# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/12/mathematics/combinatorics/permutation-with-identical-objects
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/12/mathematics/combinatorics/permutation-with-identical-objects/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
   title: "Permutasi dengan Objek yang Sama",
   description: "Pelajari permutasi dengan objek yang sama menggunakan rumus multinomial. Kuasai perhitungan susunan berbeda saat objek tidak dapat dibedakan.",
   authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
   date: "05/26/2025",
   subject: "Kombinatorik",
};

## Pengertian Permutasi dengan Objek yang Sama

**Permutasi dengan objek yang sama** adalah susunan objek dimana terdapat beberapa objek yang identik atau sama. Ketika ada objek yang sama, jumlah susunan yang berbeda akan berkurang karena **pertukaran objek yang identik tidak menghasilkan susunan baru**.

Bayangkan menyusun huruf dari kata "MAMA". Walaupun ada 4 huruf, kita tidak bisa membedakan antara huruf M yang pertama dengan M yang kedua, atau A yang pertama dengan A yang kedua. Akibatnya, susunan yang terlihat berbeda tetapi menggunakan huruf yang sama di posisi berbeda dianggap identik.

## Rumus Permutasi Objek Identik

Untuk permutasi n objek dimana terdapat objek yang sama, **rumus yang digunakan** adalah:

<div className="flex flex-col gap-4">
<BlockMath math="P = \frac{n!}{r_1! \times r_2! \times r_3! \times \cdots \times r_k!}" />
</div>

**Keterangan:**

- <InlineMath math="n" /> = jumlah total objek
- <InlineMath math="r_1, r_2, r_3, \ldots, r_k" /> = banyaknya objek yang sama pada setiap kelompok
- <InlineMath math="k" /> = banyaknya kelompok objek yang identik

**Cara mengidentifikasi objek yang sama**: Hitung berapa kali setiap objek muncul dalam seluruh susunan, bukan hanya melihat objek yang berbeda.

## Penerapan pada Kata dan Huruf

### Contoh Kata KALIMANTAN

Mari kita hitung berapa banyak susunan huruf yang dapat dibuat dari kata "KALIMANTAN".

**Langkah identifikasi sistematis:**
Tulis huruf satu per satu: K-A-L-I-M-A-N-T-A-N

Total huruf: 10

Identifikasi huruf: K muncul 1 kali, A muncul 3 kali (posisi ke-2, ke-6, ke-9), L muncul 1 kali, I muncul 1 kali, M muncul 1 kali, N muncul 2 kali (posisi ke-7, ke-10), T muncul 1 kali

**Perhitungan:**

<div className="flex flex-col gap-4">
<BlockMath math="P = \frac{10!}{1! \times 3! \times 1! \times 1! \times 1! \times 2! \times 1!}" />
<BlockMath math="= \frac{10!}{3! \times 2!}" />
</div>

Sederhanakan pecahan dengan membatalkan faktor yang sama:

<div className="flex flex-col gap-4">
<BlockMath math="= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3! \times 2!}" />
<BlockMath math="= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{2!}" />
<BlockMath math="= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{2}" />
</div>

Hitung langkah demi langkah:
- Bagi 10 dengan 2: <InlineMath math="\frac{10}{2} = 5" />
- Jadi: <InlineMath math="5 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4" />
- <InlineMath math="= 5 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 302.400" />

### Contoh Kata PALAPA

Untuk kata "PALAPA" dengan 6 huruf:
Tulis huruf satu per satu: P-A-L-A-P-A

**Identifikasi huruf:** P muncul 2 kali (posisi ke-1, ke-5), A muncul 3 kali (posisi ke-2, ke-4, ke-6), L muncul 1 kali

Hitung setiap faktorial:
- <InlineMath math="6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720" />
- <InlineMath math="2! = 2 \times 1 = 2" />
- <InlineMath math="3! = 3 \times 2 \times 1 = 6" />

Jadi, perhitungannya adalah:

