# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/12/mathematics/derivative-function/equation-of-a-tangent-line-to-a-curve
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/12/mathematics/derivative-function/equation-of-a-tangent-line-to-a-curve/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

import { LineEquation } from "@repo/design-system/components/contents/line-equation";
import { getColor } from "@repo/design-system/lib/color";

export const metadata = {
  title: "Persamaan Garis Singgung pada Kurva",
  description: "Kuasai cara mencari persamaan garis singgung menggunakan turunan. Pelajari metode langkah demi langkah, perhitungan gradien, dan soal kompleks dengan contoh visual.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "05/26/2025",
  subject: "Turunan Fungsi",
};

## Hubungan Turunan dan Garis Singgung

Kamu tentu sudah tahu kalau turunan bisa memberi tahu kita banyak hal tentang sifat sebuah fungsi. Salah satu kegunaan paling keren dari turunan adalah untuk menemukan **kemiringan** atau **gradien** dari sebuah garis singgung pada kurva.

Bayangkan kamu "memperbesar" sebuah titik pada kurva terus-menerus. Lama-kelamaan, kurva yang melengkung itu akan terlihat seperti garis lurus, kan? Nah, garis lurus imajiner itulah yang kita sebut **garis singgung**. Gradien dari garis singgung di titik <InlineMath math="x=a" /> pada kurva <InlineMath math="y=f(x)" /> nilainya sama persis dengan turunan fungsi di titik itu, yaitu <InlineMath math="m = f'(a)" />.

## Menentukan Persamaan Garis Singgung

Untuk membuat persamaan garis lurus, kita butuh dua hal utama: sebuah titik yang dilewati garis dan gradien garis itu sendiri. Dalam konteks ini:

1.  **Titik Singgung:** Sebuah titik <InlineMath math="P(a, b)" /> tempat garis menyentuh kurva.
2.  **Gradien (m):** Kemiringan garis di titik tersebut, yang kita dapatkan dari turunan, <InlineMath math="m = f'(a)" />.

Setelah punya keduanya, kita bisa langsung masukkan ke dalam rumus dasar persamaan garis yang sudah kamu kenal:

<BlockMath math="y - b = m(x - a)" />

> Singkatnya, untuk menemukan persamaan garis singgung, cari dulu gradiennya dengan menurunkan fungsi, lalu masukkan titik singgung dan gradien ke dalam rumus persamaan garis.

## Membedah Kasus

Mari kita lihat cara kerjanya lewat sebuah contoh. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola <InlineMath math="y = 2 - 4x^2" /> di titik <InlineMath math="(1, -2)" />.

**Penyelesaian:**

**Langkah 1: Cari gradien garis singgung**

Pertama, kita turunkan fungsi <InlineMath math="f(x) = 2 - 4x^2" /> untuk mendapatkan ekspresi gradiennya.

<BlockMath math="f'(x) = -8x" />

Karena kita mau mencari gradien di titik yang absisnya <InlineMath math="x=1" />, substitusikan nilai ini ke dalam turunan.

<BlockMath math="m = f'(1) = -8(1) = -8" />

Jadi, gradien garis singgungnya adalah -8.

**Langkah 2: Susun persamaannya**

Sekarang kita punya semua yang dibutuhkan:
-   Titik singgung <InlineMath math="(a, b) = (1, -2)" />
-   Gradien <InlineMath math="m = -8" />

Masukkan ke dalam rumus persamaan garis:
<div className="flex flex-col gap-4">
    <BlockMath math="y - b = m(x - a)" />
    <BlockMath math="y - (-2) = -8(x - 1)" />
    <BlockMath math="y + 2 = -8x + 8" />
    <BlockMath math="y = -8x + 6" />
</div>

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah <InlineMath math="y = -8x + 6" />.

