# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/12/mathematics/integral/riemann-sum
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/12/mathematics/integral/riemann-sum/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

import { LineEquation } from "@repo/design-system/components/contents/line-equation";
import { getColor } from "@repo/design-system/lib/color";

export const metadata = {
    title: "Jumlahan Riemann",
    description: "Perkirakan luas di bawah kurva menggunakan persegi panjang dengan jumlahan Riemann. Pelajari partisi, titik sampel, dan perhitungan visual dengan contoh detail.",
    authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
    date: "05/26/2025",
    subject: "Integral",
};

## Ide Dasar Jumlahan Riemann

Bayangkan kamu memiliki sebidang tanah dengan satu sisi yang bentuknya melengkung tidak beraturan. Bagaimana cara menghitung luasnya? Salah satu cara paling praktis adalah dengan membagi tanah itu menjadi beberapa potong persegi panjang dengan lebar yang sama, menghitung luas setiap potongan, lalu menjumlahkan semuanya.

Itulah ide dasar di balik **Jumlahan Riemann**. Ini adalah metode untuk **memperkirakan luas daerah di bawah kurva** dengan cara membaginya menjadi beberapa persegi panjang dan menjumlahkan luasnya. Semakin banyak persegi panjang yang kita gunakan, semakin akurat perkiraan luas yang kita dapatkan.

## Komponen Utama

Untuk melakukan Jumlahan Riemann, kita perlu memahami beberapa komponen utamanya:

-   **Interval <InlineMath math="[a, b]" />**: Ini adalah batas kiri dan kanan dari daerah yang ingin kita hitung luasnya.
-   **Partisi (<InlineMath math="n" />)**: Ini adalah jumlah persegi panjang yang akan kita gunakan untuk membagi daerah tersebut.
-   **Lebar Subinterval (<InlineMath math="\Delta x" />)**: Ini adalah lebar dari setiap persegi panjang. Jika kita membagi interval secara merata, lebarnya dihitung dengan rumus:

    <BlockMath math="\Delta x = \frac{b-a}{n}" />

-   **Titik Sampel (<InlineMath math="x_i^*" />)**: Ini adalah titik pada setiap subinterval yang tingginya akan kita gunakan untuk menentukan tinggi persegi panjang (<InlineMath math="f(x_i^*)" />). Ada beberapa cara umum untuk memilih titik sampel, seperti titik ujung kiri, titik ujung kanan, atau titik tengah.

## Formula Jumlahan Riemann

Jika kita menggabungkan semua komponen tersebut, kita mendapatkan formula umum untuk Jumlahan Riemann:

<BlockMath math="R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x" />

Notasi sigma (<InlineMath math="\sum" />) ini secara sederhana berarti "jumlahkan semua luas persegi panjang", di mana luas setiap persegi panjang adalah **tinggi** (<InlineMath math="f(x_i^*)" />) dikali **lebar** (<InlineMath math="\Delta x" />).

## Contoh Perhitungan Visual

Mari kita terapkan konsep ini pada sebuah contoh.

**Soal:** Tentukan Jumlahan Riemann dari fungsi <InlineMath math="f(x) = x" /> pada interval <InlineMath math="[0, 7]" /> dengan membaginya menjadi 7 subinterval sama panjang dan menggunakan **titik ujung kiri** sebagai titik sampel.

<LineEquation
  title="Visualisasi Jumlahan Riemann"
  description={<>Grafik fungsi <InlineMath math="f(x)=x" /> dengan 7 partisi persegi panjang menggunakan titik ujung kiri.</>}
  showZAxis={false}
  data={[
    {
      points: Array.from({ length: 8 }).map((_, i) => ({ x: i, y: i, z: 0 })),
      color: getColor("PURPLE"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "f(x) = x", at: 4, offset: [-1, 0.5, 0] }],
    },
    ...Array.from({ length: 7 }).map((_, i) => {
        const x_left = i;
        const x_right = i + 1;
        const y_height = x_left; // f(x) = x, jadi tinggi diambil dari x_left
        return {
            points: [
                {x: x_left, y: 0, z: 0},
                {x: x_right, y: 0, z: 0},
                {x: x_right, y: y_height, z: 0},
                {x: x_left, y: y_height, z: 0},
                {x: x_left, y: 0, z: 0},
            ],
            color: getColor("SKY"),
            smooth: false,
            showPoints: false,
        }
    })
  ]}
/>

**Penyelesaian:**

1.  **Identifikasi Komponen:**
    -   Fungsi: <InlineMath math="f(x) = x" />
    -   Interval: <InlineMath math="a=0, b=7" />
    -   Jumlah partisi: <InlineMath math="n=7" />

2.  **Hitung Lebar Subinterval (<InlineMath math="\Delta x" />):**

    <BlockMath math="\Delta x = \frac{7 - 0}{7} = 1" />

    Setiap persegi panjang akan memiliki lebar 1.

