# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/12/mathematics/combinatorics/combination
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/12/mathematics/combinatorics/combination/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
   title: "Kombinasi",
   description: "Pelajari rumus kombinasi C(n,k) dengan contoh nyata. Kuasai masalah pemilihan tanpa memperhatikan urutan. Panduan lengkap dengan latihan soal detail dan kunci!",
   authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
   date: "05/26/2025",
   subject: "Kombinatorik",
};

## Pengertian Kombinasi

Bayangkan kamu diminta memilih 3 orang teman untuk bergabung dalam tim futsal. Apakah urutan pemilihan mereka penting? Tentu tidak! Yang penting adalah **siapa saja** yang terpilih, bukan dalam urutan apa mereka dipilih.

Inilah perbedaan mendasar antara kombinasi dan permutasi. **Kombinasi** adalah cara memilih sejumlah objek dari kumpulan objek yang lebih besar, dimana **urutan tidak diperhatikan**.

Dalam kehidupan sehari-hari, kombinasi sering kita temui ketika:
- Memilih menu makanan dari daftar pilihan
- Menentukan anggota tim untuk suatu kegiatan
- Memilih mata pelajaran elective di sekolah
- Menentukan kombinasi warna untuk desain

Perbedaan dengan permutasi sangat jelas: jika dalam permutasi ABC berbeda dengan BAC, maka dalam kombinasi ABC sama dengan BAC karena anggotanya sama, hanya urutannya berbeda.

## Rumus Kombinasi

Untuk menentukan banyaknya cara memilih <InlineMath math="k" /> objek dari <InlineMath math="n" /> objek yang tersedia, kita menggunakan rumus kombinasi:

<BlockMath math="C(n,k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)! \times k!}" />

Dimana:
- <InlineMath math="C(n,k)" /> atau <InlineMath math="\binom{n}{k}" /> = kombinasi <InlineMath math="k" /> objek dari <InlineMath math="n" /> objek
- <InlineMath math="n" /> = total objek yang tersedia
- <InlineMath math="k" /> = banyaknya objek yang dipilih
- <InlineMath math="n!" /> = faktorial dari <InlineMath math="n" />

**Mengapa rumus ini berbeda dari permutasi?**

Rumus kombinasi sebenarnya berasal dari rumus permutasi yang dibagi dengan <InlineMath math="k!" />:

<BlockMath math="C(n,k) = \frac{P(n,k)}{k!} = \frac{n!}{(n-k)! \times k!}" />

Pembagian dengan <InlineMath math="k!" /> dilakukan karena dalam kombinasi, kita **tidak peduli urutan**. Setiap kelompok <InlineMath math="k" /> objek memiliki <InlineMath math="k!" /> cara pengaturan yang berbeda, tetapi semuanya dianggap **sama** dalam kombinasi.

## Penerapan dalam Situasi Nyata

**Pembentukan Tim Olahraga:**

Dari 10 siswa yang tersedia, berapa cara memilih 5 siswa untuk tim basket?

<div className="flex flex-col gap-4">
<BlockMath math="C(10,5) = \frac{10!}{5! \times 5!}" />
<BlockMath math="C(10,5) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{30.240}{120} = 252 \text{ cara}" />
</div>

**Pemilihan Menu Makanan:**

Sebuah restoran menawarkan 8 jenis makanan dan kamu boleh memilih 3 jenis. Berapa banyak kombinasi pilihan yang mungkin?

<div className="flex flex-col gap-4">
<BlockMath math="C(8,3) = \frac{8!}{5! \times 3!}" />
<BlockMath math="C(8,3) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \frac{336}{6} = 56 \text{ kombinasi}" />
</div>

**Situasi dengan Syarat Khusus:**

Kadang-kadang ada **pembatasan tertentu** dalam pemilihan. Misalnya, dari 12 siswa (7 laki-laki dan 5 perempuan), kita harus memilih 4 siswa dengan syarat minimal 2 perempuan.

**Strategi penyelesaian:**
1. **Hitung semua kemungkinan** yang memenuhi syarat
2. **Pisahkan berdasarkan kondisi:** 2 perempuan + 2 laki-laki, 3 perempuan + 1 laki-laki, atau 4 perempuan
3. **Jumlahkan** semua kemungkinan

**Perhitungan detail:**

**Kasus 1:** 2 perempuan + 2 laki-laki
<div className="flex flex-col gap-4">
<BlockMath math="C(5,2) \times C(7,2) = \frac{5!}{3! \times 2!} \times \frac{7!}{5! \times 2!}" />
<BlockMath math="= \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 10 \times 21 = 210" />
</div>

**Kasus 2:** 3 perempuan + 1 laki-laki
<div className="flex flex-col gap-4">
<BlockMath math="C(5,3) \times C(7,1) = \frac{5!}{2! \times 3!} \times \frac{7!}{6! \times 1!}" />
<BlockMath math="= \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times 7 = 10 \times 7 = 70" />
</div>

**Kasus 3:** 4 perempuan + 0 laki-laki
<div className="flex flex-col gap-4">
<BlockMath math="C(5,4) = \frac{5!}{1! \times 4!} = \frac{5}{1} = 5" />
</div>

**Total:** <InlineMath math="210 + 70 + 5 = 285" /> cara

## Latihan

1. Dari 8 buku yang berbeda, berapa cara memilih 3 buku untuk dibaca selama liburan?

2. Sebuah tim futsal memiliki 12 pemain. Berapa cara memilih 5 pemain untuk bermain di lapangan?

3. Dalam sebuah kotak terdapat 6 bola merah dan 4 bola biru. Berapa cara mengambil 5 bola dengan syarat minimal 3 bola merah?