<LineEquation
  title={<>Visualisasi Garis Singgung pada Parabola</>}
  description={
    <>
      Grafik ini menunjukkan kurva parabola <InlineMath math="y = 2 - 4x^2" />{" "}
      dan garis singgungnya <InlineMath math="y = -8x + 6" /> yang bertemu
      tepat di titik singgung <InlineMath math="(1, -2)" />.
    </>
  }
  showZAxis={false}
  cameraPosition={[0, 0, 15]}
  data={[
    {
      points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
        const x = -2 + i * 0.1;
        return { x, y: 2 - 4 * x * x, z: 0 };
      }),
      color: getColor("LIME"),
      showPoints: false,
      labels: [
        {
          text: "y = 2 - 4x^2",
          at: 5,
          offset: [-2, 3, 0],
        },
      ],
    },
    {
      points: [
        { x: 0, y: 6, z: 0 },
        { x: 2, y: -10, z: 0 },
      ],
      color: getColor("YELLOW"),
      smooth: false,
      showPoints: false,
      labels: [
        {
          text: "y = -8x + 6",
          at: 0,
          offset: [2.5, -2.5, 0],
        },
      ],
    },
    {
      points: [{ x: 1, y: -2, z: 0 }],
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: true,
      labels: [
        {
          text: "(1, -2)",
          offset: [1.5, -0.5, 0],
        },
      ],
    },
  ]}
/>

## Latihan

1.  Carilah persamaan garis singgung kurva <InlineMath math="y = x^2 - 6\frac{1}{5}x + 14\frac{1}{2}" /> yang sejajar dengan garis <InlineMath math="x + 2y + 3 = 0" />.

2.  Tentukan persamaan garis singgung parabola <InlineMath math="y = 2x^2 - 3x + 5" /> pada titik yang berordinat 4.

3.  Suatu kurva <InlineMath math="y = 3x - \frac{3}{x^2}" /> memotong sumbu X di P. Carilah persamaan garis singgung kurva tersebut pada titik P!

4.  Kurva <InlineMath math="y = (x^2 + 2)^2" /> memotong sumbu Y pada titik A. Tunjukkan bahwa garis singgung pada kurva tersebut melalui titik A sejajar sumbu X dan berjarak 4 satuan terhadap titik pusat koordinat!

5.  Tentukan koordinat titik pada kurva <InlineMath math="y = 2x^2 - 7x + 1" />, jika garis singgung kurva melalui titik tersebut dan membentuk sudut 45° terhadap sumbu X positif. Tentukan pula persamaan garis singgung kurva yang melalui titik tersebut!

### Kunci Jawaban

1.  **Penyelesaian:**

    **Langkah 1: Tentukan gradien.**

    Garis singgung harus sejajar dengan garis <InlineMath math="x + 2y + 3 = 0" />. Untuk menemukan gradiennya, kita ubah dulu persamaan garis ini ke bentuk <InlineMath math="y = mx + c" />.

    <div className="flex flex-col gap-4">
        <BlockMath math="2y = -x - 3" />
        <BlockMath math="y = -\frac{1}{2}x - \frac{3}{2}" />
    </div>

    Dari sini, kita tahu gradien garisnya adalah <InlineMath math="m = -\frac{1}{2}" />. Karena garis singgungnya sejajar, maka gradiennya juga sama.

    **Langkah 2: Cari titik singgung.**

    Gradien kurva pada suatu titik sama dengan nilai turunan pertama fungsi di titik tersebut. Pertama, kita cari fungsi turunan dari <InlineMath math="f(x) = x^2 - \frac{31}{5}x + \frac{29}{2}" />.

    <BlockMath math="f'(x) = 2x - \frac{31}{5}" />

    Kemudian, kita samakan nilai turunan ini dengan gradien yang sudah kita ketahui (<InlineMath math="m = -1/2" />) untuk menemukan absis (<InlineMath math="x" />) dari titik singgung.

    <div className="flex flex-col gap-4">
        <BlockMath math="2x - \frac{31}{5} = -\frac{1}{2}" />
        <BlockMath math="2x = \frac{31}{5} - \frac{1}{2} = \frac{62 - 5}{10} = \frac{57}{10}" />
        <BlockMath math="x = \frac{57}{20}" />
    </div>

    Setelah mendapatkan absis <InlineMath math="x=\frac{57}{20}" />, kita substitusikan nilai ini kembali ke persamaan kurva *awal* untuk menemukan ordinatnya (<InlineMath math="y" />).

