# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/12/mathematics/limit/concept-of-limit-function
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/12/mathematics/limit/concept-of-limit-function/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
    title: "Konsep Limit Fungsi",
    description: "Pahami limit fungsi melalui contoh intuitif dan tabel nilai. Pelajari limit kiri/kanan, definisi formal, dan selesaikan bentuk tak tentu.",
    authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
    date: "05/26/2025",
    subject: "Limit",
};

## Memahami Limit Secara Intuitif

Bayangkan kamu sedang berjalan menuju pintu rumah. Semakin dekat kamu ke pintu, semakin jelas kamu bisa melihat detail pintunya. Dalam matematika, **limit** bekerja dengan cara yang serupa. Limit menggambarkan nilai yang didekati oleh suatu fungsi ketika variabel inputnya mendekati suatu nilai tertentu.

Konsep limit sangat fundamental dalam kalkulus karena menjadi dasar untuk memahami turunan, integral, dan kontinuitas fungsi. Limit membantu kita memahami perilaku fungsi di sekitar titik tertentu, bahkan ketika fungsi tersebut tidak terdefinisi tepat di titik itu.

## Pendekatan Melalui Tabel Nilai

Untuk memahami limit secara lebih konkret, mari kita lihat bagaimana nilai fungsi berubah ketika variabel mendekati suatu titik. Misalkan kita memiliki fungsi <InlineMath math="f(x) = x + 2" /> dan ingin melihat apa yang terjadi ketika <InlineMath math="x" /> mendekati 3.

| <InlineMath math="x" /> | <InlineMath math="2.9" /> | <InlineMath math="2.99" /> | <InlineMath math="2.999" /> | ... | <InlineMath math="3.001" /> | <InlineMath math="3.01" /> | <InlineMath math="3.1" /> |
|-------------|-----|------|-------|-----|-------|------|-----|
| <InlineMath math="f(x)" /> | <InlineMath math="4.9" /> | <InlineMath math="4.99" /> | <InlineMath math="4.999" /> | ... | <InlineMath math="5.001" /> | <InlineMath math="5.01" /> | <InlineMath math="5.1" /> |

Dari tabel di atas, kita dapat melihat bahwa ketika <InlineMath math="x" /> mendekati 3 dari kiri (nilai <InlineMath math="x < 3" />) maupun kanan (nilai <InlineMath math="x > 3" />), nilai <InlineMath math="f(x)" /> mendekati 5. **Nilai pendekatan inilah yang disebut limit**.

## Definisi Formal Limit

Secara matematis, limit dapat didefinisikan sebagai berikut:

<BlockMath math="\lim_{x \to c} f(x) = L" />

Definisi ini dibaca sebagai "**limit <InlineMath math="f(x)" /> ketika <InlineMath math="x" /> mendekati <InlineMath math="c" /> sama dengan <InlineMath math="L" />**".

Syarat agar limit ini ada adalah:
- **Limit kiri** dan **limit kanan** harus ada
- Limit kiri harus **sama dengan** limit kanan
- Nilai limit tersebut adalah <InlineMath math="L" />

Secara lebih formal, limit kiri dan kanan dapat ditulis sebagai:

<div className="flex flex-col gap-4">
<BlockMath math="\lim_{x \to c^-} f(x) = L \quad \text{(limit kiri: } x \text{ mendekati } c \text{ dari kiri)}" />
<BlockMath math="\lim_{x \to c^+} f(x) = L \quad \text{(limit kanan: } x \text{ mendekati } c \text{ dari kanan)}" />
</div>

Jika kedua limit ini sama, maka <InlineMath math="\lim_{x \to c} f(x) = L" />. Jika berbeda, maka limit tidak ada.

## Penerapan Limit

### Contoh Sederhana

Tentukan <InlineMath math="\lim_{x \to 4} (2x - 1)" />.

**Penyelesaian:**

Karena fungsi <InlineMath math="f(x) = 2x - 1" /> kontinu di <InlineMath math="x = 4" />, kita dapat langsung mensubstitusi:

<BlockMath math="\lim_{x \to 4} (2x - 1) = 2(4) - 1 = 8 - 1 = 7" />

### Contoh dengan Bentuk Tak Tentu

Tentukan <InlineMath math="\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}" />.

