# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/12/mathematics/derivative-function/increasing-decreasing-and-stationary-function
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/12/mathematics/derivative-function/increasing-decreasing-and-stationary-function/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

import { LineEquation } from "@repo/design-system/components/contents/line-equation";
import { getColor } from "@repo/design-system/lib/color";

export const metadata = {
  title: "Fungsi Naik, Turun, dan Stasioner",
  description: "Kuasai cara mengidentifikasi fungsi naik, turun, dan stasioner menggunakan turunan. Pelajari analisis perilaku fungsi dan penentuan interval kemonotonan.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "05/26/2025",
  subject: "Turunan Fungsi",
};

## Perilaku Fungsi dan Turunannya

Pernahkah kamu memperhatikan bagaimana grafik sebuah fungsi bisa bergerak naik, turun, atau bahkan mendatar sejenak? Perilaku ini, yang disebut **kemonotonan fungsi**, ternyata punya kaitan erat dengan turunan pertamanya.

Bayangkan kamu sedang berjalan di sepanjang kurva grafik dari kiri ke kanan.

-   Saat kamu **mendaki**, artinya fungsi tersebut sedang **naik**.

-   Saat kamu **menuruni lembah**, artinya fungsi tersebut sedang **turun**.

-   Saat kamu berada di puncak bukit atau di dasar lembah, kamu berada di titik **diam** atau **stasioner**.

Secara geometris, turunan pertama, <InlineMath math="f'(x)" />, adalah gradien dari garis singgung pada kurva di titik tersebut. Jadi, perilaku fungsi bisa kita lihat dari tanda gradiennya.

## Sifat Kemonotonan Fungsi

Hubungan antara turunan pertama dan perilaku fungsi dapat kita rangkum dalam sifat-sifat berikut:

Misalkan fungsi <InlineMath math="y = f(x)" /> kontinu dan dapat diturunkan (diferensiabel) pada suatu interval.

-   Jika <InlineMath math="f'(x) > 0" /> untuk semua <InlineMath math="x" /> dalam interval tersebut, maka <InlineMath math="f(x)" /> adalah **fungsi naik**.

-   Jika <InlineMath math="f'(x) < 0" /> untuk semua <InlineMath math="x" /> dalam interval tersebut, maka <InlineMath math="f(x)" /> adalah **fungsi turun**.

-   Jika <InlineMath math="f'(x) = 0" /> pada titik tertentu, maka <InlineMath math="f(x)" /> memiliki **titik stasioner** di sana.

Titik stasioner inilah yang menjadi kunci untuk menemukan di mana sebuah fungsi berubah dari naik menjadi turun, atau sebaliknya.

## Menganalisis Interval Fungsi

Mari kita bedah sebuah kasus untuk melihat bagaimana cara menentukan interval di mana sebuah fungsi naik atau turun.

Tentukan interval agar fungsi <InlineMath math="f(x) = x^3 - 3x" /> merupakan fungsi naik dan fungsi turun.

**Penyelesaian:**

**Langkah 1: Cari turunan pertama**

Pertama, kita turunkan fungsi <InlineMath math="f(x)" />.

<BlockMath math="f'(x) = 3x^2 - 3" />

**Langkah 2: Temukan titik stasioner**

Titik stasioner terjadi saat <InlineMath math="f'(x) = 0" />.

<div className="flex flex-col gap-4">
    <BlockMath math="3x^2 - 3 = 0" />
    <BlockMath math="x^2 - 1 = 0" />
    <BlockMath math="(x-1)(x+1) = 0" />
</div>

Dari sini, kita dapatkan titik-titik stasionernya adalah <InlineMath math="x = 1" /> dan <InlineMath math="x = -1" />.

**Langkah 3: Buat garis bilangan dan uji interval**

Kita letakkan titik stasioner pada garis bilangan. Titik-titik ini membagi garis menjadi tiga interval. Kita ambil satu titik uji dari setiap interval untuk mengetahui tanda <InlineMath math="f'(x)" /> (positif atau negatif).

