. Jika roda tersebut berputar sehingga membentuk sudut pusat 150°, berapa jarak yang ditempuh oleh titik pada tepi roda?

### Kunci Jawaban

1. **Penyelesaian:**
   
   Diketahui: <InlineMath math="r = 8 \text{ cm}" /> dan <InlineMath math="\theta = 45°" />
   
   Ditanya: Panjang busur <InlineMath math="s" />
   
   **Langkah 1:** Gunakan rumus panjang busur
   <BlockMath math="s = \frac{\theta}{360°} \times 2\pi r" />
   
   **Langkah 2:** Substitusi nilai yang diketahui
   <BlockMath math="s = \frac{45°}{360°} \times 2\pi \times 8" />
   
   **Langkah 3:** Sederhanakan pecahan
   <BlockMath math="s = \frac{1}{8} \times 16\pi" />
   
   **Langkah 4:** Hitung hasil akhir
   <BlockMath math="s = 2\pi \text{ cm}" />
   
   Jadi, panjang busur tersebut adalah <InlineMath math="2\pi \text{ cm}" /> atau sekitar 6,28 cm.

2. **Penyelesaian:**
   
   Diketahui: <InlineMath math="s = 10\pi \text{ cm}" /> dan <InlineMath math="r = 15 \text{ cm}" />
   
   Ditanya: Besar sudut pusat <InlineMath math="\theta" />
   
   **Langkah 1:** Gunakan rumus panjang busur
   <BlockMath math="s = \frac{\theta}{360°} \times 2\pi r" />
   
   **Langkah 2:** Substitusi nilai yang diketahui
   <BlockMath math="10\pi = \frac{\theta}{360°} \times 2\pi \times 15" />
   
   **Langkah 3:** Sederhanakan persamaan
   <BlockMath math="10\pi = \frac{\theta \times 30\pi}{360°}" />
   
   **Langkah 4:** Isolasi θ
   <BlockMath math="\theta = \frac{10\pi \times 360°}{30\pi}" />
   
   **Langkah 5:** Hitung hasil akhir
   <BlockMath math="\theta = \frac{3600°}{30} = 120°" />
   
   Jadi, besar sudut pusat yang menghadap busur tersebut adalah 120°.

3. **Penyelesaian:**
   
   Diketahui: <InlineMath math="\angle AOB = 72°" /> dan <InlineMath math="r = 5 \text{ cm}" />
   
   Ditanya: Panjang busur AB
   
   **Langkah 1:** Gunakan rumus panjang busur
   <BlockMath math="s = \frac{\theta}{360°} \times 2\pi r" />
   
   **Langkah 2:** Substitusi nilai yang diketahui
   <BlockMath math="s = \frac{72°}{360°} \times 2\pi \times 5" />
   
   **Langkah 3:** Sederhanakan pecahan
   <BlockMath math="s = \frac{72°}{360°} \times 10\pi = \frac{1}{5} \times 10\pi" />
   
   **Langkah 4:** Hitung hasil akhir
   <BlockMath math="s = 2\pi \text{ cm}" />
   
   Jadi, panjang busur AB adalah <InlineMath math="2\pi \text{ cm}" />.

4. **Penyelesaian:**
   
   Diketahui: <InlineMath math="r = 30 \text{ cm}" /> dan <InlineMath math="\theta = 150°" />
   
   Ditanya: Jarak yang ditempuh (panjang busur)
   
   **Langkah 1:** Gunakan rumus panjang busur
   <BlockMath math="s = \frac{\theta}{360°} \times 2\pi r" />
   
   **Langkah 2:** Substitusi nilai yang diketahui
   <BlockMath math="s = \frac{150°}{360°} \times 2\pi \times 30" />
   
   **Langkah 3:** Sederhanakan pecahan
   <BlockMath math="s = \frac{150°}{360°} \times 60\pi = \frac{5}{12} \times 60\pi" />
   
   **Langkah 4:** Hitung hasil akhir
   <BlockMath math="s = 25\pi \text{ cm}" />
   
   Jadi, jarak yang ditempuh oleh titik pada tepi roda adalah <InlineMath math="25\pi \text{ cm}" /> atau sekitar 78,54 cm.