# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/12/mathematics/derivative-function/derivative-of-trigonometric-function
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/12/mathematics/derivative-function/derivative-of-trigonometric-function/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
    title: "Turunan Fungsi Trigonometri",
    description: "Kuasai turunan fungsi trigonometri: sin, cos, tan, dan lainnya. Pelajari rumus, aturan hasil kali, hasil bagi dengan contoh langkah demi langkah dan solusi.",
    authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
    date: "05/26/2025",
    subject: "Turunan Fungsi",
};

## Aturan Main Fungsi Trigonometri

Menentukan turunan fungsi trigonometri sebenarnya tidak jauh berbeda dengan fungsi aljabar. Kita tetap menggunakan sifat-sifat turunan yang sudah dikenal, seperti aturan hasil kali dan hasil bagi.

Namun, sebelum itu, kita perlu mengetahui turunan dasar dari fungsi-fungsi trigonometri utama seperti sinus dan kosinus. Aturan-aturan dasar inilah yang menjadi fondasi untuk menyelesaikan turunan yang lebih kompleks.

## Turunan Dasar Trigonometri

Sama seperti turunan fungsi pangkat, turunan untuk fungsi trigonometri juga memiliki pola dasarnya. Turunan untuk sinus dan kosinus, misalnya, bisa dibuktikan langsung dari definisi limit turunan.

Berikut adalah turunan dasar dari enam fungsi trigonometri yang perlu kita hafal:

1.  **Turunan Sinus**:
    
    <BlockMath math="f(x) = \sin x \implies f'(x) = \cos x" />

2.  **Turunan Kosinus**:

    <BlockMath math="f(x) = \cos x \implies f'(x) = -\sin x" />

3.  **Turunan Tangen**:

    <BlockMath math="f(x) = \tan x \implies f'(x) = \sec^2 x" />

4.  **Turunan Kotangen**:

    <BlockMath math="f(x) = \cot x \implies f'(x) = -\csc^2 x" />

5.  **Turunan Sekan**:

    <BlockMath math="f(x) = \sec x \implies f'(x) = \sec x \tan x" />

6.  **Turunan Kosekan**:

    <BlockMath math="f(x) = \csc x \implies f'(x) = -\csc x \cot x" />

## Menerapkan Aturan pada Fungsi Trigonometri

Sekarang mari kita lihat bagaimana menerapkan aturan-aturan ini dalam beberapa contoh soal.

### Kombinasi Aljabar dan Trigonometri

Tentukan turunan dari <InlineMath math="y = 2 \sin x + 5x" />.

**Penyelesaian:**

Kita bisa menurunkan fungsi ini suku per suku menggunakan aturan penjumlahan.

<div className="flex flex-col gap-4">
    <BlockMath math="y' = \frac{d}{dx}(2 \sin x) + \frac{d}{dx}(5x)" />
    <BlockMath math="y' = 2(\cos x) + 5(1)" />
    <BlockMath math="y' = 2 \cos x + 5" />
</div>

### Menggunakan Aturan Hasil Kali

Tentukan turunan dari <InlineMath math="y = 2 \sin x \tan x" />.

**Penyelesaian:**

Gunakan aturan hasil kali <InlineMath math="y' = u'v + uv'" />.

Misalkan <InlineMath math="u = 2 \sin x" /> dan <InlineMath math="v = \tan x" />.

Maka <InlineMath math="u' = 2 \cos x" /> dan <InlineMath math="v' = \sec^2 x" />.

<div className="flex flex-col gap-4">
    <BlockMath math="y' = (2 \cos x)(\tan x) + (2 \sin x)(\sec^2 x)" />
    <BlockMath math="y' = (2 \cos x)\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) + (2 \sin x)(\sec^2 x)" />
    <BlockMath math="y' = 2 \sin x + 2 \sin x \sec^2 x" />
</div>

### Menggunakan Aturan Hasil Bagi

Tentukan turunan dari <InlineMath math="y = \frac{1 + \cos x}{\sin x}" />.

**Penyelesaian:**

Gunakan aturan hasil bagi <InlineMath math="y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}" />.

Misalkan <InlineMath math="u = 1 + \cos x" /> dan <InlineMath math="v = \sin x" />.

Maka <InlineMath math="u' = -\sin x" /> dan <InlineMath math="v' = \cos x" />.

<div className="flex flex-col gap-4">
    <BlockMath math="y' = \frac{(-\sin x)(\sin x) - (1 + \cos x)(\cos x)}{(\sin x)^2}" />
    <BlockMath math="y' = \frac{-\sin^2 x - (\cos x + \cos^2 x)}{\sin^2 x}" />
    <BlockMath math="y' = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x) - \cos x}{\sin^2 x}" />
    <BlockMath math="y' = \frac{-1 - \cos x}{1 - \cos^2 x} \quad (\text{Identitas Pythagoras})" />
    <BlockMath math="y' = \frac{-(1 + \cos x)}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)} \quad (\text{Faktorisasi})" />
    <BlockMath math="y' = \frac{-1}{1 - \cos x} = \frac{1}{\cos x - 1}" />
</div>

## Latihan

1. Tentukan turunan pertama dari <InlineMath math="f(x) = 4x^3 - 5 \cos x" />.
2. Tentukan turunan pertama dari <InlineMath math="f(x) = \sin x \cos x" />.

### Kunci Jawaban

1.  **Penyelesaian:**

    Gunakan aturan pengurangan untuk menurunkan setiap suku secara terpisah.
    
    **Langkah 1: Turunkan suku pertama**

    Turunan dari <InlineMath math="4x^3" /> menggunakan aturan pangkat adalah <InlineMath math="3 \cdot 4x^{3-1} = 12x^2" />.

    **Langkah 2: Turunkan suku kedua**

    Turunan dari <InlineMath math="-5 \cos x" /> adalah <InlineMath math="-5(-\sin x) = 5 \sin x" />.

    **Langkah 3: Gabungkan hasilnya**

    <BlockMath math="f'(x) = 12x^2 + 5 \sin x" />

    Jadi, turunan dari fungsi tersebut adalah <InlineMath math="12x^2 + 5 \sin x" />.

2.  **Penyelesaian:**

    Gunakan aturan hasil kali, <InlineMath math="f'(x) = u'v + uv'" />.
    
    **Langkah 1: Tentukan u, v, u', dan v'**

    Misalkan <InlineMath math="u = \sin x" /> dan <InlineMath math="v = \cos x" />.

    Maka, <InlineMath math="u' = \cos x" /> dan <InlineMath math="v' = -\sin x" />.

    **Langkah 2: Terapkan Aturan Hasil Kali**

    <div className="flex flex-col gap-4">
        <BlockMath math="f'(x) = (\cos x)(\cos x) + (\sin x)(-\sin x)" />
        <BlockMath math="f'(x) = \cos^2 x - \sin^2 x" />
    </div>

    **Langkah 3: Gunakan Identitas Trigonometri (Opsional)**

    Hasilnya bisa juga disederhanakan menggunakan identitas sudut ganda, <InlineMath math="\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x" />.

    <BlockMath math="f'(x) = \cos(2x)" />
    
    Jadi, turunan dari fungsi tersebut adalah <InlineMath math="\cos(2x)" />.