# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/12/mathematics/data-analysis-probability/expected-value-of-binomial-distribution
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/12/mathematics/data-analysis-probability/expected-value-of-binomial-distribution/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
    title: "Nilai Harapan Distribusi Binomial",
    description: "Pahami nilai harapan distribusi binomial dengan penjelasan dan contoh jelas. Pelajari cara menghitung hasil rata-rata percobaan berulang rumus E(X)=np.",
    authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
    date: "05/26/2025",
    subject: "Analisis Data dan Peluang",
};

## Memahami Konsep Nilai Harapan

Bayangkan kamu adalah seorang pemain basket. Secara rata-rata, dari <InlineMath math="10" /> kali lemparan bebas, kamu berhasil memasukkan bola sebanyak <InlineMath math="8" /> kali. Nah, angka <InlineMath math="8" /> ini bisa kita sebut sebagai **nilai harapan** atau ekspektasi keberhasilanmu.

Secara sederhana, nilai harapan adalah **nilai rata-rata yang kita harapkan terjadi** dari sebuah percobaan jika percobaan itu diulang berkali-kali dalam kondisi yang sama. Ini bukan berarti kamu *pasti* akan mendapatkan hasil itu setiap kali, tapi ini adalah prediksi rata-rata jangka panjangnya.

## Rumus Harapan untuk Binomial

Konsep ini sangat berguna dalam distribusi binomial. Ingat, distribusi binomial dipakai untuk percobaan yang hasilnya hanya ada dua (sukses atau gagal) dan dilakukan berulang-ulang. Nilai harapan binomial membantu kita memprediksi berapa banyak keberhasilan yang paling mungkin kita dapatkan.

Distribusi binomial <InlineMath math="b(x;n,p)" /> memiliki nilai harapan:

<BlockMath math="E(X) = np" />

dengan <InlineMath math="n" /> adalah banyaknya percobaan dan <InlineMath math="p" /> adalah peluang keberhasilan.

Rumus ini sangat intuitif. Jika peluang sukses dalam satu kali coba adalah <InlineMath math="p" />, maka dalam <InlineMath math="n" /> kali percobaan, harapan suksesnya adalah:

<BlockMath math="E(X) = n \times p" />

## Dari Mana Rumusnya Berasal?

Mungkin kamu penasaran, kenapa rumusnya sesederhana itu? Mari kita bedah logikanya.

Setiap percobaan dalam distribusi binomial bisa kita anggap sebagai variabel acak kecil, sebut saja <InlineMath math="I_k" />. Variabel ini bernilai <InlineMath math="1" /> jika percobaan ke-<InlineMath math="k" /> **sukses**, dan <InlineMath math="0" /> jika **gagal**.

Nilai harapan untuk satu percobaan tunggal adalah:

<BlockMath math="E(I_k) = 1 \cdot p + 0 \cdot q = p" />

Karena jumlah total keberhasilan (<InlineMath math="X" />) adalah jumlah dari semua keberhasilan di setiap percobaan, maka:

<BlockMath math="X = I_1 + I_2 + ... + I_n" />

Dengan menggunakan sifat nilai harapan, kita bisa menjumlahkan semua nilai harapan dari setiap percobaan:

<div className="flex flex-col gap-4">
<BlockMath math="E(X) = E(I_1) + E(I_2) + ... + E(I_n)" />
<BlockMath math="E(X) = \underbrace{p + p + ... + p}_{n \text{ kali}} = np" />
</div>

Terbukti, kan? Nilai harapan totalnya adalah hasil kali dari jumlah percobaan dengan peluang keberhasilannya.

## Studi Kasus Lempar Dadu

Mari kita terapkan konsep ini pada sebuah contoh.

**Soal:**

Sebuah dadu seimbang dilempar sebanyak <InlineMath math="7" /> kali. Berapa nilai harapan untuk munculnya mata dadu lima dari seluruh lemparan tersebut?

**Penyelesaian:**

Pertama, mari kita pastikan bahwa ini memenuhi syarat distribusi binomial:

- Hanya ada dua kemungkinan: **sukses** (keluar angka <InlineMath math="5" />) atau **gagal** (keluar angka selain <InlineMath math="5" />)
- Jumlah percobaan tetap: <InlineMath math="7" /> kali
- Setiap lemparan independen: hasil lemparan sebelumnya tidak mempengaruhi lemparan berikutnya
- Peluang sukses sama: <InlineMath math="p = \frac{1}{6}" /> di setiap lemparan

Sekarang kita identifikasi parameternya:

<div className="flex flex-col gap-4">
<BlockMath math="S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}" />
<BlockMath math="p = \frac{1}{6}" />
<BlockMath math="n = 7" />
</div>

Sekarang kita bisa langsung hitung nilai harapannya menggunakan rumus:

<BlockMath math="E(X) = np = 7 \times \frac{1}{6} = \frac{7}{6} = 1.167" />

**Jadi, apa artinya angka <InlineMath math="1.167" /> ini?**

Nilai harapan <InlineMath math="1.167" /> bukan berarti kamu akan mendapat "<InlineMath math="1.167" /> kali" angka <InlineMath math="5" /> dalam satu eksperimen (karena itu tidak mungkin). Yang dimaksud adalah: jika kamu mengulangi eksperimen "lempar dadu <InlineMath math="7" /> kali" ini **ratusan atau ribuan kali**, maka rata-rata kamu akan mendapat angka <InlineMath math="5" /> sekitar <InlineMath math="1.167" /> kali per set <InlineMath math="7" /> lemparan.

Dalam praktiknya, dalam satu set <InlineMath math="7" /> lemparan, kamu mungkin mendapat angka <InlineMath math="5" /> sebanyak <InlineMath math="0" />, <InlineMath math="1" />, <InlineMath math="2" />, atau bahkan <InlineMath math="3" /> kali. Tapi kalau dirata-ratakan dalam jangka panjang, hasilnya akan mendekati <InlineMath math="1.167" />.