    <BlockMath math="y = (\frac{57}{20})^2 - \frac{31}{5}(\frac{57}{20}) + \frac{29}{2} = \frac{3249}{400} - \frac{1767}{100} + \frac{29}{2} = \frac{3249 - 7068 + 5800}{400} = \frac{1981}{400}" />

    Jadi, titik singgungnya adalah <InlineMath math="\left(\frac{57}{20}, \frac{1981}{400}\right)" />.

    **Langkah 3: Susun persamaan garis.**

    Dengan titik <InlineMath math="\left(\frac{57}{20}, \frac{1981}{400}\right)" /> dan gradien <InlineMath math="m = -\frac{1}{2}" />, persamaannya adalah:

    <div className="flex flex-col gap-4">
        <BlockMath math="y - \frac{1981}{400} = -\frac{1}{2}\left(x - \frac{57}{20}\right)" />
        <BlockMath math="y = -\frac{1}{2}x + \frac{57}{40} + \frac{1981}{400}" />
        <BlockMath math="y = -\frac{1}{2}x + \frac{570 + 1981}{400}" />
        <BlockMath math="y = -\frac{1}{2}x + \frac{2551}{400}" />
    </div>

2.  **Penyelesaian:**

    **Langkah 1: Cari titik singgung.**

    Karena ordinatnya adalah 4, kita atur <InlineMath math="y=4" /> pada persamaan parabola.

    <div className="flex flex-col gap-4">
        <BlockMath math="4 = 2x^2 - 3x + 5" />
        <BlockMath math="2x^2 - 3x + 1 = 0" />
        <BlockMath math="(2x-1)(x-1) = 0" />
    </div>

    Dari faktorisasi, kita mendapatkan dua nilai absis, yaitu <InlineMath math="x=1" /> dan <InlineMath math="x=\frac{1}{2}" />. Ini berarti ada dua titik singgung: <InlineMath math="(1, 4)" /> dan <InlineMath math="\left(\frac{1}{2}, 4\right)" />. Karena itu, akan ada dua persamaan garis singgung.

    **Langkah 2: Hitung gradien dan buat persamaan untuk setiap titik.**

    Kita akan memproses setiap titik singgung secara terpisah. Turunan fungsinya adalah <InlineMath math="f'(x) = 4x - 3" />.

    **Kasus Pertama: Titik <InlineMath math="(1, 4)" />**

    Gradien di titik ini adalah <InlineMath math="m = f'(1) = 4(1) - 3 = 1" />.

    Maka, persamaannya adalah:

    <BlockMath math="y - 4 = 1(x - 1) \implies y = x + 3" />

    **Kasus Kedua: Titik <InlineMath math="\left(\frac{1}{2}, 4\right)" />**

    Gradien di titik ini adalah <InlineMath math="m = f'(\frac{1}{2}) = 4(\frac{1}{2}) - 3 = -1" />.

    Maka, persamaannya adalah:

    <BlockMath math="y - 4 = -1(x - \frac{1}{2}) \implies y = -x + \frac{9}{2}" />

3.  **Penyelesaian:**
    
    **Langkah 1: Cari titik P.**

    Kurva memotong sumbu X saat <InlineMath math="y=0" />.

    <div className="flex flex-col gap-4">
        <BlockMath math="0 = 3x - \frac{3}{x^2}" />
        <BlockMath math="3x = \frac{3}{x^2} \implies 3x^3 = 3 \implies x^3 = 1 \implies x=1" />
    </div>

    Jadi, titik potong P adalah <InlineMath math="(1, 0)" />.

    **Langkah 2: Cari gradien di P.**

    Kita ubah dulu fungsinya menjadi <InlineMath math="f(x) = 3x - 3x^{-2}" /> agar mudah diturunkan.