<div className="flex flex-col gap-4">
<BlockMath math="P = \frac{6!}{2! \times 3! \times 1!}" />
<BlockMath math="= \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{2! \times 3! \times 1!}" />
<BlockMath math="= \frac{6 \times 5 \times 4}{2 \times 1}" />
<BlockMath math="= \frac{6 \times 5 \times 4}{2}" />
</div>

Sederhanakan dengan membagi 6 dengan 2:
- <InlineMath math="\frac{6}{2} = 3" />
- Jadi: <InlineMath math="3 \times 5 \times 4 = 60 \text{ susunan}" />

## Langkah Perhitungan Sistematis

Untuk menyelesaikan masalah permutasi dengan objek yang sama, ikuti langkah berikut:

1. **Hitung total objek**: Tentukan nilai n
2. **Identifikasi objek sama**: Kelompokkan objek yang identik
3. **Hitung frekuensi**: Tentukan berapa kali setiap objek muncul
4. **Terapkan rumus**: Masukkan ke dalam rumus permutasi
5. **Hitung faktorial**: Selesaikan perhitungan dengan teliti

### Kata BANANA

Mari kita terapkan langkah-langkah ini untuk mencari susunan kata "BANANA":

1. **Hitung total objek**

   Tulis huruf satu per satu: B-A-N-A-N-A

   Total huruf: <InlineMath math="n = 6" />

2. **Identifikasi objek sama**

   Kelompokkan huruf yang identik:
   - Kelompok B: B
   - Kelompok A: A, A, A  
   - Kelompok N: N, N

3. **Hitung frekuensi**

   Hitung berapa kali setiap huruf muncul:
   - B muncul 1 kali
   - A muncul 3 kali
   - N muncul 2 kali

4. **Terapkan rumus**

   Gunakan rumus permutasi dengan objek yang sama:

   <div className="flex flex-col gap-4">
   <BlockMath math="P = \frac{n!}{r_1! \times r_2! \times r_3!}" />
   <BlockMath math="P = \frac{6!}{1! \times 3! \times 2!}" />
   </div>

5. **Hitung faktorial**

   Sederhanakan pecahan terlebih dahulu:

   <div className="flex flex-col gap-4">
   <BlockMath math="P = \frac{6!}{1! \times 3! \times 2!}" />
   <BlockMath math="= \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{1! \times 3! \times 2!}" />
   <BlockMath math="= \frac{6 \times 5 \times 4}{1 \times 2!}" />
   <BlockMath math="= \frac{6 \times 5 \times 4}{2}" />
   </div>

   Hitung dengan penyederhanaan:
   - Bagi 6 dengan 2: <InlineMath math="\frac{6}{2} = 3" />
   - Jadi: <InlineMath math="3 \times 5 \times 4 = 60" />

Jadi, kata "BANANA" dapat disusun dalam **60 cara yang berbeda**.

## Perbedaan dengan Permutasi Biasa

**Permutasi biasa**: Semua objek berbeda, menggunakan rumus <InlineMath math="n!" />

**Permutasi dengan objek sama**: Ada objek identik, menggunakan rumus:

<div className="flex flex-col gap-4">
<BlockMath math="\frac{n!}{r_1! \times r_2! \times \cdots \times r_k!}" />
</div>

**Contoh perbandingan:**

Menyusun huruf A, B, C, D (semua berbeda): <InlineMath math="4! = 24" /> cara

Menyusun huruf A, A, B, C (ada yang sama): 

<div className="flex flex-col gap-4">
<BlockMath math="\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12 \text{ cara}" />
</div>

Objek yang sama **mengurangi** jumlah susunan karena pertukaran objek identik tidak menghasilkan perbedaan.

## Latihan

1. Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibuat dari kata "MATEMATIKA"?

2. Sebuah toko bunga memiliki 8 bunga mawar dimana 3 berwarna merah, 3 berwarna putih, dan 2 berwarna kuning. Berapa banyak cara menyusun bunga tersebut dalam satu barisan?

