# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/12/mathematics/limit/limit-of-trigonometric-function
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/12/mathematics/limit/limit-of-trigonometric-function/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
   title: "Limit Fungsi Trigonometri",
   description: "Kuasai limit trigonometri menggunakan teorema fundamental. Pelajari sin x/x sama dengan 1, sifat perbandingan, identitas, dan teknik substitusi lanjutan.",
   authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
   date: "05/26/2025",
   subject: "Limit",
};

## Memahami Limit Fungsi Trigonometri

Bayangkan kamu mengamati bandul jam yang berayun sangat lambat mendekati titik keseimbangan. Gerakan ini mirip dengan perilaku fungsi trigonometri ketika variabelnya mendekati nilai tertentu. **Limit fungsi trigonometri** mengkaji bagaimana nilai fungsi sinus, cosinus, dan tangen berperilaku ketika input mendekati titik kritis.

Berbeda dengan limit fungsi aljabar yang sering dapat diselesaikan dengan substitusi langsung, fungsi trigonometri memiliki karakteristik khusus karena sifat periodik dan osilasi mereka. Hal ini membuat kita perlu menggunakan **teorema dan sifat khusus** untuk menyelesaikan limit trigonometri.

## Teorema Fundamental Limit Trigonometri

Fondasi paling penting dalam limit trigonometri adalah teorema yang menyatakan bahwa fungsi sinus mendekati gradiennya ketika sudut mendekati nol.

### Limit Dasar Sine

Teorema paling mendasar adalah:

<BlockMath math="\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1" />

Teorema ini **tidak dapat dibuktikan** menggunakan substitusi langsung karena menghasilkan bentuk <InlineMath math="\frac{0}{0}" />. Pembuktiannya memerlukan pendekatan geometris menggunakan lingkaran satuan dan teorema sandwich (squeeze theorem).

> Dalam teorema ini, <InlineMath math="x" /> harus dalam **radian**, bukan derajat. Jika menggunakan derajat, hasilnya akan berbeda.

### Konsekuensi dari Limit Dasar

Dari limit fundamental di atas, kita dapat menurunkan beberapa limit penting lainnya:

<div className="flex flex-col gap-4">
<BlockMath math="\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 \quad \text{(karena } \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \text{ dan } \cos x \to 1\text{)}" />
<BlockMath math="\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0 \quad \text{(gunakan L'Hôpital atau ekspansi Taylor)}" />
<BlockMath math="\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \quad \text{(identitas } 1 - \cos x = 2\sin^2\frac{x}{2}\text{)}" />
</div>

## Sifat Limit Trigonometri

Berdasarkan teorema fundamental, kita dapat membangun serangkaian sifat yang sangat berguna:

### Perbandingan Trigonometri

Untuk konstanta <InlineMath math="a \neq 0" /> dan <InlineMath math="b \neq 0" />, dan **semua limit berikut ketika <InlineMath math="x \to 0" />**:

| Limit | Hasil | Catatan |
|-------|-------|---------|
| <InlineMath math="\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{bx}" /> | <InlineMath math="\frac{a}{b}" /> | Manipulasi dari teorema dasar |
| <InlineMath math="\lim_{x \to 0} \frac{\tan ax}{bx}" /> | <InlineMath math="\frac{a}{b}" /> | Karena <InlineMath math="\tan ax = \frac{\sin ax}{\cos ax}" /> |
| <InlineMath math="\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx}" /> | <InlineMath math="\frac{a}{b}" /> | Kombinasi dua limit sine |
| <InlineMath math="\lim_{x \to 0} \frac{\tan ax}{\tan bx}" /> | <InlineMath math="\frac{a}{b}" /> | Kombinasi dua limit tangen |

### Kombinasi Trigonometri

Dari sifat perbandingan trigonometri, kita dapat menurunkan beberapa sifat kombinasi trigonometri:

<div className="flex flex-col gap-4">
<BlockMath math="\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx} = \frac{a}{b}" />
<BlockMath math="\lim_{x \to 0} \frac{\tan ax}{\sin bx} = \frac{a}{b}" />
</div>

## Teknik Penyelesaian Limit Trigonometri

### Teknik Substitusi dan Manipulasi

Ketika menghadapi limit trigonometri yang kompleks, kita sering perlu memanipulasi ekspresi agar dapat menggunakan teorema fundamental.

**Hitung:** <InlineMath math="\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{3x}" />

Kita manipulasi agar memperoleh bentuk standar:

<div className="flex flex-col gap-4">
<BlockMath math="\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{3x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin 2x}{2 \cdot 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{3} \cdot \frac{\sin 2x}{2x}" />
<BlockMath math="= \frac{2}{3} \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}" />
</div>

### Teknik Identitas Trigonometri

Sering kali kita perlu menggunakan identitas trigonometri untuk menyederhanakan ekspresi. Selalu pastikan fungsi terdefinisi di titik yang didekati.

**Hitung:** <InlineMath math="\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x}" />

Karena <InlineMath math="\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \neq 0" />, penyebut tidak nol di <InlineMath math="x = \frac{\pi}{4}" />.

Substitusi langsung:

<div className="flex flex-col gap-4">
<BlockMath math="\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x} = \frac{\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}}{\sin \frac{\pi}{4}}" />
<BlockMath math="= \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 2" />
</div>

### Teknik untuk Bentuk Khusus

Untuk limit yang melibatkan bentuk <InlineMath math="\frac{0}{0}" />, kita perlu teknik khusus.

