# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/12/mathematics/function-transformation/vertical-translation
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/12/mathematics/function-transformation/vertical-translation/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
  title: "Translasi Vertikal",
  description: "Buka rahasia translasi vertikal untuk menggerakkan grafik fungsi naik turun dengan mudah. Lihat bagaimana menambah konstanta menggeser grafik tanpa ubah bentuk.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "05/26/2025",
  subject: "Transformasi Fungsi",
};

import { getColor } from "@repo/design-system/lib/color";
import { LineEquation } from "@repo/design-system/components/contents/line-equation";

## Konsep Dasar Translasi Vertikal

Translasi vertikal adalah transformasi geometri yang menggeser grafik fungsi ke atas atau ke bawah sepanjang sumbu y tanpa mengubah bentuk grafik tersebut. Bayangkan seperti mengangkat atau menurunkan sebuah objek secara vertikal, bentuknya tetap sama, hanya posisinya yang berubah.

Jika kita memiliki fungsi <InlineMath math="f(x)" />, maka translasi vertikal menghasilkan fungsi baru <InlineMath math="g(x) = f(x) + k" /> dimana <InlineMath math="k" /> adalah konstanta translasi.

### Aturan Translasi Vertikal

Untuk setiap fungsi <InlineMath math="f(x)" />, translasi vertikal didefinisikan sebagai:

<BlockMath math="g(x) = f(x) + k" />

Dimana:
- Jika <InlineMath math="k > 0" />, grafik bergeser ke **atas** sebesar <InlineMath math="k" /> satuan
- Jika <InlineMath math="k < 0" />, grafik bergeser ke **bawah** sebesar <InlineMath math="|k|" /> satuan
- Jika <InlineMath math="k = 0" />, tidak ada translasi (grafik tetap sama)

## Visualisasi Translasi Vertikal

Mari kita lihat bagaimana translasi vertikal bekerja pada fungsi linear <InlineMath math="f(x) = 2x" />.

<LineEquation
  title={<>Translasi Vertikal Fungsi Linear <InlineMath math="f(x) = 2x" /></>}
  description="Perhatikan bagaimana grafik bergeser vertikal tanpa mengubah kemiringan garis."
  showZAxis={false}
  data={[
    {
      points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
        const x = (i - 10) * 0.5;
        return { x, y: 2 * x, z: 0 };
      }),
      color: getColor("PURPLE"),
      labels: [{ text: "f(x) = 2x", offset: [1, 0.5, 0] }],
      showPoints: false,
    },
    {
      points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
        const x = (i - 10) * 0.5;
        return { x, y: 2 * x + 3, z: 0 };
      }),
      color: getColor("ORANGE"),
      labels: [{ text: "g(x) = 2x + 3", offset: [1, 0.5, 0] }],
      showPoints: false,
    },
    {
      points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
        const x = (i - 10) * 0.5;
        return { x, y: 2 * x - 2, z: 0 };
      }),
      color: getColor("TEAL"),
      labels: [{ text: "h(x) = 2x + (-2)", offset: [1, 0.5, 0] }],
      showPoints: false,
    },
  ]}
/>

Dari visualisasi di atas, kita dapat mengamati:
- Fungsi asli <InlineMath math="f(x) = 2x" /> melewati titik asal
- Fungsi <InlineMath math="g(x) = 2x + 3" /> adalah hasil translasi ke atas 3 satuan
- Fungsi <InlineMath math="h(x) = 2x + (-2)" /> adalah hasil translasi ke bawah 2 satuan

## Translasi Vertikal pada Fungsi Kuadrat

Sekarang mari kita terapkan konsep yang sama pada fungsi kuadrat <InlineMath math="f(x) = x^2" />.