4. Seorang siswa harus memilih 4 mata pelajaran dari 10 mata pelajaran yang tersedia. Jika 6 mata pelajaran adalah wajib dan 4 mata pelajaran adalah pilihan, berapa cara memilih jika harus ada minimal 2 mata pelajaran wajib?

### Kunci Jawaban

1. **Jawaban: 56 cara**
   
   Langkah penyelesaian:
   
   Diketahui: <InlineMath math="n = 8" /> buku, dipilih <InlineMath math="k = 3" /> buku
   
   Rumus kombinasi:
   
   <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="C(n,k) = \frac{n!}{(n-k)! \times k!}" />
      <BlockMath math="C(8,3) = \frac{8!}{5! \times 3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \frac{336}{6} = 56" />
   </div>
   
   Jadi, ada 56 cara memilih 3 buku dari 8 buku yang tersedia.

2. **Jawaban: 792 cara**
   
   Langkah penyelesaian:
   
   Diketahui: <InlineMath math="n = 12" /> pemain, dipilih <InlineMath math="k = 5" /> pemain
   
   Rumus kombinasi:
   
   <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="C(12,5) = \frac{12!}{7! \times 5!}" />
      <BlockMath math="C(12,5) = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{95.040}{120} = 792" />
   </div>
   
   Tim futsal dapat memilih 5 pemain dari 12 pemain dengan 792 cara berbeda.

3. **Jawaban: 186 cara**
   
   Langkah penyelesaian (**metode kasus**):
   
   Total bola: 6 merah + 4 biru = 10 bola
   
   Ambil 5 bola dengan minimal 3 bola merah
   
   **Rincian perhitungan setiap kasus:**
   
   **Kasus 1:** 3 merah + 2 biru
   <div className="flex flex-col gap-4">
   <BlockMath math="C(6,3) \times C(4,2) = \frac{6!}{3! \times 3!} \times \frac{4!}{2! \times 2!}" />
   <BlockMath math="= \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 20 \times 6 = 120" />
   </div>
   
   **Kasus 2:** 4 merah + 1 biru
   <div className="flex flex-col gap-4">
   <BlockMath math="C(6,4) \times C(4,1) = \frac{6!}{2! \times 4!} \times \frac{4!}{3! \times 1!}" />
   <BlockMath math="= \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times 4 = 15 \times 4 = 60" />
   </div>
   
   **Kasus 3:** 5 merah + 0 biru
   <div className="flex flex-col gap-4">
   <BlockMath math="C(6,5) \times C(4,0) = \frac{6!}{1! \times 5!} \times \frac{4!}{4! \times 0!}" />
   <BlockMath math="= 6 \times 1 = 6" />
   </div>
   
   **Total:** <InlineMath math="120 + 60 + 6 = 186" />
   
   Ada 186 cara mengambil 5 bola dengan minimal 3 bola merah.

4. **Jawaban: 185 cara**
   
   Langkah penyelesaian (**metode kasus**):
   
   Mata pelajaran wajib: 6, mata pelajaran pilihan: 4
   
   Pilih 4 mata pelajaran dengan minimal 2 wajib
   
   **Rincian perhitungan setiap kasus:**
   
   **Kasus 1:** 2 wajib + 2 pilihan
   <div className="flex flex-col gap-4">
   <BlockMath math="C(6,2) \times C(4,2) = \frac{6!}{4! \times 2!} \times \frac{4!}{2! \times 2!}" />
   <BlockMath math="= \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 15 \times 6 = 90" />
   </div>
   
   **Kasus 2:** 3 wajib + 1 pilihan
   <div className="flex flex-col gap-4">
   <BlockMath math="C(6,3) \times C(4,1) = \frac{6!}{3! \times 3!} \times \frac{4!}{3! \times 1!}" />
   <BlockMath math="= \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times 4 = 20 \times 4 = 80" />
   </div>
   
   **Kasus 3:** 4 wajib + 0 pilihan
   <div className="flex flex-col gap-4">
   <BlockMath math="C(6,4) \times C(4,0) = \frac{6!}{2! \times 4!} \times \frac{4!}{4! \times 0!}" />
   <BlockMath math="= \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times 1 = 15 \times 1 = 15" />
   </div>
   
   **Total:** <InlineMath math="90 + 80 + 15 = 185" />
   
   Ada 185 cara memilih mata pelajaran dengan syarat yang diberikan.