# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/12/mathematics/integral/definite-integral
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/12/mathematics/integral/definite-integral/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
    title: "Integral Tentu",
    description: "Ubah jumlahan Riemann menjadi perhitungan luas yang eksak menggunakan integral tentu. Pelajari proses limit dan notasi dengan contoh terperinci.",
    authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
    date: "05/26/2025",
    subject: "Integral",
};

## Dari Perkiraan Menuju Luas Pasti

Pada materi [Jumlahan Riemann](/subject/high-school/12/mathematics/integral/riemann-sum), kita telah belajar bagaimana memperkirakan luas di bawah kurva dengan membaginya menjadi banyak persegi panjang. Kita juga tahu bahwa semakin banyak persegi panjang yang kita gunakan (nilai <InlineMath math="n" /> semakin besar), maka perkiraan luas kita akan semakin akurat.

Sekarang, bayangkan jika kita bisa membagi area tersebut menjadi persegi panjang yang **tak terhingga banyaknya**. Lebar setiap persegi panjang (<InlineMath math="\Delta x" />) akan menjadi sangat kecil, mendekati nol. Proses mengambil limit saat jumlah partisi <InlineMath math="n" /> mendekati tak hingga inilah yang mengubah Jumlahan Riemann dari sekadar perkiraan menjadi sebuah perhitungan yang eksak. Konsep inilah yang melahirkan **Integral Tentu**.

## Notasi dan Makna Integral Tentu

Integral tentu adalah cara formal untuk menuliskan "jumlah tak hingga" dari luas persegi panjang yang sangat kecil tersebut. Secara matematis, integral tentu didefinisikan sebagai limit dari Jumlahan Riemann.

<BlockMath math="\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x" />

Notasi ini memiliki arti spesifik:
- **<InlineMath math="\int_{a}^{b}" />**: Ini adalah simbol integral dengan batas **bawah** <InlineMath math="a" /> dan batas **atas** <InlineMath math="b" />. Angka-angka ini mendefinisikan interval di mana kita menghitung luas.
- **<InlineMath math="f(x)" />**: Ini adalah **integran**, yaitu fungsi yang kurvanya sedang kita hitung luasnya.
- **<InlineMath math="dx" />**: Sama seperti pada integral tak tentu, ini menandakan bahwa kita mengintegrasikan terhadap variabel <InlineMath math="x" />.

Berbeda dengan integral tak tentu yang hasilnya adalah sebuah fungsi (<InlineMath math="F(x) + C" />), hasil dari integral tentu adalah sebuah **angka tunggal** yang merepresentasikan luas bersih di bawah kurva dari <InlineMath math="x=a" /> hingga <InlineMath math="x=b" />.

## Menghitung Integral Tentu dengan Limit

Mari kita coba menghitung nilai pasti dari integral tentu menggunakan definisi limitnya, seperti pada contoh di gambar referensi.

**Soal:** Tentukan nilai dari <InlineMath math="\int_{0}^{7} x \, dx" />.

**Penyelesaian:**

Untuk menyelesaikan ini, kita akan mengubahnya kembali ke bentuk limit dari Jumlahan Riemann.

**Langkah 1: Tentukan komponen Jumlahan Riemann**

Dari soal <InlineMath math="\int_{0}^{7} x \, dx" />, kita tahu:
- Fungsi: <InlineMath math="f(x) = x" />
- Interval: <InlineMath math="[a, b] = [0, 7]" />

Maka, lebar setiap subinterval adalah:

<BlockMath math="\Delta x = \frac{b-a}{n} = \frac{7-0}{n} = \frac{7}{n}" />

Kita akan menggunakan titik sampel ujung kanan (<InlineMath math="x_i" />) untuk setiap partisi:

<BlockMath math="x_i = a + i \Delta x = 0 + i \left(\frac{7}{n}\right) = \frac{7i}{n}" />

**Langkah 2: Susun Jumlahan Riemann**

Tinggi setiap persegi panjang adalah <InlineMath math="f(x_i)" />, jadi:

<BlockMath math="f(x_i) = x_i = \frac{7i}{n}" />

Sekarang, kita masukkan ke dalam formula Jumlahan Riemann:

<BlockMath math="\sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x = \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{7i}{n}\right) \left(\frac{7}{n}\right) = \sum_{i=1}^{n} \frac{49i}{n^2}" />

**Langkah 3: Sederhanakan dan gunakan properti notasi sigma**

Kita bisa mengeluarkan konstanta dari sigma, karena <InlineMath math="n" /> dianggap konstan dalam penjumlahan dari <InlineMath math="i=1" /> sampai <InlineMath math="n" />.

<BlockMath math="\frac{49}{n^2} \sum_{i=1}^{n} i" />

Selanjutnya, kita ganti <InlineMath math="\sum_{i=1}^{n} i" /> dengan rumus jumlah deretnya, yaitu <InlineMath math="\frac{n(n+1)}{2}" />, lalu kita sederhanakan ekspresinya untuk mempermudah perhitungan limit.

<div className="flex flex-col gap-4">
<BlockMath math="\frac{49}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2}" />
<BlockMath math="= \frac{49n(n+1)}{2n^2}" />
<BlockMath math="= \frac{49(n+1)}{2n}" />
<BlockMath math="= \frac{49}{2} \left( \frac{n+1}{n} \right) = \frac{49}{2} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)" />
</div>

Langkah-langkah penyederhanaan di atas memastikan kita mendapatkan bentuk yang paling mudah untuk dihitung limitnya. Pertama kita kanselasi <InlineMath math="n" /> dari pembilang dan penyebut, kemudian kita pisahkan pecahannya.

> Untuk menyelesaikan limit dari Jumlahan Riemann, seringkali kita memerlukan beberapa rumus jumlah deret umum:
> - <InlineMath math="\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}" />
> - <InlineMath math="\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}" />
> - <InlineMath math="\sum_{i=1}^{n} i^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2" />

**Langkah 4: Ambil Limitnya**

Terakhir, kita ambil limit saat <InlineMath math="n \to \infty" /> untuk menemukan luas pastinya.

<div className="flex flex-col gap-4">
<BlockMath math="\int_{0}^{7} x \, dx = \lim_{n \to \infty} \frac{49}{2} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)" />
<BlockMath math="= \frac{49}{2} \left( 1 + 0 \right)" />
<BlockMath math="= \frac{49}{2}" />
</div>

Jadi, luas pasti daerah di bawah kurva <InlineMath math="f(x) = x" /> dari <InlineMath math="x=0" /> sampai <InlineMath math="x=7" /> adalah **49/2** atau **24.5**. Ini adalah contoh bagaimana integral tentu memberikan jawaban yang eksak, bukan lagi perkiraan.