# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/12/mathematics/derivative-function/concept-of-derivative-function
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/12/mathematics/derivative-function/concept-of-derivative-function/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
  title: "Konsep Turunan Fungsi",
  description: "Pahami fungsi turunan sebagai laju perubahan dan kemiringan kurva. Pelajari limit, garis singgung, dan diferensiasi dengan contoh visual dan penjelasan jelas.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "05/26/2025",
  subject: "Turunan Fungsi",
};

import { LineEquation } from "@repo/design-system/components/contents/line-equation";
import { getColor } from "@repo/design-system/lib/color";

## Ide di Balik Turunan

Coba bayangkan kita sedang mengendarai sepeda di jalan yang berbukit-bukit. Terkadang jalanan menanjak tajam, terkadang landai. **Kemiringan** jalan di setiap titik yang kita lalui pasti berbeda-beda. Dalam matematika, grafik sebuah fungsi bisa diibaratkan seperti jalan berbukit tersebut.

Untuk garis lurus, kemiringannya selalu sama di setiap titik. Namun, untuk kurva yang melengkung, kemiringannya terus berubah. Nah, **turunan** adalah alat canggih dalam matematika yang memungkinkan kita untuk menemukan kemiringan atau laju perubahan yang tepat di **satu titik spesifik** pada sebuah kurva.

## Gradien Garis Sekan

Untuk memahami konsep turunan, mari kita mulai dengan sesuatu yang lebih sederhana: **garis sekan** (atau garis potong). Garis sekan adalah sebuah garis lurus yang memotong kurva di dua titik yang berbeda.

Misalkan kita punya sebuah kurva dari fungsi <InlineMath math="y = f(x)" />. Kita pilih dua titik pada kurva itu, sebut saja titik <InlineMath math="P(x, f(x))" /> dan titik <InlineMath math="Q(x+\Delta x, f(x+\Delta x))" />. Di sini, <InlineMath math="\Delta x" /> (dibaca "delta x") melambangkan perubahan kecil pada nilai <InlineMath math="x" />.

Kemiringan (gradien) dari garis sekan yang melalui titik <InlineMath math="P" /> dan <InlineMath math="Q" /> dapat dihitung dengan rumus yang sudah kita kenal:

<BlockMath math="m_{\text{sekan}} = \frac{\text{perubahan } y}{\text{perubahan } x} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}" />

Gradien garis sekan ini memberi kita gambaran **rata-rata laju perubahan** fungsi <InlineMath math="f(x)" /> antara titik <InlineMath math="P" /> dan <InlineMath math="Q" />.

<LineEquation
  title="Visualisasi Garis Sekan dan Garis Singgung"
  description={
    <>
      Perhatikan bagaimana garis sekan menghubungkan dua titik pada kurva{" "}
      <InlineMath math="y=x^2" />, sementara garis singgung hanya
      menyentuh kurva di satu titik. Garis singgung menunjukkan kemiringan kurva
      di titik tersebut.
    </>
  }
  showZAxis={false}
  cameraPosition={[0, 0, 15]}
  data={(() => {
    // Define the curve function
    const f = (x) => x * x;

    // 1. Define the main curve (parabola y = x^2)
    const curvePoints = Array.from({ length: 101 }, (_, i) => {
      const x = (i - 50) / 10; // x from -5 to 5
      return { x, y: f(x), z: 0 };
    });

    // 2. Define the secant line
    const p1_secant = { x: 1, y: f(1), z: 0 };
    const p2_secant = { x: 3, y: f(3), z: 0 };

    // 3. Define the tangent line at point P
    const tangentPointX = 1;
    const tangentPoint = { x: tangentPointX, y: f(tangentPointX), z: 0 };
    const slope = 2 * tangentPointX; // Derivative of x^2 is 2x
    // Line equation: y - y1 = m(x - x1) => y = m(x - x1) + y1
    const tangentLineFunc = (x) => slope * (x - tangentPointX) + tangentPoint.y;
    const tangentLinePoints = [
      { x: -1, y: tangentLineFunc(-1), z: 0 },
      { x: 3, y: tangentLineFunc(3), z: 0 },
    ];

    return [
      {
        points: curvePoints,
        color: getColor("PURPLE"),
        showPoints: false,
      },
      {
        points: [p1_secant, p2_secant],
        color: getColor("CYAN"),
        labels: [
          { text: "P", at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
          { text: "Q", at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] },
          { text: "Garis Sekan", at: 0, offset: [-1, 2.5, 0] },
        ],
      },
      {
        points: tangentLinePoints,
        color: getColor("AMBER"),
        showPoints: false,
        labels: [{ text: "Garis Singgung", at: 1, offset: [2, -0.5, 0] }],
      },
    ];
  })()}
/>

## Dari Garis Sekan ke Garis Singgung

Sekarang, apa yang terjadi jika kita menggerakkan titik <InlineMath math="Q" /> semakin dekat ke titik <InlineMath math="P" />? Jarak antara keduanya, yaitu <InlineMath math="\Delta x" />, akan menjadi sangat kecil, mendekati nol.

Ketika <InlineMath math="\Delta x \to 0" /> (dibaca "delta x mendekati nol"), garis sekan yang kita punya akan berangsur-angsur berubah menjadi sebuah **garis singgung**. Garis singgung adalah garis yang hanya menyentuh kurva di tepat satu titik (dalam kasus ini, titik <InlineMath math="P" />).

Kemiringan dari garis singgung inilah yang merepresentasikan **kemiringan kurva** yang sesungguhnya di titik <InlineMath math="P" />. Untuk menemukannya, kita menggunakan konsep **limit**.

<BlockMath math="m_{\text{singgung}} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}" />

## Definisi Turunan

Limit dari gradien garis sekan saat <InlineMath math="\Delta x" /> mendekati nol ini sangatlah penting sehingga ia diberi nama khusus: **turunan**.

Turunan dari sebuah fungsi <InlineMath math="f(x)" />, yang dinotasikan sebagai <InlineMath math="f'(x)" /> (dibaca "f aksen x"), didefinisikan sebagai:

<BlockMath math="f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}" />

Proses untuk menemukan turunan ini disebut **diferensiasi**.

> Turunan <InlineMath math="f'(x)" /> pada dasarnya adalah sebuah fungsi baru yang memberitahu kita **laju perubahan sesaat** (atau kemiringan garis singgung) dari fungsi asli <InlineMath math="f(x)" /> di setiap titik <InlineMath math="x" /> di mana limitnya ada. Ini adalah fondasi dari kalkulus diferensial.