3. Dari angka 1, 1, 2, 2, 2, 3, berapa banyak bilangan 6 digit yang dapat dibentuk?

4. Kata "INDONESIA" memiliki berapa banyak susunan huruf yang berbeda?

### Kunci Jawaban

1. Kata "MATEMATIKA" memiliki 10 huruf

   **Huruf satu per satu:** M-A-T-E-M-A-T-I-K-A
   
   **Identifikasi huruf:** M muncul 2 kali (posisi ke-1, ke-5), A muncul 3 kali (posisi ke-2, ke-6, ke-10), T muncul 2 kali (posisi ke-3, ke-7), E muncul 1 kali, I muncul 1 kali, K muncul 1 kali
   
   Sederhanakan pecahan dengan membatalkan faktor yang sama:
   
   <div className="flex flex-col gap-4">
   <BlockMath math="P = \frac{10!}{2! \times 3! \times 2! \times 1! \times 1! \times 1!}" />
   <BlockMath math="= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3!}{2! \times 3! \times 2!}" />
   <BlockMath math="= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{2! \times 2!}" />
   <BlockMath math="= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{4}" />
   </div>

   Hitung dengan penyederhanaan:
   - Perhitungan lengkap: <InlineMath math="10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 604.800" />
   - Bagi dengan 4: <InlineMath math="\frac{604.800}{4} = 151.200 \text{ susunan}" />

2. Total 8 bunga dengan merah 3, putih 3, kuning 2
   
   Sederhanakan pecahan dengan membatalkan faktor yang sama:
   
   <div className="flex flex-col gap-4">
   <BlockMath math="P = \frac{8!}{3! \times 3! \times 2!}" />
   <BlockMath math="= \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3! \times 3! \times 2!}" />
   <BlockMath math="= \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{3! \times 2!}" />
   <BlockMath math="= \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{6 \times 2}" />
   <BlockMath math="= \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{12}" />
   </div>

   Hitung dengan penyederhanaan:
   - Bagi 6 dengan 12: <InlineMath math="\frac{6}{12} = \frac{1}{2}" />
   - Jadi: <InlineMath math="8 \times 7 \times \frac{1}{2} \times 5 \times 4" />
   - <InlineMath math="= 4 \times 7 \times 5 \times 4 = 560 \text{ cara}" />

3. Angka 1, 1, 2, 2, 2, 3 (total 6 digit)
   
   **Identifikasi angka:** angka 1 muncul 2 kali, angka 2 muncul 3 kali, angka 3 muncul 1 kali
   
   Sederhanakan pecahan dengan membatalkan faktor yang sama:
   
   <div className="flex flex-col gap-4">
   <BlockMath math="P = \frac{6!}{2! \times 3! \times 1!}" />
   <BlockMath math="= \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{2! \times 3!}" />
   <BlockMath math="= \frac{6 \times 5 \times 4}{2!}" />
   <BlockMath math="= \frac{6 \times 5 \times 4}{2}" />
   </div>

   Hitung dengan penyederhanaan:
   - Bagi 6 dengan 2: <InlineMath math="\frac{6}{2} = 3" />
   - Jadi: <InlineMath math="3 \times 5 \times 4 = 60 \text{ bilangan}" />

4. Kata "INDONESIA" memiliki 9 huruf
   
   **Huruf satu per satu:** I-N-D-O-N-E-S-I-A
   
   **Identifikasi huruf:** I muncul 2 kali (posisi ke-1, ke-8), N muncul 2 kali (posisi ke-2, ke-5), D muncul 1 kali, O muncul 1 kali, E muncul 1 kali, S muncul 1 kali, A muncul 1 kali
   
   Sederhanakan pecahan dengan membatalkan faktor yang sama:
   
   <div className="flex flex-col gap-4">
   <BlockMath math="P = \frac{9!}{2! \times 2! \times 1! \times 1! \times 1! \times 1! \times 1!}" />
   <BlockMath math="= \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2! \times 2!}" />
   <BlockMath math="= \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3}{2!}" />
   <BlockMath math="= \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3}{2}" />
   </div>

   Hitung dengan penyederhanaan:
   - Bagi dengan 2: <InlineMath math="\frac{8}{2} = 4" />
   - Jadi: <InlineMath math="9 \times 4 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3" />
   - <InlineMath math="= 9 \times 4 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 90.720 \text{ susunan}" />