# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/12/mathematics/integral/fundamental-theorem-of-calculus
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/12/mathematics/integral/fundamental-theorem-of-calculus/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
    title: "Teorema Dasar Kalkulus",
    description: "Hubungkan turunan dan integral dengan teorema terkuat kalkulus. Pelajari bagaimana antiturunan menyederhanakan perhitungan integral tentu selamanya.",
    authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
    date: "05/26/2025",
    subject: "Integral",
};

## Jembatan Antara Turunan dan Integral

Teorema Dasar Kalkulus (TDK) adalah pilar utama dalam kalkulus yang secara menakjubkan menghubungkan dua konsep yang tampaknya berbeda: **turunan** dan **integral**. Teorema ini memberikan kita metode yang jauh lebih sederhana dan kuat untuk menghitung integral tentu, tanpa perlu melalui proses limit Jumlahan Riemann yang panjang. Teorema ini terbagi menjadi dua bagian penting.

Kedua bagian ini saling melengkapi: bagian pertama menunjukkan bahwa diferensiasi dan integrasi adalah operasi kebalikan, sedangkan bagian kedua memberikan cara praktis untuk menghitung integral tentu menggunakan antiturunan. Teorema ini dibangun atas dasar **Teorema Nilai Rata-rata untuk Integral**, yang menjamin keberadaan titik tertentu dalam interval integrasi.

## Diferensiasi Sebuah Fungsi Integral

Bagian pertama dari TDK mengungkapkan bahwa proses integrasi dan diferensiasi adalah operasi yang saling berlawanan. Secara formal, teorema ini menyatakan:

<BlockMath math="F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt \implies F'(x) = f(x)" />

Ini berarti turunan dari suatu fungsi yang didefinisikan sebagai integral adalah fungsi di dalam integral itu sendiri.

> Analogi sederhananya, bayangkan <InlineMath math="f(t)" /> adalah kecepatan air yang mengalir ke dalam ember pada waktu <InlineMath math="t" />. Maka, <InlineMath math="F(x)" /> adalah total volume air di dalam ember pada waktu <InlineMath math="x" />. Teorema ini mengatakan bahwa laju perubahan volume air pada saat itu (<InlineMath math="F'(x)" />) sama persis dengan kecepatan aliran air pada saat itu (<InlineMath math="f(x)" />).

**Contoh:**

Tentukan turunan dari <InlineMath math="F(x) = \int_{1}^{x} \sqrt{2+t} \, dt" />.

**Penyelesaian:**

Berdasarkan TDK Bagian Pertama, kita tidak perlu mengintegralkan fungsinya. Kita cukup mengganti variabel <InlineMath math="t" /> dalam integran dengan batas atas <InlineMath math="x" />.

<BlockMath math="\frac{d}{dx} \left( \int_{1}^{x} \sqrt{2+t} \, dt \right) = \sqrt{2+x}" />

Prosesnya sesederhana itu. Turunannya adalah fungsi aslinya, dievaluasi pada batas atas.

## Evaluasi Integral dengan Antiturunan

Bagian kedua, yang juga dikenal sebagai **Teorema Evaluasi**, memberikan kita metode praktis untuk menghitung nilai pasti dari sebuah integral tentu. Teorema ini menyatakan:

<BlockMath math="\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)" />

Di mana <InlineMath math="F(x)" /> adalah **antiturunan** (integral tak tentu) dari <InlineMath math="f(x)" />. Artinya, untuk mencari luas di bawah kurva <InlineMath math="f(x)" /> dari <InlineMath math="a" /> sampai <InlineMath math="b" />, kita hanya perlu mencari antiturunannya, lalu menghitung selisih nilainya pada kedua batas tersebut.

Untuk menuliskannya, kita sering menggunakan notasi kurung siku <InlineMath math="[F(x)]_{a}^{b}" /> yang berarti <InlineMath math="F(b) - F(a)" />.

**Contoh 1:**

Tentukan nilai dari <InlineMath math="\int_{1}^{3} x^2 \, dx" />.

**Penyelesaian:**

1.  **Cari antiturunan:** Antiturunan dari <InlineMath math="f(x) = x^2" /> adalah <InlineMath math="F(x) = \frac{1}{3}x^3" />.
2.  **Evaluasi pada batas:** Hitung <InlineMath math="F(3) - F(1)" />.

    <div className="flex flex-col gap-4">
    <BlockMath math="\int_{1}^{3} x^2 \, dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_{1}^{3}" />
    <BlockMath math="= \left( \frac{1}{3}(3)^3 \right) - \left( \frac{1}{3}(1)^3 \right)" />
    <BlockMath math="= \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}" />
    </div>

**Contoh 2:**

Tentukan nilai dari <InlineMath math="\int_{1}^{5} (2x-1) \, dx" />.

**Penyelesaian:**

1.  **Cari antiturunan:** Antiturunan dari <InlineMath math="f(x) = 2x - 1" /> adalah <InlineMath math="F(x) = x^2 - x" />.
2.  **Evaluasi pada batas:** Hitung <InlineMath math="F(5) - F(1)" />.

    <div className="flex flex-col gap-4">
    <BlockMath math="\int_{1}^{5} (2x-1) \, dx = \left[ x^2 - x \right]_{1}^{5}" />
    <BlockMath math="= (5^2 - 5) - (1^2 - 1)" />
    <BlockMath math="= (25 - 5) - (1 - 1)" />
    <BlockMath math="= 20 - 0 = 20" />
    </div>

Teorema Dasar Kalkulus secara fundamental menyederhanakan cara kita menghitung luas dan akumulasi, mengubahnya dari masalah limit yang rumit menjadi proses aljabar yang lugas menggunakan antiturunan.