# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/12/mathematics/limit/properties-of-limit-function
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/12/mathematics/limit/properties-of-limit-function/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
   title: "Sifat Limit Fungsi",
   description: "Sederhanakan perhitungan limit kompleks dengan sifat penting. Kuasai aturan jumlah, kali, bagi, pangkat, dan akar dengan penerapan langkah demi langkah.",
   authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
   date: "05/26/2025",
   subject: "Limit",
};

## Memahami Sifat Limit Fungsi

Setelah mempelajari [konsep dasar limit](/subject/high-school/12/mathematics/limit/concept-of-limit-function), sekarang kita akan mendalami **sifat-sifat limit fungsi** yang sangat membantu dalam menyelesaikan perhitungan limit yang kompleks. Bayangkan sifat-sifat ini seperti aturan permainan yang memungkinkan kita memecah limit yang rumit menjadi bagian-bagian yang lebih sederhana.

Sifat-sifat limit ini menjadi fondasi penting dalam kalkulus karena memungkinkan kita untuk menghitung limit tanpa harus selalu menggunakan definisi formal atau tabel nilai. Dengan memahami sifat-sifat ini, perhitungan limit menjadi lebih efisien dan sistematis.

## Sifat Dasar Limit

### Sifat Konstanta

Sifat paling sederhana adalah limit dari fungsi konstanta. Jika <InlineMath math="k" /> adalah konstanta, maka:

<BlockMath math="\lim_{x \to c} k = k" />

Artinya, limit dari **konstanta** adalah **konstanta itu sendiri**. Hal ini masuk akal karena nilai konstanta tidak berubah terhadap variabel <InlineMath math="x" />.

### Sifat Identitas

Untuk fungsi identitas, berlaku:

<BlockMath math="\lim_{x \to c} x = c" />

Ketika <InlineMath math="x" /> mendekati <InlineMath math="c" />, nilai fungsi <InlineMath math="f(x) = x" /> juga mendekati <InlineMath math="c" />.

## Sifat Operasi Aritmatika

Misalkan <InlineMath math="\lim_{x \to c} f(x) = L" /> dan <InlineMath math="\lim_{x \to c} g(x) = M" /> dengan <InlineMath math="L" /> dan <InlineMath math="M" /> adalah bilangan real, maka berlaku sifat-sifat berikut:

### Sifat Penjumlahan dan Pengurangan

Limit dari **jumlah** atau **selisih** dua fungsi sama dengan jumlah atau selisih **limit masing-masing fungsi**:

<div className="flex flex-col gap-4">
<BlockMath math="\lim_{x \to c} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to c} f(x) + \lim_{x \to c} g(x) = L + M" />
<BlockMath math="\lim_{x \to c} [f(x) - g(x)] = \lim_{x \to c} f(x) - \lim_{x \to c} g(x) = L - M" />
</div>

> Sifat ini memungkinkan kita memecah limit yang kompleks menjadi bagian-bagian yang lebih sederhana.

### Sifat Perkalian

Limit dari **hasil kali** dua fungsi sama dengan hasil kali **limit masing-masing fungsi**:

<BlockMath math="\lim_{x \to c} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x) = L \cdot M" />

### Sifat Perkalian dengan Konstanta

**Konstanta** dapat dikeluarkan dari tanda limit:

<BlockMath math="\lim_{x \to c} [k \cdot f(x)] = k \cdot \lim_{x \to c} f(x) = k \cdot L" />

### Sifat Pembagian

Limit dari **hasil bagi** dua fungsi sama dengan hasil bagi **limit masing-masing fungsi**, dengan syarat limit penyebut **tidak nol**:

<BlockMath math="\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to c} f(x)}{\lim_{x \to c} g(x)} = \frac{L}{M}" />

dengan syarat <InlineMath math="M \neq 0" />.

## Sifat Perpangkatan dan Akar

### Sifat Perpangkatan

Limit dari **fungsi berpangkat** sama dengan **pangkat** dari limit fungsi:

<BlockMath math="\lim_{x \to c} [f(x)]^n = \left[\lim_{x \to c} f(x)\right]^n = L^n" />

dengan <InlineMath math="n" /> adalah bilangan real.

### Sifat Akar

Limit dari **akar fungsi** sama dengan **akar** dari limit fungsi:

<BlockMath math="\lim_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to c} f(x)} = \sqrt[n]{L}" />

**Syarat penting:**
- Jika <InlineMath math="n" /> ganjil: sifat ini berlaku untuk semua nilai <InlineMath math="L" />
- Jika <InlineMath math="n" /> genap: <InlineMath math="L \geq 0" /> (tidak boleh negatif karena akar genap dari bilangan negatif tidak terdefinisi dalam bilangan real)

## Contoh Penerapan Sifat Limit

### Contoh Sederhana

Hitung <InlineMath math="\lim_{x \to 2} (3x^2 + 5x - 1)" />.

**Penyelesaian:**

Menggunakan sifat-sifat limit:

<div className="flex flex-col gap-4">
<BlockMath math="\lim_{x \to 2} (3x^2 + 5x - 1) = \lim_{x \to 2} 3x^2 + \lim_{x \to 2} 5x - \lim_{x \to 2} 1" />
<BlockMath math="= 3 \lim_{x \to 2} x^2 + 5 \lim_{x \to 2} x - 1" />
<BlockMath math="= 3(2)^2 + 5(2) - 1 = 12 + 10 - 1 = 21" />
</div>

### Contoh dengan Pecahan

Hitung <InlineMath math="\lim_{x \to 4} \frac{x\sqrt{x}}{x^2 + 3}" />.

