# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/12/mathematics/data-analysis-probability/expected-value-of-normal-distribution
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/12/mathematics/data-analysis-probability/expected-value-of-normal-distribution/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
   title: "Nilai Harapan Distribusi Normal",
   description: "Pahami nilai harapan distribusi normal dengan penjelasan dan contoh jelas. Pelajari mengapa E(X)=μ dan cara menghitung mean dalam soal statistik.",
   authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
   date: "05/26/2025",
   subject: "Analisis Data dan Peluang",
};

## Konsep Dasar Nilai Harapan

Pernahkah kamu bertanya-tanya, jika kita mengambil sampel berulang kali dari distribusi normal, berapa nilai yang paling sering muncul? Atau dengan kata lain, apa nilai tengah yang diharapkan dari distribusi tersebut?

Inilah yang disebut **nilai harapan** atau expected value. Dalam konteks distribusi normal, nilai harapan memiliki sifat yang sangat menarik dan sederhana.

> Untuk distribusi normal <InlineMath math="n(x; \mu, \sigma)" />, nilai harapannya selalu sama dengan parameter rata-rata <InlineMath math="\mu" />.

Secara matematis, kita dapat menuliskan:

<BlockMath math="E(X) = \mu" />

di mana <InlineMath math="X" /> adalah variabel acak yang mengikuti distribusi normal dan <InlineMath math="\mu" /> adalah parameter rata-rata dari distribusi tersebut.

Mengapa demikian? Mari kita buktikan secara matematis.

## Pembuktian Matematis

Nilai harapan suatu variabel acak kontinu didefinisikan sebagai:

<BlockMath math="E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx" />

Untuk distribusi normal, fungsi kepadatan peluangnya adalah:

<BlockMath math="f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}" />

Substitusikan fungsi ini ke dalam rumus nilai harapan:

<BlockMath math="E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} \, dx" />

Sekarang, mari kita lakukan substitusi <InlineMath math="t = \frac{x-\mu}{\sigma}" />. Maka <InlineMath math="x = \sigma t + \mu" /> dan <InlineMath math="dx = \sigma \, dt" />.

<div className="flex flex-col gap-4">
<BlockMath math="E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (\sigma t + \mu) \cdot \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}t^2} \cdot \sigma \, dt" />
<BlockMath math="E(X) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} (\sigma t + \mu) e^{-\frac{1}{2}t^2} \, dt" />
<BlockMath math="E(X) = \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} t e^{-\frac{1}{2}t^2} \, dt + \frac{\mu}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}t^2} \, dt" />
</div>

Perhatikan bahwa:

- **Integral pertama** <InlineMath math="\int_{-\infty}^{\infty} t e^{-\frac{1}{2}t^2} \, dt = 0" /> karena fungsi <InlineMath math="t e^{-\frac{1}{2}t^2}" /> adalah fungsi ganjil. Artinya, <InlineMath math="f(-t) = -f(t)" />, sehingga ketika diintegralkan pada interval simetris <InlineMath math="[-\infty, \infty]" />, hasilnya saling meniadakan dan bernilai nol.

- **Integral kedua** <InlineMath math="\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}t^2} \, dt = \sqrt{2\pi}" /> karena ini adalah integral Gaussian fundamental. Integral ini merupakan luas total di bawah kurva distribusi normal standar, yang selalu bernilai <InlineMath math="\sqrt{2\pi}" />.

Maka:

<div className="flex flex-col gap-4">
<BlockMath math="E(X) = \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}} \cdot 0 + \frac{\mu}{\sqrt{2\pi}} \cdot \sqrt{2\pi}" />
<BlockMath math="E(X) = 0 + \mu = \mu" />
</div>

Terbukti bahwa **nilai harapan distribusi normal sama dengan parameter rata-ratanya**.

> Untuk setiap distribusi normal <InlineMath math="X \sim N(\mu, \sigma^2)" />, berlaku <InlineMath math="E(X) = \mu" />. Ini berarti kita tidak perlu melakukan integrasi setiap kali menghitung nilai harapan distribusi normal, cukup menggunakan nilai parameter <InlineMath math="\mu" />.

