# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/12/mathematics/derivative-function/chain-rule-in-derivative
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/12/mathematics/derivative-function/chain-rule-in-derivative/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
    title: "Aturan Rantai pada Turunan",
    description: "Kuasai aturan rantai untuk menurunkan fungsi komposisi. Pelajari metode langkah demi langkah untuk fungsi bersusun dengan contoh pangkat dan trigonometri.",
    authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
    date: "05/26/2025",
    subject: "Turunan Fungsi",
};

## Memahami Fungsi Bersusun

Bayangkan kamu punya mesin yang mengubah sebuah angka (fungsi pertama), dan hasilnya langsung dimasukkan ke mesin lain untuk diolah lagi (fungsi kedua). Proses inilah yang disebut **fungsi komposisi** atau fungsi bersusun. Secara matematis, kalau kita punya <InlineMath math="g(x)" /> sebagai **fungsi dalam** dan <InlineMath math="f(u)" /> sebagai **fungsi luar**, maka komposisinya adalah <InlineMath math="y = f(g(x))" />.

Aturan rantai adalah metode untuk mencari turunan dari fungsi-fungsi seperti ini, di mana satu fungsi "terbungkus" di dalam fungsi lainnya.

## Teorema Aturan Rantai

Untuk menurunkan fungsi komposisi, kita tidak bisa menurunkannya satu per satu begitu saja. Ada sebuah aturan elegan yang menghubungkan turunan fungsi luar dan fungsi dalamnya.

> Jika <InlineMath math="y = f(g(x))" />, maka turunannya ditentukan oleh perkalian antara turunan fungsi luar terhadap fungsi dalam dengan turunan fungsi dalam itu sendiri.

Secara formal, jika kita memisalkan <InlineMath math="u = g(x)" />, maka <InlineMath math="y = f(u)" />. Turunannya didefinisikan sebagai:

<BlockMath math="\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}" />

Rumus ini dikenal sebagai **aturan rantai**. Intinya, kita menurunkan dari "lapisan" terluar ke lapisan terdalam, lalu mengalikan hasilnya.

## Penerapan Aturan Rantai

Yuk, kita coba terapkan teorema ini pada beberapa kasus biar lebih kebayang.

### Fungsi Bentuk Pangkat

Tentukan turunan pertama dari <InlineMath math="y = (x^2 - 4x - 2)^8" />.

**Penyelesaian:**

Pertama, kita perlu memecah fungsi ini menjadi dua bagian: fungsi luar dan fungsi dalam.

-   **Fungsi dalam** (<InlineMath math="u" />) adalah ekspresi yang ada di dalam kurung: <InlineMath math="u = x^2 - 4x - 2" />.
-   **Fungsi luar** (<InlineMath math="y" />) adalah operasi pangkatnya: <InlineMath math="y = u^8" />.

Selanjutnya, kita cari turunan dari masing-masing fungsi:

-   Turunan fungsi dalam: <InlineMath math="\frac{du}{dx} = 2x - 4" />.
-   Turunan fungsi luar: <InlineMath math="\frac{dy}{du} = 8u^7" />.

Sekarang, kita bisa gabungkan keduanya pakai aturan rantai:
<div className="flex flex-col gap-4">
    <BlockMath math="\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}" />
    <BlockMath math="\frac{dy}{dx} = 8u^7 \cdot (2x - 4)" />
</div>

Terakhir, kita substitusikan kembali <InlineMath math="u" /> dan sederhanakan ekspresinya:
<div className="flex flex-col gap-4">
    <BlockMath math="\frac{dy}{dx} = 8(x^2 - 4x - 2)^7 (2x - 4)" />
    <BlockMath math="\frac{dy}{dx} = (16x - 32)(x^2 - 4x - 2)^7" />
</div>

### Fungsi Trigonometri

Tentukan turunan pertama dari <InlineMath math="y = \cos^4(3 - 4x)" />.

**Penyelesaian:**

Fungsi ini bisa kita tulis ulang jadi <InlineMath math="y = (\cos(3 - 4x))^4" />. Ini adalah kasus di mana kita perlu menerapkan aturan rantai lebih dari sekali karena ada tiga lapisan fungsi.

