# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/university/bachelor/ai-ds/linear-methods/characteristic-polynomial
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/university/bachelor/ai-ds/linear-methods/characteristic-polynomial/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
    title: "Karakteristik Polinomial",
    description: "Jelajahi polinomial karakteristik untuk mencari nilai eigen, memahami multiplisitas aljabar, dan analisis hubungan jejak matriks dalam aljabar linear.",
    authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
    date: "07/12/2025",
    subject: "Metode Linear AI",
};

## Definisi dan Konsep Dasar

Untuk mencari nilai eigen suatu matriks, kita memerlukan alat matematika yang sangat penting dalam aljabar linear. Bayangkan kita ingin mencari semua nilai <InlineMath math="\lambda" /> yang membuat matriks <InlineMath math="A - \lambda I" /> menjadi singular (tidak dapat diinversi).

Misalkan <InlineMath math="A \in \mathbb{K}^{n \times n}" />. Kita dapat membentuk fungsi khusus:

<MathContainer>
<BlockMath math="\chi_A(t) = \det(A - t \cdot I)" />
<BlockMath math="\chi_A(t) = a_n \cdot t^n + a_{n-1} \cdot t^{n-1} + \cdots + a_1 t + a_0" />
</MathContainer>

Fungsi ini adalah polinomial berderajat <InlineMath math="n" /> dalam <InlineMath math="t \in \mathbb{K}" />, yang kita sebut **polinomial karakteristik** dari <InlineMath math="A" />.

dengan koefisien <InlineMath math="a_0, \ldots, a_{n-1}, a_n \in \mathbb{K}" />.

Faktanya, <InlineMath math="\chi_A(t)" /> benar-benar merupakan polinomial berderajat <InlineMath math="n" /> untuk setiap matriks <InlineMath math="A \in \mathbb{K}^{n \times n}" />.

## Jejak Matriks dan Koefisien Polinomial

Misalkan <InlineMath math="A \in \mathbb{K}^{n \times n}" /> adalah matriks persegi. **Jejak** dari <InlineMath math="A" /> adalah jumlah dari elemen-elemen diagonal:

<BlockMath math="\text{jejak} A = \sum_{i=1}^n a_{ii}" />

Jejak matriks memiliki hubungan erat dengan koefisien polinomial karakteristik.

### Hubungan Koefisien dengan Jejak dan Determinan

Dalam polinomial karakteristik <InlineMath math="\chi_A(t)" /> dari <InlineMath math="A" />, koefisien-koefisiennya memiliki makna khusus:

<BlockMath math="a_n = (-1)^n, \quad a_{n-1} = (-1)^{n-1} \cdot \text{jejak} A, \quad a_0 = \det A" />

Ini berarti:
- Koefisien tertinggi selalu <InlineMath math="(-1)^n" />
- Koefisien kedua tertinggi terkait dengan jejak matriks
- Suku konstanta adalah determinan matriks

## Nilai Eigen sebagai Akar Polinomial

Konsep paling penting dari polinomial karakteristik adalah hubungannya dengan nilai eigen.

Sekarang, mari kita lihat hubungan yang sangat penting: <InlineMath math="\lambda \in \mathbb{K}" /> adalah nilai eigen dari <InlineMath math="A" /> jika dan hanya jika <InlineMath math="\det(A - \lambda \cdot I) = 0" />.

Dengan kata lain, **nilai eigen adalah akar-akar dari polinomial karakteristik**.

Persamaan untuk <InlineMath math="t \in \mathbb{K}" />:

<BlockMath math="\det(A - t \cdot I) = 0" />

kita sebut **persamaan karakteristik** dari <InlineMath math="A" />.

## Multiplisitas Aljabar

Sekarang, bagaimana jika sebuah nilai eigen muncul beberapa kali sebagai akar polinomial karakteristik? Misalkan <InlineMath math="A \in \mathbb{K}^{n \times n}" /> dan <InlineMath math="\lambda \in \mathbb{K}" />. Multiplisitas dari akar <InlineMath math="t = \lambda" /> dari polinomial karakteristik <InlineMath math="\chi_A(t)" /> disebut **multiplisitas aljabar** <InlineMath math="\mu_A(\lambda)" /> dari nilai eigen <InlineMath math="\lambda" /> dari <InlineMath math="A" />. Kita katakan <InlineMath math="\lambda" /> adalah nilai eigen dengan multiplisitas <InlineMath math="\mu_A(\lambda)" /> dari <InlineMath math="A" />.

