# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/12/mathematics/limit/limit-of-algebraic-function
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/12/mathematics/limit/limit-of-algebraic-function/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
   title: "Limit Fungsi Aljabar",
   description: "Hitung limit fungsi polinomial dan rasional. Kuasai teknik pemfaktoran, rasionalisasi, dan selesaikan bentuk tak tentu dengan contoh terperinci.",
   authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
   date: "05/26/2025",
   subject: "Limit",
};

## Memahami Limit Fungsi Aljabar

Bayangkan kamu sedang mengendarai mobil menuju suatu tempat. Semakin dekat kamu dengan tujuan, semakin jelas kamu dapat melihat detailnya. Dalam matematika, **limit fungsi aljabar** bekerja dengan cara serupa. Limit menunjukkan nilai yang didekati oleh fungsi aljabar ketika variabel inputnya mendekati nilai tertentu.

Fungsi aljabar adalah fungsi yang terbentuk dari kombinasi operasi aljabar seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan perpangkatan dengan pangkat rasional. Contohnya adalah fungsi polinomial seperti <InlineMath math="f(x) = x^2 + 3x - 2" /> dan fungsi rasional seperti <InlineMath math="g(x) = \frac{x + 1}{x - 2}" />.

## Sifat Fundamental Limit Aljabar

Untuk menghitung limit fungsi aljabar, kita dapat menggunakan sifat-sifat dasar yang sangat membantu:

### Limit Fungsi Polinomial

Untuk fungsi polinomial yang **kontinu** di semua titik, perhitungan limit sangat sederhana. Kita dapat langsung **mensubstitusi** nilai yang didekati.

Misalkan <InlineMath math="f(x) = x^4 - 5x^3 + x^2 - 7" />, maka:

<BlockMath math="\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x^4 - 5x^3 + x^2 - 7)" />

Karena fungsi polinomial kontinu di semua titik, kita dapat mensubstitusi langsung:

<BlockMath math="= 2^4 - 5(2^3) + 2^2 - 7 = 16 - 40 + 4 - 7 = -27" />

### Limit Fungsi Rasional

Fungsi rasional memiliki bentuk <InlineMath math="\frac{P(x)}{Q(x)}" /> dimana <InlineMath math="P(x)" /> dan <InlineMath math="Q(x)" /> adalah polinomial. Perhitungan limitnya bergantung pada nilai penyebut:

- **Jika penyebut tidak nol:** Gunakan substitusi langsung seperti fungsi polinomial.

- **Jika penyebut nol:** Kita memperoleh bentuk tak tentu yang memerlukan manipulasi aljabar.

## Mengatasi Bentuk Tak Tentu

Ketika substitusi langsung menghasilkan bentuk <InlineMath math="\frac{0}{0}" />, kita perlu menggunakan teknik khusus.

### Teknik Pemfaktoran

Metode paling umum adalah memfaktorkan pembilang dan penyebut, kemudian menyederhanakan.

**Contoh:** Hitung <InlineMath math="\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}" />

Substitusi langsung memberikan <InlineMath math="\frac{0}{0}" />. Mari kita faktorkan:

<div className="flex flex-col gap-4">
<BlockMath math="x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)" />
<BlockMath math="\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2}" />
</div>

Karena <InlineMath math="x" /> mendekati 2 (bukan sama dengan 2), kita dapat membatalkan faktor <InlineMath math="(x - 2)" />:

<BlockMath math="= \lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4" />

### Teknik Rasionalisasi

Untuk limit yang melibatkan bentuk akar, sering kali kita perlu merasionalkan. Substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu.

**Contoh:** Hitung <InlineMath math="\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}" />

Substitusi langsung:

<div className="flex flex-col gap-4">
<BlockMath math="\frac{\sqrt{1} - 1}{1 - 1} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0} \text{ (bentuk tak tentu)}" />
</div>

Kita rasionalkan dengan mengalikan dengan **bentuk sekawan** <InlineMath math="\sqrt{x} + 1" />. Tujuannya adalah menghilangkan bentuk akar di pembilang menggunakan rumus <InlineMath math="(a-b)(a+b) = a^2 - b^2" />:

<div className="flex flex-col gap-4">
<BlockMath math="\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1}" />
<BlockMath math="= \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}{(x - 1)(\sqrt{x} + 1)}" />
<BlockMath math="= \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x})^2 - 1^2}{(x - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{(x - 1)(\sqrt{x} + 1)}" />
</div>

Karena <InlineMath math="x \neq 1" /> (mendekati 1), kita dapat membatalkan <InlineMath math="(x - 1)" />:

<BlockMath math="= \lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}" />

## Penerapan Sifat Limit pada Fungsi Aljabar

Sifat-sifat limit yang telah kita pelajari dapat diterapkan secara sistematis:

### Kombinasi Sifat

**Contoh:** Hitung <InlineMath math="\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 + 2x - 15}" />

Substitusi langsung:

<div className="flex flex-col gap-4">
<BlockMath math="\frac{3^2 - 9}{3^2 + 2(3) - 15} = \frac{9 - 9}{9 + 6 - 15} = \frac{0}{0} \text{ (bentuk tak tentu)}" /> 
</div>

Mari kita faktorkan keduanya. Untuk <InlineMath math="x^2 + 2x - 15" />, kita cari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya <InlineMath math="-15" /> dan jika dijumlahkan hasilnya <InlineMath math="2" />. Bilangan tersebut adalah <InlineMath math="5" /> dan <InlineMath math="-3" />.