-   **Fungsi terdalam**: <InlineMath math="v = 3 - 4x" />
-   **Fungsi tengah**: <InlineMath math="u = \cos(v)" />
-   **Fungsi terluar**: <InlineMath math="y = u^4" />

Kemudian, kita turunkan setiap lapisan:

-   Turunan fungsi terluar: <InlineMath math="\frac{dy}{du} = 4u^3" />
-   Turunan fungsi tengah: <InlineMath math="\frac{du}{dv} = -\sin(v)" />
-   Turunan fungsi terdalam: <InlineMath math="\frac{dv}{dx} = -4" />

Gabungkan semuanya dengan aturan rantai:
<div className="flex flex-col gap-4">
    <BlockMath math="\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}" />
    <BlockMath math="\frac{dy}{dx} = (4u^3) \cdot (-\sin(v)) \cdot (-4)" />
</div>

Sekarang, substitusikan kembali <InlineMath math="u" /> dan <InlineMath math="v" /> secara bertahap untuk mendapatkan hasil akhir:
<div className="flex flex-col gap-4">
    <BlockMath math="\frac{dy}{dx} = (4\cos^3(v)) \cdot (-\sin(v)) \cdot (-4)" />
    <BlockMath math="\frac{dy}{dx} = 16\cos^3(v)\sin(v)" />
    <BlockMath math="\frac{dy}{dx} = 16\cos^3(3 - 4x)\sin(3 - 4x)" />
</div>

## Latihan

1.  Tentukan turunan pertama dari <InlineMath math="y = (3x^2 - 1)^3" />.
2.  Tentukan turunan pertama dari <InlineMath math="y = \sin^3(2x)" />.

### Kunci Jawaban

1.  **Penyelesaian untuk <InlineMath math="y = (3x^2 - 1)^3" />**

    **Langkah 1: Kenali fungsinya**
    -   Fungsi dalam: <InlineMath math="u = 3x^2 - 1" />
    -   Fungsi luar: <InlineMath math="y = u^3" />

    **Langkah 2: Cari turunan masing-masing**
    -   <InlineMath math="\frac{du}{dx} = 6x" />
    -   <InlineMath math="\frac{dy}{du} = 3u^2" />

    **Langkah 3: Gabungkan dengan aturan rantai**
    <div className="flex flex-col gap-4">
        <BlockMath math="\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}" />
        <BlockMath math="\frac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot 6x = 18x \cdot u^2" />
    </div>
    
    **Langkah 4: Jangan lupa substitusi balik**
    <BlockMath math="\frac{dy}{dx} = 18x(3x^2 - 1)^2" />

2.  **Penyelesaian untuk <InlineMath math="y = \sin^3(2x)" />**

    Fungsi ini adalah <InlineMath math="y = (\sin(2x))^3" />. Kita gunakan aturan rantai berlapis.

    **Langkah 1: Kenali fungsinya**
    -   Fungsi terdalam: <InlineMath math="v = 2x" />
    -   Fungsi tengah: <InlineMath math="u = \sin(v)" />
    -   Fungsi terluar: <InlineMath math="y = u^3" />

    **Langkah 2: Cari turunan masing-masing**
    -   <InlineMath math="\frac{dv}{dx} = 2" />
    -   <InlineMath math="\frac{du}{dv} = \cos(v)" />
    -   <InlineMath math="\frac{dy}{du} = 3u^2" />

    **Langkah 3: Gabungkan dengan aturan rantai**
    <div className="flex flex-col gap-4">
        <BlockMath math="\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}" />
        <BlockMath math="\frac{dy}{dx} = (3u^2) \cdot (\cos(v)) \cdot (2)" />
    </div>

    **Langkah 4: Substitusi balik dan sederhanakan**
    <div className="flex flex-col gap-4">
        <BlockMath math="\frac{dy}{dx} = 6u^2 \cos(v)" />
        <BlockMath math="\frac{dy}{dx} = 6\sin^2(v) \cos(v)" />
        <BlockMath math="\frac{dy}{dx} = 6\sin^2(2x) \cos(2x)" />
    </div>