## Interpretasi Praktis

Hasil pembuktian di atas memberikan pemahaman yang sangat penting:

Jika kita memiliki distribusi normal dengan rata-rata <InlineMath math="\mu" /> dan standar deviasi <InlineMath math="\sigma" />, maka **nilai harapan** (expected value) dari variabel acak tersebut adalah tepat <InlineMath math="\mu" />. Artinya, jika kita mengambil sampel dalam jumlah sangat besar dan menghitung rata-ratanya, hasilnya akan mendekati nilai <InlineMath math="\mu" />.

**Contoh sederhana:**

Jika tinggi badan siswa di sekolahmu terdistribusi normal dengan rata-rata <InlineMath math="165" /> cm, maka nilai harapan tinggi badan siswa yang dipilih secara acak adalah <InlineMath math="165" /> cm.

## Contoh Penerapan

**Contoh 1**

Misalkan hasil ujian matematika di suatu kelas terdistribusi normal dengan rata-rata <InlineMath math="\mu = 75" /> dan standar deviasi <InlineMath math="\sigma = 10" />. Berapakah nilai harapan skor ujian seorang siswa?

**Penyelesaian:**

Karena distribusi normal memiliki sifat <InlineMath math="E(X) = \mu" />, maka nilai harapan skor ujian adalah:

<BlockMath math="E(X) = 75" />

Jadi, nilai harapan skor ujian seorang siswa adalah <InlineMath math="75" />.

**Contoh 2**

Berat bayi yang baru lahir di suatu rumah sakit terdistribusi normal dengan rata-rata <InlineMath math="3.200" /> gram dan standar deviasi <InlineMath math="400" /> gram. Tentukan nilai harapan berat bayi yang akan lahir!

**Penyelesaian:**

Diketahui <InlineMath math="\mu = 3.200" /> gram dan <InlineMath math="\sigma = 400" /> gram.

Nilai harapan berat bayi yang akan lahir adalah:

<BlockMath math="E(X) = \mu = 3.200 \text{ gram}" />

## Latihan

1. Waktu tempuh perjalanan dari rumah ke sekolah terdistribusi normal dengan rata-rata <InlineMath math="25" /> menit dan standar deviasi <InlineMath math="5" /> menit. Tentukan nilai harapan waktu tempuh perjalanan!

2. Suhu udara harian di kota Jakarta selama bulan Juni terdistribusi normal dengan rata-rata <InlineMath math="28°C" /> dan standar deviasi <InlineMath math="3°C" />. Berapa nilai harapan suhu udara pada hari yang dipilih secara acak?

3. Nilai ujian fisika siswa kelas 12 terdistribusi normal dengan rata-rata <InlineMath math="78" /> dan standar deviasi <InlineMath math="12" />. Jika seorang siswa mengikuti ujian, berapa nilai harapan yang akan diperolehnya?

### Kunci Jawaban

1. **Penyelesaian Soal 1:**

   Diketahui: <InlineMath math="\mu = 25" /> menit, <InlineMath math="\sigma = 5" /> menit

   Karena distribusi normal memiliki sifat <InlineMath math="E(X) = \mu" />, maka:

   <BlockMath math="E(X) = 25 \text{ menit}" />

   **Jawaban:** Nilai harapan waktu tempuh perjalanan adalah <InlineMath math="25" /> menit.

2. **Penyelesaian Soal 2:**

   Diketahui: <InlineMath math="\mu = 28°C" />, <InlineMath math="\sigma = 3°C" />

   Menggunakan sifat dasar distribusi normal:

   <BlockMath math="E(X) = \mu = 28°C" />

   **Jawaban:** Nilai harapan suhu udara adalah <InlineMath math="28°C" />.

3. **Penyelesaian Soal 3:**

   Diketahui: <InlineMath math="\mu = 78" />, <InlineMath math="\sigma = 12" />

   Berdasarkan sifat fundamental distribusi normal:

   <BlockMath math="E(X) = \mu = 78" />

   **Jawaban:** Nilai harapan yang akan diperoleh siswa adalah <InlineMath math="78" />.