### Batasan Multiplisitas

Untuk setiap nilai eigen <InlineMath math="\lambda" />, berlaku:

<BlockMath math="0 \leq \mu_A(\lambda) \leq n" />

## Hubungan Multiplisitas Geometrik dan Aljabar

Salah satu hasil penting dalam teori nilai eigen adalah hubungan antara multiplisitas geometrik dan aljabar.

Untuk setiap matriks <InlineMath math="A \in \mathbb{K}^{n \times n}" /> dan <InlineMath math="\lambda \in \mathbb{K}" />, kita memiliki hubungan yang menarik:

<BlockMath math="0 \leq \dim \text{Eig}_A(\lambda) \leq \mu_A(\lambda) \leq n" />

> Multiplisitas geometrik setiap nilai eigen selalu lebih kecil atau sama dengan multiplisitas aljabarnya.

Mengapa ini terjadi? Hal ini dapat dijelaskan dengan menggunakan transformasi basis dan bentuk blok Jordan.

## Contoh Perhitungan Polinomial Karakteristik

Setelah memahami konsep-konsep dasar, mari kita lihat bagaimana menerapkannya dalam contoh konkret perhitungan polinomial karakteristik:

### Contoh Matriks 3x3

Misalkan <InlineMath math="A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & -4 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix} \in \mathbb{K}^{3 \times 3}" />. Polinomial karakteristik dari <InlineMath math="A" /> adalah:

<MathContainer>
<BlockMath math="\chi_A(t) = \det \begin{pmatrix} 3-t & 2 & -1 \\ 1 & -t & -4 \\ 3 & 0 & 1-t \end{pmatrix}" />
<BlockMath math="= (3-t) \cdot (-t) \cdot (1-t) - 2 \cdot (1 \cdot (1-t) + 3 \cdot 4) + 1 \cdot 3 \cdot t" />
<BlockMath math="= -3t + 3t^2 + t^2 - t^3 - 2 + 2t - 24 - 3t" />
<BlockMath math="= -t^3 + 4t^2 - 4t - 26" />
</MathContainer>

Untuk <InlineMath math="\mathbb{K} = \mathbb{R}" />, <InlineMath math="\chi_A(t)" /> hanya memiliki akar <InlineMath math="\lambda_1 \approx -1.8003" /> dengan multiplisitas aljabar <InlineMath math="\mu_A(\lambda_1) = 1" />.

Untuk <InlineMath math="\mathbb{K} = \mathbb{C}" />, <InlineMath math="\chi_A(t)" /> memiliki akar <InlineMath math="\lambda_1 \approx -1.8003" />, <InlineMath math="\lambda_2 \approx 2.9001 + 2.4559i" />, dan <InlineMath math="\lambda_3 \approx 2.9001 - 2.4559i" /> dengan multiplisitas aljabar masing-masing <InlineMath math="\mu_A(\lambda_1) = \mu_A(\lambda_2) = \mu_A(\lambda_3) = 1" />.

### Contoh Sederhana

Polinomial karakteristik dari matriks <InlineMath math="A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}" /> adalah:

<MathContainer>
<BlockMath math="\chi_A(t) = \det(A - t \cdot I) = \det \begin{pmatrix} 1-t & 2 \\ 0 & 1-t \end{pmatrix}" />
<BlockMath math="= (1-t) \cdot (1-t) - 0 \cdot 2 = (1-t)^2" />
<BlockMath math="= t^2 - 2 \cdot t + 1" />
</MathContainer>

Matriks ini memiliki akar <InlineMath math="\lambda = 1" /> dengan multiplisitas aljabar <InlineMath math="\mu_A(1) = 2" />. <InlineMath math="\lambda = 1" /> adalah satu-satunya nilai eigen dari <InlineMath math="A" />. Kita telah menghitung bahwa <InlineMath math="\dim \text{Eig}_A(1) = 1" />.

## Contoh Transformasi Geometrik

Sekarang, mari kita jelajahi sesuatu yang menarik: bagaimana polinomial karakteristik bekerja pada transformasi geometrik yang sering kita temui di <InlineMath math="\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2" />:

### Rotasi

Rotasi dengan <InlineMath math="A = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix}" /> memiliki polinomial karakteristik:

<BlockMath math="\chi_A(t) = (\cos(\alpha) - t)^2 + \sin(\alpha)^2 = t^2 - 2 \cdot \cos(\alpha) \cdot t + 1" />

Ini memiliki akar real jika dan hanya jika <InlineMath math="\cos(\alpha)^2 - 1 \geq 0" />, yaitu <InlineMath math="\cos(\alpha)^2 = 1" />, sehingga <InlineMath math="\alpha = 0" /> atau <InlineMath math="\alpha = \pi" />.