3.  **Tentukan Titik Sampel (Ujung Kiri):**

    Subinterval kita adalah:
    
    <BlockMath math="[0,1], [1,2], [2,3], [3,4], [4,5], [5,6], [6,7]" />
    
    Untuk metode ujung kiri, kita mengambil nilai x di sisi kiri setiap subinterval sebagai titik sampel:
    
    <BlockMath math="x_1=0, x_2=1, x_3=2, x_4=3, x_5=4, x_6=5, x_7=6" />

4.  **Hitung Tinggi Setiap Persegi Panjang:**

    Tinggi setiap persegi panjang ditentukan oleh nilai fungsi <InlineMath math="f(x) = x" /> di titik sampel yang telah dipilih:
    
    <div className="flex flex-col gap-4">
    <BlockMath math="f(x_1) = f(0) = 0" />
    <BlockMath math="f(x_2) = f(1) = 1" />
    <BlockMath math="f(x_3) = f(2) = 2" />
    <BlockMath math="f(x_4) = f(3) = 3" />
    <BlockMath math="f(x_5) = f(4) = 4" />
    <BlockMath math="f(x_6) = f(5) = 5" />
    <BlockMath math="f(x_7) = f(6) = 6" />
    </div>

5.  **Hitung Jumlahan Riemann:**

    Sekarang kita dapat menghitung total luas dengan menjumlahkan luas semua persegi panjang. Ingat bahwa luas setiap persegi panjang adalah tinggi dikali lebar:

    <div className="flex flex-col gap-4">
    <BlockMath math="R_7 = \sum_{i=1}^{7} f(x_i^*) \Delta x" />
    <BlockMath math="= [f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6)] \cdot 1" />
    <BlockMath math="= (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) \cdot 1" />
    <BlockMath math="= 21" />
    </div>

    Jadi, perkiraan luas daerah di bawah kurva <InlineMath math="f(x)=x" /> dari 0 sampai 7 adalah **21**.

> Perhatikan bahwa karena fungsi <InlineMath math="f(x)=x" /> terus naik (monoton naik), penggunaan titik ujung kiri akan selalu menghasilkan persegi panjang yang berada di bawah kurva, sehingga perkiraan luasnya lebih kecil dari luas sebenarnya (underestimate). Sebaliknya, jika kita menggunakan titik ujung kanan pada fungsi yang monoton naik, hasilnya akan selalu menjadi overestimate.

## Latihan

1.  Hitung Jumlahan Riemann untuk fungsi <InlineMath math="f(x) = x^2 + 1" /> pada interval <InlineMath math="[0, 4]" /> menggunakan 4 subinterval dengan lebar yang sama dan titik sampel berupa **titik ujung kanan**.

### Kunci Jawaban

1.  Kita akan menghitung Jumlahan Riemann untuk <InlineMath math="f(x) = x^2+1" /> pada <InlineMath math="[0,4]" /> dengan <InlineMath math="n=4" />.

    <LineEquation
    title="Visualisasi Latihan Jumlahan Riemann"
    description={<>Grafik fungsi <InlineMath math="f(x)=x^2+1" /> dengan 4 partisi persegi panjang menggunakan titik ujung kanan.</>}
    cameraPosition={[10, 10, 10]}
    showZAxis={false}
    data={[
        {
        points: Array.from({ length: 41 }).map((_, i) => {
            const x = i * 0.1;
            const y = x * x + 1;
            return { x, y, z: 0 };
        }),
        color: getColor("AMBER"),
        showPoints: false,
        labels: [{ text: "f(x) = x² + 1", at: 20, offset: [2, -1, 0] }],
        },
        ...Array.from({ length: 4 }).map((_, i) => {
            const x_left = i;
            const x_right = i + 1;
            const y_height = x_right * x_right + 1; // f(x) = x² + 1, ujung kanan
            return {
                points: [
                    {x: x_left, y: 0, z: 0},
                    {x: x_right, y: 0, z: 0},
                    {x: x_right, y: y_height, z: 0},
                    {x: x_left, y: y_height, z: 0},
                    {x: x_left, y: 0, z: 0},
                ],
                color: getColor("CYAN"),
                smooth: false,
                showPoints: false,
            }
        })
    ]}
    />

    **Langkah 1: Tentukan komponen utama.**
    -   Fungsi: <InlineMath math="f(x) = x^2 + 1" />
    -   Interval: <InlineMath math="a=0, b=4" />
    -   Jumlah partisi: <InlineMath math="n=4" />
    -   Titik sampel: Ujung kanan

    **Langkah 2: Hitung lebar subinterval.**

    <BlockMath math="\Delta x = \frac{b-a}{n} = \frac{4-0}{4} = 1" />

    **Langkah 3: Tentukan titik sampel ujung kanan.**

    Subintervalnya adalah:
    
    <BlockMath math="[0,1], [1,2], [2,3], [3,4]" />
    
    Untuk metode ujung kanan, kita mengambil nilai x di sisi kanan setiap subinterval:

    <BlockMath math="x_1=1, x_2=2, x_3=3, x_4=4" />

    **Langkah 4: Hitung tinggi setiap persegi panjang.**

    Tinggi setiap persegi panjang ditentukan oleh nilai fungsi <InlineMath math="f(x) = x^2 + 1" /> di titik sampel ujung kanan:

    <div className="flex flex-col gap-4">
    <BlockMath math="f(x_1) = f(1) = 1^2 + 1 = 2" />
    <BlockMath math="f(x_2) = f(2) = 2^2 + 1 = 5" />
    <BlockMath math="f(x_3) = f(3) = 3^2 + 1 = 10" />
    <BlockMath math="f(x_4) = f(4) = 4^2 + 1 = 17" />
    </div>

    **Langkah 5: Hitung total Jumlahan Riemann.**

    Sekarang kita jumlahkan luas semua persegi panjang (tinggi × lebar):

    <div className="flex flex-col gap-4">
    <BlockMath math="R_4 = \sum_{i=1}^{4} f(x_i^*) \Delta x" />
    <BlockMath math="= [f(1) + f(2) + f(3) + f(4)] \cdot 1" />
    <BlockMath math="= (2 + 5 + 10 + 17) \cdot 1" />
    <BlockMath math="= 34" />
    </div>

    Jadi, Jumlahan Riemann untuk fungsi tersebut adalah **34**.