-   **Interval <InlineMath math="x < -1" />:**
    
    Ambil <InlineMath math="x=-2" />. <InlineMath math="f'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 9" /> (Positif, fungsi naik).

-   **Interval <InlineMath math="-1 < x < 1" />:**
    
    Ambil <InlineMath math="x=0" />. <InlineMath math="f'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3" /> (Negatif, fungsi turun).

-   **Interval <InlineMath math="x > 1" />:**
    
    Ambil <InlineMath math="x=2" />. <InlineMath math="f'(2) = 3(2)^2 - 3 = 9" /> (Positif, fungsi naik).

**Langkah 4: Simpulkan intervalnya**

Berdasarkan pengujian, kita dapat menyimpulkan:

-   Fungsi naik pada interval <InlineMath math="x < -1" /> atau <InlineMath math="x > 1" />.

-   Fungsi turun pada interval <InlineMath math="-1 < x < 1" />.

<LineEquation
  title={<>Visualisasi Kemonotonan Fungsi</>}
  description={
    <>
      Grafik ini mengilustrasikan perilaku fungsi <InlineMath math="f(x) = x^3 - 3x" />. 
      Perhatikan bagaimana kurva naik saat turunannya positif, turun saat turunannya negatif, dan mendatar pada titik stasioner di mana <InlineMath math="f'(x)=0" />.
    </>
  }
  showZAxis={false}
  cameraPosition={[0, 0, 10]}
  data={[
    {
      points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
        const x = -2 + i * 0.05;
        const y = x ** 3 - 3 * x;
        return { x, y, z: 0 };
      }),
      color: getColor("LIME"),
      showPoints: false,
      labels: [
        {
          text: "Naik",
          at: 5,
          offset: [-1, 1, 0],
        },
      ],
    },
    {
      points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
        const x = -1 + i * 0.05;
        const y = x ** 3 - 3 * x;
        return { x, y, z: 0 };
      }),
      color: getColor("ROSE"),
      showPoints: false,
      labels: [
        {
          text: "Turun",
          at: 20,
          offset: [0, -1, 0],
        },
      ],
    },
    {
      points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
        const x = 1 + i * 0.05;
        const y = x ** 3 - 3 * x;
        return { x, y, z: 0 };
      }),
      color: getColor("LIME"),
      showPoints: false,
      labels: [
        {
          text: "Naik",
          at: 15,
          offset: [1, 1, 0],
        },
      ],
    },
    {
      points: [{ x: -1, y: 2, z: 0 }],
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: true,
      labels: [
        {
          text: "Stasioner (-1, 2)",
          offset: [-2.5, 0.5, 0],
        },
      ],
    },
    {
      points: [{ x: 1, y: -2, z: 0 }],
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: true,
      labels: [
        {
          text: "Stasioner (1, -2)",
          offset: [2.5, -0.5, 0],
        },
      ],
    },
  ]}
/>

## Latihan

1.  Tentukan interval fungsi naik dan interval fungsi turun pada kurva <InlineMath math="f(x) = x^3 - 3x^2 - 15" />.

2.  Jika fungsi <InlineMath math="f(x) = ax^3 + x^2 + 5" /> selalu naik dalam interval <InlineMath math="0 < x < 2" />, tentukanlah nilai dari koefisien <InlineMath math="a" />!

3.  Tentukan interval fungsi naik dan turun jika diketahui kurva <InlineMath math="f(x) = \sin 2x \cos 2x" />!

### Kunci Jawaban

1.  **Penyelesaian:**

    Turunan pertama dari <InlineMath math="f(x) = x^3 - 3x^2 - 15" /> adalah <InlineMath math="f'(x) = 3x^2 - 6x" />.
    
    Titik stasioner didapat saat <InlineMath math="f'(x) = 0" />.

    <BlockMath math="3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0" />

    Titik stasionernya adalah <InlineMath math="x=0" /> dan <InlineMath math="x=2" />.

    Dengan menguji interval pada garis bilangan:

    -   Untuk <InlineMath math="x<0" />, <InlineMath math="f'(x)" /> positif (naik).

    -   Untuk <InlineMath math="0<x<2" />, <InlineMath math="f'(x)" /> negatif (turun).