**Penyelesaian:**

Jika kita substitusi langsung <InlineMath math="x = 2" />, kita mendapat bentuk <InlineMath math="\frac{0}{0}" /> yang tak tentu. Kita perlu menyederhanakan terlebih dahulu dengan memfaktorkan:

<div className="flex flex-col gap-4">
<BlockMath math="x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)" />
<BlockMath math="\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2}" />
</div>

Karena kita menghitung limit ketika <InlineMath math="x" /> **mendekati** 2 (bukan **sama dengan** 2), maka <InlineMath math="x \neq 2" /> dan kita dapat membatalkan <InlineMath math="(x - 2)" />:

<BlockMath math="= \lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4" />

## Sifat Dasar Limit

Beberapa sifat penting yang memudahkan perhitungan limit:

1. **Sifat Linearitas:**

    <InlineMath math="\lim_{x \to c} [af(x) + bg(x)] = a\lim_{x \to c} f(x) + b\lim_{x \to c} g(x)" />

2. **Sifat Perkalian:**

    <InlineMath math="\lim_{x \to c} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x)" />

3. **Sifat Pembagian:**

    <InlineMath math="\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to c} f(x)}{\lim_{x \to c} g(x)}" /> dengan syarat <InlineMath math="\lim_{x \to c} g(x) \neq 0" />

## Latihan

1. Tentukan <InlineMath math="\lim_{x \to 3} (x^2 + 2x - 1)" />

2. Tentukan <InlineMath math="\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}" />

3. Tentukan <InlineMath math="\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}" /> (gunakan teorema limit trigonometri)

4. Jika <InlineMath math="f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 2 \\ 3x - 2, & x \geq 2 \end{cases}" />, tentukan <InlineMath math="\lim_{x \to 2} f(x)" />

### Kunci Jawaban

1. **Penyelesaian:**

   Karena fungsi polinomial kontinu di semua titik, kita dapat substitusi langsung:

   <BlockMath math="\lim_{x \to 3} (x^2 + 2x - 1) = 3^2 + 2(3) - 1 = 9 + 6 - 1 = 14" />

2. **Penyelesaian:**

   Substitusi langsung menghasilkan bentuk <InlineMath math="\frac{0}{0}" />. Kita faktorkan terlebih dahulu:

   <div className="flex flex-col gap-4">
   <BlockMath math="x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)" />
   <BlockMath math="\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1}" />
   </div>

   Karena <InlineMath math="x" /> mendekati 1 (bukan sama dengan 1), maka <InlineMath math="x \neq 1" /> dan kita dapat membatalkan <InlineMath math="(x - 1)" />:

   <BlockMath math="= \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2" />

3. **Penyelesaian:**

   Ini adalah **limit fundamental trigonometri** yang sangat penting dalam kalkulus. Limit ini tidak dapat diselesaikan dengan substitusi langsung karena akan menghasilkan bentuk <InlineMath math="\frac{0}{0}" />. Namun, berdasarkan teorema limit trigonometri yang telah dibuktikan:

   <BlockMath math="\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1" />

   **Catatan:** <InlineMath math="x" /> dalam radian, bukan derajat.

4. **Penyelesaian:**

   Untuk fungsi piecewise (terdefinisi dengan aturan berbeda), kita harus memeriksa limit kiri dan kanan secara terpisah:

   **Limit kiri** (ketika <InlineMath math="x" /> mendekati 2 dari kiri, maka <InlineMath math="x < 2" />):

   <BlockMath math="\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x + 1) = 2 + 1 = 3" />

   **Limit kanan** (ketika <InlineMath math="x" /> mendekati 2 dari kanan, maka <InlineMath math="x \geq 2" />):
   
   <BlockMath math="\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (3x - 2) = 3(2) - 2 = 6 - 2 = 4" />
   
   Karena <InlineMath math="\lim_{x \to 2^-} f(x) = 3 \neq 4 = \lim_{x \to 2^+} f(x)" />, maka <InlineMath math="\lim_{x \to 2} f(x)" /> **tidak ada**.