# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/12/mathematics/derivative-function/derivative-of-algebraic-function
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/12/mathematics/derivative-function/derivative-of-algebraic-function/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
  title: "Turunan Fungsi Aljabar",
  description: "Kuasai diferensiasi fungsi aljabar menggunakan aturan pangkat, hasil kali, dan hasil bagi. Pelajari cara menurunkan polinomial, akar, dan fungsi rasional.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "05/26/2025",
  subject: "Turunan Fungsi",
};

## Menerapkan Aturan Turunan

Setelah kita menguasai berbagai [sifat turunan](/subject/high-school/12/mathematics/derivative-function/properties-of-derivative-function), kini saatnya untuk mengaplikasikannya pada berbagai bentuk fungsi aljabar. Baik itu polinomial, fungsi rasional, atau yang mengandung bentuk akar, kuncinya adalah mengenali struktur fungsi dan memilih 'alat' atau sifat yang tepat untuk menurunkannya. Mari kita lihat bagaimana strategi ini diterapkan dalam beberapa contoh.

## Penggunaan Sifat Turunan

Mari kita lihat bagaimana sifat-sifat turunan bekerja dalam praktik melalui beberapa contoh.

### Menurunkan Polinomial

Tentukan turunan pertama dari <InlineMath math="y = 4x^2 + x + 2" />.

**Penyelesaian:**

Kita bisa menurunkan setiap suku satu per satu menggunakan aturan pangkat dan aturan konstanta.

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="y' = (4 \cdot 2)x^{2-1} + (1 \cdot 1)x^{1-1} + 0" />
  <BlockMath math="y' = 8x^1 + 1x^0" />
  <BlockMath math="y' = 8x + 1 \quad (\text{karena } x^0=1)" />
</div>

### Menaklukkan Bentuk Akar

Tentukan turunan pertama dari <InlineMath math="y = x\sqrt{x^3}" />.

**Penyelesaian:**

Ada dua cara untuk menyelesaikan ini.

**Cara 1: Menggunakan Aturan Hasil Kali**

Pertama, kita ubah bentuk akar menjadi pangkat: <InlineMath math="y = x \cdot x^{3/2}" />.

Misalkan <InlineMath math="u(x) = x" /> dan <InlineMath math="v(x) = x^{3/2}" />. Maka, <InlineMath math="u'(x)=1" /> dan <InlineMath math="v'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2}" />.

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="y' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)" />
  <BlockMath math="y' = (1)(x^{3/2}) + (x)(\frac{3}{2}x^{1/2})" />
  <BlockMath math="y' = x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{3/2}" />
  <BlockMath math="y' = \frac{5}{2}x^{3/2}" />
</div>

**Cara 2: Menyederhanakan Terlebih Dahulu**

Kita bisa menyederhanakan fungsinya sebelum diturunkan.

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="y = x \cdot x^{3/2} = x^{1 + 3/2} = x^{5/2}" />
  <BlockMath math="y' = \frac{5}{2}x^{5/2 - 1} = \frac{5}{2}x^{3/2}" />
</div>

> Kedua cara memberikan hasil yang sama. Terkadang, menyederhanakan fungsi terlebih dahulu dapat membuat proses penurunan menjadi lebih cepat.

### Mengatasi Fungsi Rasional

Tentukan turunan pertama dari <InlineMath math="y = 2\left(\frac{x^2+2}{x}\right)" />.

**Penyelesaian:**

Kita gunakan aturan hasil bagi. Misalkan <InlineMath math="u(x) = x^2+2" /> dan <InlineMath math="v(x) = x" />. Maka <InlineMath math="u'(x) = 2x" /> dan <InlineMath math="v'(x) = 1" />.

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="y' = 2 \cdot \left(\frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}\right)" />
  <BlockMath math="y' = 2 \cdot \left(\frac{(2x)(x) - (x^2+2)(1)}{x^2}\right)" />
  <BlockMath math="y' = 2 \cdot \left(\frac{2x^2 - x^2 - 2}{x^2}\right)" />
  <BlockMath math="y' = 2 \cdot \left(\frac{x^2 - 2}{x^2}\right)" />
  <BlockMath math="y' = 2 \cdot \left(\frac{x^2}{x^2} - \frac{2}{x^2}\right) = 2 \cdot \left(1 - \frac{2}{x^2}\right) = 2 - \frac{4}{x^2}" />
</div>

## Latihan

1.  Tentukan turunan pertama dari <InlineMath math="y = \frac{\sqrt{x} + x^2}{2x}" />.

### Kunci Jawaban

1.  Untuk soal ini, cara termudah adalah dengan menyederhanakan fungsi terlebih dahulu sebelum menurunkannya.

    **Langkah 1: Urai Pecahan**

    Kita bisa memecah pecahan menjadi dua bagian terpisah untuk mempermudah.

    <BlockMath math="y = \frac{\sqrt{x}}{2x} + \frac{x^2}{2x}" />

    **Langkah 2: Sederhanakan Setiap Suku**
    
    Ubah bentuk akar menjadi pangkat <InlineMath math="x^{1/2}" /> dan gunakan sifat eksponen untuk menyederhanakan setiap suku.
    
    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="y = \frac{x^{1/2}}{2x^1} + \frac{x^2}{2x^1}" />
      <BlockMath math="y = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} + \frac{1}{2}x^{2-1}" />
      <BlockMath math="y = \frac{1}{2}x^{-1/2} + \frac{1}{2}x" />
    </div>
    
    **Langkah 3: Terapkan Aturan Pangkat**
    
    Setelah fungsi menjadi sederhana, kita bisa langsung menurunkannya suku per suku.
    
    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="y' = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}x^{-1/2 - 1}\right) + \frac{1}{2}(1)" />
      <BlockMath math="y' = -\frac{1}{4}x^{-3/2} + \frac{1}{2}" />
    </div>

    Jadi, turunan pertamanya adalah <InlineMath math="\frac{1}{2} - \frac{1}{4}x^{-3/2}" />.