<LineEquation
  title={<>Translasi Vertikal Fungsi Kuadrat <InlineMath math="f(x) = x^2" /></>}
  description="Bentuk parabola tetap sama, hanya posisi vertikalnya yang berubah."
  showZAxis={false}
  data={[
    {
      points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
        const x = (i - 20) * 0.25;
        return { x, y: x * x, z: 0 };
      }),
      color: getColor("VIOLET"),
      labels: [{ text: "f(x) = x²", offset: [1, 1, 0] }],
      showPoints: false,
    },
    {
      points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
        const x = (i - 20) * 0.25;
        return { x, y: x * x + 4, z: 0 };
      }),
      color: getColor("AMBER"),
      labels: [{ text: "g(x) = x² + 4", offset: [1, 1, 0] }],
      showPoints: false,
    },
    {
      points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
        const x = (i - 20) * 0.25;
        return { x, y: x * x - 3, z: 0 };
      }),
      color: getColor("CYAN"),
      labels: [{ text: "h(x) = x² + (-3)", offset: [1, 1, 0] }],
      showPoints: false,
    },
  ]}
/>

Perhatikan bahwa:
- Titik puncak parabola asli <InlineMath math="f(x) = x^2" /> berada di <InlineMath math="(0, 0)" />
- Setelah translasi vertikal +4, titik puncak <InlineMath math="g(x) = x^2 + 4" /> berada di <InlineMath math="(0, 4)" />
- Setelah translasi vertikal +(-3), titik puncak <InlineMath math="h(x) = x^2 + (-3)" /> berada di <InlineMath math="(0, -3)" />

## Sifat Penting Translasi Vertikal

### Bentuk Grafik Tidak Berubah

Translasi vertikal mempertahankan bentuk asli grafik. Jarak antara titik pada grafik tetap sama, hanya posisi vertikal yang berubah.

### Pengaruh pada Titik Koordinat

Jika titik <InlineMath math="(a, b)" /> berada pada grafik <InlineMath math="f(x)" />, maka setelah translasi vertikal sebesar <InlineMath math="k" />, titik tersebut menjadi <InlineMath math="(a, b + k)" /> pada grafik <InlineMath math="f(x) + k" />.

### Domain dan Range

- **Domain**: Tidak berubah setelah translasi vertikal
- **Range**: Bergeser sebesar <InlineMath math="k" /> satuan

Jika range fungsi asli adalah <InlineMath math="[c, d]" />, maka range setelah translasi vertikal <InlineMath math="k" /> menjadi <InlineMath math="[c + k, d + k]" />.

## Contoh Penerapan

### Contoh Fungsi Eksponensial

Mari kita lihat translasi vertikal pada fungsi eksponensial <InlineMath math="f(x) = 2^x" />.

<LineEquation
  title={<>Translasi Vertikal Fungsi Eksponensial <InlineMath math="f(x) = 2^x" /></>}
  description="Kurva eksponensial mempertahankan karakteristiknya setelah translasi vertikal."
  showZAxis={false}
  data={[
    {
      points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
        const x = (i - 15) * 0.2;
        return { x, y: Math.pow(2, x), z: 0 };
      }),
      color: getColor("INDIGO"),
      labels: [{ text: "f(x) = 2^x", offset: [0.5, 1, 0] }],
      showPoints: false,
    },
    {
      points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
        const x = (i - 15) * 0.2;
        return { x, y: Math.pow(2, x) + 2, z: 0 };
      }),
      color: getColor("EMERALD"),
      labels: [{ text: "g(x) = 2^x + 2", offset: [0.5, 1, 0] }],
      showPoints: false,
    },
    {
      points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
        const x = (i - 15) * 0.2;
        return { x, y: Math.pow(2, x) - 1, z: 0 };
      }),
      color: getColor("ROSE"),
      labels: [{ text: "h(x) = 2^x + (-1)", offset: [0.5, 1, 0] }],
      showPoints: false,
    },
  ]}
/>

Pada fungsi eksponensial:
- Asimtot horizontal <InlineMath math="y = 0" /> pada <InlineMath math="f(x) = 2^x" /> bergeser menjadi <InlineMath math="y = k" /> pada <InlineMath math="f(x) + k" />
- Titik potong dengan sumbu y bergeser dari <InlineMath math="(0, 1)" /> menjadi <InlineMath math="(0, 1 + k)" />

## Latihan

1. Diberikan fungsi <InlineMath math="f(x) = x^2 + 4x + 3" />. Tentukan persamaan fungsi hasil translasi vertikal ke atas sebesar 5 satuan.