### Refleksi

Refleksi pada sumbu dengan <InlineMath math="A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}" /> memiliki polinomial karakteristik:

<BlockMath math="\chi_A(t) = (1-t) \cdot (-1-t) = t^2 - 1" />

Nilai eigen adalah <InlineMath math="\lambda_1 = 1" /> dan <InlineMath math="\lambda_2 = -1" /> dengan <InlineMath math="\mu_A(1) = \mu_A(-1) = 1" />.

### Peregangan

Peregangan dengan <InlineMath math="A = \begin{pmatrix} s & 0 \\ 0 & s \end{pmatrix}" /> memiliki polinomial karakteristik:

<BlockMath math="\chi_A(t) = (s-t)^2 = t^2 - 2 \cdot s \cdot t + s^2" />

Nilai eigen adalah <InlineMath math="\lambda = s" /> dengan <InlineMath math="\mu_A(s) = 2" />.

### Geseran

Geseran dengan <InlineMath math="A = \begin{pmatrix} 1 & s \\ 0 & 1 \end{pmatrix}" /> dengan <InlineMath math="s \neq 0" /> memiliki polinomial karakteristik:

<BlockMath math="\chi_A(t) = (1-t)^2 = t^2 - 2 \cdot t + 1" />

Nilai eigen adalah <InlineMath math="\lambda = 1" /> dengan <InlineMath math="\mu_A(1) = 2" />.

## Sifat Matriks Serupa

Matriks-matriks serupa memiliki sifat yang sangat menarik: mereka memiliki polinomial karakteristik yang sama, dan karena itu memiliki nilai eigen yang sama, jejak yang sama, dan determinan yang sama.

Mari kita lihat mengapa hal ini benar. Misalkan <InlineMath math="S \in \mathbb{K}^{n \times n}" /> dapat diinversi dan <InlineMath math="B = S^{-1} \cdot A \cdot S" />. Maka:

<MathContainer>
<BlockMath math="\chi_B(t) = \det(B - t \cdot I) = \det(S^{-1} \cdot A \cdot S - t \cdot S^{-1} \cdot I \cdot S)" />
<BlockMath math="= \det(S^{-1} \cdot (A - t \cdot I) \cdot S)" />
<BlockMath math="= \det S^{-1} \cdot \det(A - t \cdot I) \cdot \det S = \chi_A(t)" />
</MathContainer>

### Sifat Vektor Eigen Matriks Serupa

Sekarang, bagaimana dengan vektor eigen dari matriks serupa? Misalkan <InlineMath math="A, B \in \mathbb{K}^{n \times n}" /> adalah matriks serupa dengan <InlineMath math="B = S^{-1} \cdot A \cdot S" /> dan matriks invertible <InlineMath math="S \in \mathbb{K}^{n \times n}" />. Jika <InlineMath math="\lambda \in \mathbb{K}" /> adalah nilai eigen dari <InlineMath math="A" /> dan <InlineMath math="B" />, dan <InlineMath math="v \in \mathbb{K}^n" /> adalah vektor eigen dari <InlineMath math="A" /> untuk nilai eigen <InlineMath math="\lambda" />, maka <InlineMath math="w = S^{-1} \cdot v" /> adalah vektor eigen dari <InlineMath math="B" /> untuk nilai eigen <InlineMath math="\lambda" />.

Mari kita lihat mengapa ini benar. Misalkan <InlineMath math="A \cdot v = \lambda \cdot v" /> dan <InlineMath math="w = S^{-1} \cdot v" />. Maka:

<MathContainer>
<BlockMath math="B \cdot w = S^{-1} \cdot A \cdot S \cdot S^{-1} \cdot v = S^{-1} \cdot A \cdot v" />
<BlockMath math="= S^{-1} \cdot \lambda \cdot v = \lambda \cdot S^{-1} \cdot v = \lambda \cdot w" />
</MathContainer>

Ini menunjukkan bahwa transformasi keserupaan tidak hanya mempertahankan nilai eigen, tetapi juga memberikan cara sistematis untuk mengubah vektor eigen.