<div className="flex flex-col gap-4">
<BlockMath math="x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)" />
<BlockMath math="x^2 + 2x - 15 = x^2 + 5x - 3x - 15 = x(x + 5) - 3(x + 5) = (x - 3)(x + 5)" />
</div>

Sehingga:

<div className="flex flex-col gap-4">
<BlockMath math="\lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 5)} = \lim_{x \to 3} \frac{x + 3}{x + 5}" />
</div>

Substitusi <InlineMath math="x = 3" />: <InlineMath math="\frac{3 + 3}{3 + 5} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}" />

> Jika pembilang bukan nol dan penyebut nol (seperti <InlineMath math="\frac{a}{0}" /> dengan <InlineMath math="a \neq 0" />), limit menuju tak hingga. Jika pembilang dan penyebut keduanya nol (bentuk <InlineMath math="\frac{0}{0}" />), gunakan teknik pemfaktoran atau rasionalisasi.

## Kontinuitas dan Limit

Suatu fungsi <InlineMath math="f" /> dikatakan **kontinu** di <InlineMath math="x = c" /> jika:

1. <InlineMath math="f(c)" /> ada (terdefinisi)
2. <InlineMath math="\lim_{x \to c} f(x)" /> ada  
3. <InlineMath math="\lim_{x \to c} f(x) = f(c)" />

Fungsi polinomial kontinu di semua titik, sedangkan fungsi rasional kontinu di semua titik kecuali dimana penyebutnya nol.

## Latihan

1. Hitung <InlineMath math="\lim_{x \to 2} (x^4 - 5x^3 + x^2 - 7)" />

2. Hitung <InlineMath math="\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 6x + 8}{x^2 + 16x + 28}" />

3. Hitung <InlineMath math="\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 2x + 1}{x - 1}" />

4. Tentukan apakah fungsi <InlineMath math="f(x) = x^2 - 2x + 1" /> kontinu di <InlineMath math="x = 1" />

5. Hitung <InlineMath math="\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}" />

### Kunci Jawaban

1. **Penyelesaian:**

   Karena ini adalah fungsi polinomial yang kontinu di semua titik, kita dapat substitusi langsung:
   
   <div className="flex flex-col gap-4">
   <BlockMath math="\lim_{x \to 2} (x^4 - 5x^3 + x^2 - 7) = 2^4 - 5(2^3) + 2^2 - 7" />
   <BlockMath math="= 16 - 5(8) + 4 - 7 = 16 - 40 + 4 - 7 = -27" />
   </div>

2. **Penyelesaian:**

   Karena ini fungsi rasional dengan penyebut tidak nol di <InlineMath math="x = 2" />, gunakan substitusi langsung:
   
   <div className="flex flex-col gap-4">
   <BlockMath math="\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 6x + 8}{x^2 + 16x + 28} = \frac{2^2 - 6(2) + 8}{2^2 + 16(2) + 28}" />
   <BlockMath math="= \frac{4 - 12 + 8}{4 + 32 + 28} = \frac{0}{64} = 0" />
   </div>

3. **Penyelesaian:**

   Substitusi langsung memberikan <InlineMath math="\frac{0}{0}" />. Mari faktorkan pembilang:
   
   <div className="flex flex-col gap-4">
   <BlockMath math="x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2" />
   <BlockMath math="\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)^2}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x - 1) = 1 - 1 = 0" />
   </div>

4. **Penyelesaian:**

   Untuk memeriksa kontinuitas di <InlineMath math="x = 1" />, periksa tiga syarat:
   
   - **Syarat 1 (fungsi terdefinisi):** <InlineMath math="f(1) = 1^2 - 2(1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0" /> ✓ (ada)
   
   - **Syarat 2 (limit ada):** Karena fungsi polinomial, <InlineMath math="\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 0" /> ✓ (ada)
   
   - **Syarat 3 (limit sama dengan nilai fungsi):** <InlineMath math="\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 0" /> ✓ (sama)
   
   Karena ketiga syarat kontinuitas terpenuhi, fungsi **kontinu** di <InlineMath math="x = 1" />.

5. **Penyelesaian:**

   Substitusi langsung: <InlineMath math="\frac{\sqrt{0 + 4} - 2}{0} = \frac{2 - 2}{0} = \frac{0}{0}" /> (bentuk tak tentu).
   
   Gunakan rasionalisasi dengan mengalikan bentuk sekawan <InlineMath math="\sqrt{x + 4} + 2" />:
   
   <div className="flex flex-col gap-4">
   <BlockMath math="\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x} \cdot \frac{\sqrt{x + 4} + 2}{\sqrt{x + 4} + 2}" />
   <BlockMath math="= \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x + 4})^2 - 2^2}{x(\sqrt{x + 4} + 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{(x + 4) - 4}{x(\sqrt{x + 4} + 2)}" />
   <BlockMath math="= \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x + 4} + 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + 4} + 2}" />
   <BlockMath math="= \frac{1}{\sqrt{0 + 4} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}" />
   </div>