    -   Untuk <InlineMath math="x>2" />, <InlineMath math="f'(x)" /> positif (naik).

    Jadi, fungsi naik pada <InlineMath math="x < 0" /> atau <InlineMath math="x > 2" />, dan turun pada interval <InlineMath math="0 < x < 2" />.

2.  **Penyelesaian:**

    Agar sebuah fungsi *selalu naik* pada suatu interval, turunan pertamanya harus non-negatif (<InlineMath math="f'(x) \ge 0" />) untuk setiap titik di dalam interval tersebut.

    <BlockMath math="f'(x) = 3ax^2 + 2x = x(3ax + 2)" />
    
    Pada interval <InlineMath math="0 < x < 2" />, faktor <InlineMath math="x" /> selalu positif. Oleh karena itu, agar <InlineMath math="f'(x) \ge 0" />, faktor kedua yaitu <InlineMath math="(3ax + 2)" /> juga harus non-negatif.
    
    <BlockMath math="3ax + 2 \ge 0" />
    
    Ketidaksamaan ini harus terpenuhi untuk semua nilai <InlineMath math="x" /> dalam interval <InlineMath math="0 < x < 2" />. Karena <InlineMath math="h(x) = 3ax + 2" /> adalah fungsi linear, perilakunya monoton. Kita hanya perlu memastikan nilainya non-negatif pada titik ujung interval yang paling "kritis".

    -   Jika <InlineMath math="a \ge 0" />, maka <InlineMath math="3ax" /> juga non-negatif, sehingga <InlineMath math="3ax+2" /> pasti akan positif. Kondisi ini sudah terpenuhi.

    -   Jika <InlineMath math="a < 0" />, maka <InlineMath math="h(x)" /> adalah fungsi yang menurun. Nilai terkecilnya akan berada di ujung kanan interval (<InlineMath math="x=2" />). Agar <InlineMath math="h(x)" /> selalu non-negatif, kita cukup pastikan nilai minimumnya ini lebih besar atau sama dengan nol.

    Kita uji pada batas kritis <InlineMath math="x=2" />:

    <div className="flex flex-col gap-4">
        <BlockMath math="3a(2) + 2 \ge 0" />
        <BlockMath math="6a \ge -2" />
        <BlockMath math="a \ge -1/3" />
    </div>

    Dengan menggabungkan kedua kasus tersebut, syarat agar fungsi selalu naik pada interval yang diberikan adalah <InlineMath math="a \ge -1/3" />.

3.  **Penyelesaian:**

    Gunakan identitas trigonometri sudut ganda: <InlineMath math="\sin(2A) = 2\sin(A)\cos(A)" />.

    Maka, <InlineMath math="f(x) = \sin 2x \cos 2x = \frac{1}{2} \sin(4x)" />.
    
    Turunan pertamanya adalah:

    <BlockMath math="f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \cos(4x) \cdot 4 = 2\cos(4x)" />
    
    -   **Fungsi naik** saat <InlineMath math="f'(x) > 0" />, yaitu <InlineMath math="2\cos(4x) > 0" /> atau <InlineMath math="\cos(4x) > 0" />. Ini terjadi di kuadran I dan IV.

        <div className="flex flex-col gap-4">
            <BlockMath math="-\frac{\pi}{2} + 2k\pi < 4x < \frac{\pi}{2} + 2k\pi" />
            <BlockMath math="-\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} < x < \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}" />
        </div>

        Interval ini berlaku untuk setiap <InlineMath math="k" /> bilangan bulat.

    -   **Fungsi turun** saat <InlineMath math="f'(x) < 0" />, yaitu <InlineMath math="\cos(4x) < 0" />. Ini terjadi di kuadran II dan III.

        <div className="flex flex-col gap-4">
            <BlockMath math="\frac{\pi}{2} + 2k\pi < 4x < \frac{3\pi}{2} + 2k\pi" />
            <BlockMath math="\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}" />
        </div>

        Interval ini berlaku untuk setiap <InlineMath math="k" /> bilangan bulat.