2. Jika grafik fungsi <InlineMath math="g(x) = 3x + 2" /> ditranslasi vertikal ke bawah sebesar 7 satuan, tentukan:
   - Persamaan fungsi hasil translasi
   - Titik potong dengan sumbu y setelah translasi

3. Fungsi <InlineMath math="h(x) = \sqrt{x}" /> mengalami translasi vertikal sehingga titik <InlineMath math="(4, 2)" /> menjadi <InlineMath math="(4, 5)" />. Tentukan nilai konstanta translasi dan persamaan fungsi hasil translasi.

### Kunci Jawaban

1. Translasi vertikal ke atas 5 satuan: <InlineMath math="f'(x) = f(x) + 5 = x^2 + 4x + 3 + 5 = x^2 + 4x + 8" />

   <LineEquation
     title={<>Fungsi <InlineMath math="f(x) = x^2 + 4x + 3" /> dan Hasil Translasinya</>}
     description="Fungsi kuadrat asli dan hasil translasi vertikal ke atas 5 satuan."
     showZAxis={false}
     data={[
       {
         points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
           const x = (i - 20) * 0.25;
           return { x, y: x * x + 4 * x + 3, z: 0 };
         }),
         color: getColor("PURPLE"),
         labels: [{ text: "f(x) = x² + 4x + 3", at: 10, offset: [0, 1.5, 0] }],
         showPoints: false,
       },
       {
         points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
           const x = (i - 20) * 0.25;
           return { x, y: x * x + 4 * x + 3 + 5, z: 0 };
         }),
         color: getColor("ORANGE"),
         labels: [{ text: "f'(x) = x² + 4x + 8", at: 10, offset: [0, -0.5, 0] }],
         showPoints: false,
       },
     ]}
   />

2. Persamaan fungsi hasil translasi:
    
   - Translasi ke bawah 7 satuan: <InlineMath math="g'(x) = g(x) + (-7) = 3x + 2 + (-7) = 3x + (-5)" />
   - Titik potong dengan sumbu y: substitusi <InlineMath math="x = 0" /> ke <InlineMath math="g'(x) = 3(0) + (-5) = -5" />, jadi titik potongnya adalah <InlineMath math="(0, -5)" />

   Visualisasi:

   <LineEquation
     title={<>Fungsi <InlineMath math="g(x) = 3x + 2" /> dan Hasil Translasinya</>}
     description="Fungsi linear asli dan hasil translasi vertikal ke bawah 7 satuan."
     showZAxis={false}
     data={[
       {
         points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
           const x = (i - 10) * 0.5;
           return { x, y: 3 * x + 2, z: 0 };
         }),
         color: getColor("VIOLET"),
         labels: [{ text: "g(x) = 3x + 2", offset: [1, 0.5, 0] }],
         showPoints: false,
       },
       {
         points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
           const x = (i - 10) * 0.5;
           return { x, y: 3 * x + 2 - 7, z: 0 };
         }),
         color: getColor("TEAL"),
         labels: [{ text: "g'(x) = 3x + (-5)", offset: [1, 0.5, 0] }],
         showPoints: false,
       },
     ]}
   />

3. Titik <InlineMath math="(4, 2)" /> pada <InlineMath math="h(x) = \sqrt{x}" /> menjadi <InlineMath math="(4, 5)" />, berarti translasi vertikal sebesar <InlineMath math="k = 5 - 2 = 3" /> satuan ke atas.
   Persamaan hasil translasi: <InlineMath math="h'(x) = \sqrt{x} + 3" />

   <LineEquation
     title={<>Fungsi <InlineMath math="h(x) = \sqrt{x}" /> dan Hasil Translasinya</>}
     description="Fungsi akar kuadrat asli dan hasil translasi vertikal ke atas 3 satuan."
     showZAxis={false}
     data={[
       {
         points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
           const x = i * 0.25;
           return { x, y: Math.sqrt(x), z: 0 };
         }),
         color: getColor("INDIGO"),
         labels: [{ text: "h(x) = √x", offset: [1, 1, 0] }],
         showPoints: false,
       },
       {
         points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
           const x = i * 0.25;
           return { x, y: Math.sqrt(x) + 3, z: 0 };
         }),
         color: getColor("EMERALD"),
         labels: [{ text: "h'(x) = √x + 3", offset: [1, 1, 0] }],
         showPoints: false,
       },
     ]}
   />