**Penyelesaian:**

Menggunakan sifat pembagian dan perkalian:

<div className="flex flex-col gap-4">
<BlockMath math="\lim_{x \to 4} \frac{x\sqrt{x}}{x^2 + 3} = \frac{\lim_{x \to 4} x\sqrt{x}}{\lim_{x \to 4} (x^2 + 3)}" />
<BlockMath math="= \frac{\lim_{x \to 4} x \cdot \lim_{x \to 4} \sqrt{x}}{\lim_{x \to 4} x^2 + \lim_{x \to 4} 3}" />
</div>

Sekarang kita substitusi nilai <InlineMath math="x = 4" />:

<div className="flex flex-col gap-4">
<BlockMath math="= \frac{4 \cdot \sqrt{4}}{4^2 + 3} = \frac{4 \cdot 2}{16 + 3} = \frac{8}{19}" />
</div>

Dalam bentuk **desimal**: <InlineMath math="\frac{8}{19} \approx 0.421" />

### Contoh dengan Akar

Hitung <InlineMath math="\lim_{x \to 0} \sqrt{x^2 - 3x + 2}" />.

**Penyelesaian:**

Menggunakan sifat akar (karena <InlineMath math="n = 2" /> genap, kita perlu memastikan hasil di dalam akar tidak negatif):

<div className="flex flex-col gap-4">
<BlockMath math="\lim_{x \to 0} \sqrt{x^2 - 3x + 2} = \sqrt{\lim_{x \to 0} (x^2 - 3x + 2)}" />
</div>

Hitung limit di dalam akar terlebih dahulu:

<div className="flex flex-col gap-4">
<BlockMath math="\lim_{x \to 0} (x^2 - 3x + 2) = 0^2 - 3(0) + 2 = 0 - 0 + 2 = 2" />
</div>

Karena <InlineMath math="2 > 0" />, kita dapat menggunakan sifat akar:

<BlockMath math="= \sqrt{2} \approx 1.414" />

## Latihan

1. Hitung <InlineMath math="\lim_{x \to 3} (2x^2 - 4x + 1)" />

2. Hitung <InlineMath math="\lim_{x \to 1} \frac{3x + 2}{x^2 + 1}" />

3. Hitung <InlineMath math="\lim_{x \to 4} \sqrt{x + 5}" />

4. Hitung <InlineMath math="\lim_{x \to 2} (x + 1)^3" />

5. Hitung <InlineMath math="\lim_{x \to 0} \frac{5x^2 + 3x}{2x + 1}" />

### Kunci Jawaban

1. **Penyelesaian:**

   Menggunakan sifat penjumlahan dan perkalian dengan konstanta:
   
   <div className="flex flex-col gap-4">
   <BlockMath math="\lim_{x \to 3} (2x^2 - 4x + 1) = 2\lim_{x \to 3} x^2 - 4\lim_{x \to 3} x + \lim_{x \to 3} 1" />
   </div>

   Substitusi <InlineMath math="x = 3" />:

   <div className="flex flex-col gap-4">
   <BlockMath math="= 2(3)^2 - 4(3) + 1 = 2(9) - 12 + 1 = 18 - 12 + 1 = 7" />
   </div>

2. **Penyelesaian:**

   Menggunakan sifat pembagian:
   
   <div className="flex flex-col gap-4">
   <BlockMath math="\lim_{x \to 1} \frac{3x + 2}{x^2 + 1} = \frac{\lim_{x \to 1} (3x + 2)}{\lim_{x \to 1} (x^2 + 1)}" />
   <BlockMath math="= \frac{3(1) + 2}{1^2 + 1} = \frac{5}{2}" />
   </div>

   Dalam bentuk **desimal**: <InlineMath math="\frac{5}{2} = 2.5" />

3. **Penyelesaian:**

   Menggunakan sifat akar:
   
   <div className="flex flex-col gap-4">
   <BlockMath math="\lim_{x \to 4} \sqrt{x + 5} = \sqrt{\lim_{x \to 4} (x + 5)}" />
   <BlockMath math="= \sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3" />
   </div>

4. **Penyelesaian:**

   Menggunakan sifat perpangkatan:
   
   <div className="flex flex-col gap-4">
   <BlockMath math="\lim_{x \to 2} (x + 1)^3 = \left[\lim_{x \to 2} (x + 1)\right]^3" />
   <BlockMath math="= (2 + 1)^3 = 3^3 = 27" />
   </div>

5. **Penyelesaian:**

   Menggunakan sifat pembagian:
   
   <div className="flex flex-col gap-4">
   <BlockMath math="\lim_{x \to 0} \frac{5x^2 + 3x}{2x + 1} = \frac{\lim_{x \to 0} (5x^2 + 3x)}{\lim_{x \to 0} (2x + 1)}" />
   <BlockMath math="= \frac{5(0)^2 + 3(0)}{2(0) + 1} = \frac{0}{1} = 0" />
   </div>