**Hitung:** <InlineMath math="\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2(x - \frac{\pi}{2})}{x(x - \frac{\pi}{2})}" />

Misalkan <InlineMath math="u = x - \frac{\pi}{2}" />, maka ketika <InlineMath math="x \to \frac{\pi}{2}" />, kita punya <InlineMath math="u \to 0" /> dan <InlineMath math="x = u + \frac{\pi}{2}" />.

<div className="flex flex-col gap-4">
<BlockMath math="\lim_{u \to 0} \frac{\sin^2 u}{(u + \frac{\pi}{2}) \cdot u} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin^2 u}{u^2} \cdot \frac{u}{u + \frac{\pi}{2}}" />
<BlockMath math="= \lim_{u \to 0} \left(\frac{\sin u}{u}\right)^2 \cdot \lim_{u \to 0} \frac{u}{u + \frac{\pi}{2}}" />
<BlockMath math="= 1^2 \cdot \lim_{u \to 0} \frac{u}{\frac{\pi}{2} + u} = 1 \cdot \frac{0}{\frac{\pi}{2}} = 0" />
</div>

## Limit Trigonometri dengan Identitas Sudut

### Menggunakan Rumus Jumlah dan Selisih

Ketika berhadapan dengan fungsi trigonometri yang melibatkan jumlah atau selisih sudut, kita dapat menggunakan identitas trigonometri.

**Hitung:** <InlineMath math="\lim_{t \to 0} \frac{\cot 5t}{\cot 10t}" />

Menggunakan definisi cotangen:

<div className="flex flex-col gap-4">
<BlockMath math="\lim_{t \to 0} \frac{\cot 5t}{\cot 10t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{\cos 5t}{\sin 5t}}{\frac{\cos 10t}{\sin 10t}} = \lim_{t \to 0} \frac{\cos 5t \sin 10t}{\sin 5t \cos 10t}" />
<BlockMath math="= \lim_{t \to 0} \frac{\cos 5t}{\cos 10t} \cdot \frac{\sin 10t}{\sin 5t} = 1 \cdot \frac{10}{5} = 2" />
</div>

## Latihan

1. Hitung <InlineMath math="\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{4x}" />

2. Hitung <InlineMath math="\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{\sin 5x}" />

3. Hitung <InlineMath math="\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 3x}{x^2}" />

4. Hitung <InlineMath math="\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{\sin x - \frac{1}{2}}{x - \frac{\pi}{6}}" />

5. Hitung <InlineMath math="\lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cos x}{x}" />

### Kunci Jawaban

1. **Penyelesaian:**

   Gunakan manipulasi aljabar untuk memperoleh bentuk standar:
   
   <div className="flex flex-col gap-4">
   <BlockMath math="\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{4x} = \lim_{x \to 0} \frac{3 \sin 3x}{3 \cdot 4x} = \lim_{x \to 0} \frac{3}{4} \cdot \frac{\sin 3x}{3x}" />
   <BlockMath math="= \frac{3}{4} \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = \frac{3}{4} \cdot 1 = \frac{3}{4}" />
   </div>

2. **Penyelesaian:**

   Gunakan sifat perbandingan trigonometri:
   
   <div className="flex flex-col gap-4">
   <BlockMath math="\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{\sin 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{2x} \cdot \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{2x}{5x}" />
   <BlockMath math="= \lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{2x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{2}{5}" />
   <BlockMath math="= 1 \cdot 1 \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{5}" />
   </div>

3. **Penyelesaian:**

   Gunakan identitas <InlineMath math="1 - \cos ax = 2\sin^2\frac{ax}{2}" />:
   
   <div className="flex flex-col gap-4">
   <BlockMath math="\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 3x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2\frac{3x}{2}}{x^2}" />
   <BlockMath math="= \lim_{x \to 0} 2 \cdot \left(\frac{\sin\frac{3x}{2}}{\frac{3x}{2}}\right)^2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2" />
   <BlockMath math="= 2 \cdot 1^2 \cdot \frac{9}{4} = \frac{9}{2}" />
   </div>

4. **Penyelesaian:**

   Misalkan <InlineMath math="h = x - \frac{\pi}{6}" />, maka <InlineMath math="x = h + \frac{\pi}{6}" /> dan ketika <InlineMath math="x \to \frac{\pi}{6}" />, kita punya <InlineMath math="h \to 0" />:
   
   <div className="flex flex-col gap-4">
   <BlockMath math="\lim_{h \to 0} \frac{\sin(h + \frac{\pi}{6}) - \frac{1}{2}}{h}" />
   <BlockMath math="= \lim_{h \to 0} \frac{\sin h \cos\frac{\pi}{6} + \cos h \sin\frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}}{h}" />
   <BlockMath math="= \lim_{h \to 0} \frac{\sin h \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos h \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{h}" />
   <BlockMath math="= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\sin h + \frac{1}{2}(\cos h - 1)}{h}" />
   <BlockMath math="= \frac{\sqrt{3}}{2} \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} + \frac{1}{2} \lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h}" />
   <BlockMath math="= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{\sqrt{3}}{2}" />
   </div>

5. **Penyelesaian:**

   Gunakan identitas <InlineMath math="\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x" />:
   
   <div className="flex flex-col gap-4">
   <BlockMath math="\lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}\sin 2x}{x}" />
   <BlockMath math="= \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin 2x}{2x}" />
   <BlockMath math="= \frac{1}{2} \cdot 2 \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1 \cdot 1 = 1" />
   </div>