    <BlockMath math="f'(x) = 3 - (-2)(3)x^{-3} = 3 + \frac{6}{x^3}" />

    Gradien di <InlineMath math="x=1" /> adalah <InlineMath math="m = f'(1) = 3 + \frac{6}{1^3} = 9" />.
    
    **Langkah 3: Susun persamaan.**

    Dengan titik <InlineMath math="(1, 0)" /> dan gradien 9, persamaannya adalah:

    <BlockMath math="y - 0 = 9(x - 1) \implies y = 9x - 9" />

4.  **Penyelesaian:**

    **Langkah 1: Cari titik A.**

    Kurva memotong sumbu Y saat <InlineMath math="x=0" />.

    <BlockMath math="y = (0^2 + 2)^2 = 4" />

    Jadi, titik potong A adalah <InlineMath math="(0, 4)" />.

    **Langkah 2: Buktikan garis singgung sejajar sumbu X.**

    Garis yang sejajar sumbu X pasti memiliki gradien 0. Mari kita buktikan bahwa turunan fungsi di titik A (<InlineMath math="x=0" />) adalah nol.

    Turunan dari <InlineMath math="f(x)=(x^2+2)^2" /> menggunakan aturan rantai adalah <InlineMath math="f'(x) = 2(x^2+2)(2x) = 4x(x^2+2)" />.

    Gradien di <InlineMath math="x=0" /> adalah <InlineMath math="m = f'(0) = 4(0)(0^2+2) = 0" />.

    Karena gradiennya nol, **terbukti garis singgungnya sejajar dengan sumbu X**.

    **Langkah 3: Buktikan jaraknya 4 satuan dari pusat koordinat.**

    Persamaan garis singgung di titik <InlineMath math="(0,4)" /> dengan gradien <InlineMath math="m=0" /> adalah:

    <BlockMath math="y - 4 = 0(x - 0) \implies y = 4" />

    Garis <InlineMath math="y=4" /> adalah garis horizontal. Jarak setiap titik pada garis ini ke sumbu X (garis <InlineMath math="y=0" />) adalah 4 satuan. Karena titik pusat koordinat <InlineMath math="(0,0)" /> terletak di sumbu X, maka jarak garis singgung ini ke pusat koordinat juga 4 satuan. **Terbukti.**

5.  **Penyelesaian:**

    **Langkah 1: Tentukan gradien dari sudut.**

    Hubungan antara gradien (<InlineMath math="m" />) dan sudut (<InlineMath math="\theta" />) yang dibentuk sebuah garis terhadap sumbu X positif adalah <InlineMath math="m = \tan(\theta)" />.

    <BlockMath math="m = \tan(45^\circ) = 1" />

    Jadi, gradien garis singgung yang kita cari adalah 1.
    
    **Langkah 2: Cari koordinat titik singgung.**

    Gradien juga merupakan turunan pertama dari kurva <InlineMath math="f(x) = 2x^2 - 7x + 1" />.

    <BlockMath math="f'(x) = 4x - 7" />

    Kita samakan dengan gradien yang sudah kita dapatkan:

    <div className="flex flex-col gap-4">
        <BlockMath math="4x - 7 = 1" />
        <BlockMath math="4x = 8 \implies x = 2" />
    </div>

    Sekarang, cari nilai <InlineMath math="y" /> dengan memasukkan <InlineMath math="x=2" /> ke persamaan kurva:

    <BlockMath math="y = 2(2)^2 - 7(2) + 1 = 8 - 14 + 1 = -5" />

    Jadi, koordinat titik singgungnya adalah <InlineMath math="(2, -5)" />.

    **Langkah 3: Tentukan persamaan garis singgung.**

    Menggunakan titik <InlineMath math="(2, -5)" /> dan gradien <InlineMath math="m=1" />:

    <div className="flex flex-col gap-4">
        <BlockMath math="y - (-5) = 1(x - 2)" />
        <BlockMath math="y + 5 = x - 2" />
        <BlockMath math="y = x - 7" />
    </div>