# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/university/bachelor/ai-ds/linear-methods/complex-matrix
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/university/bachelor/ai-ds/linear-methods/complex-matrix/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
    title: "Matriks Kompleks",
    description: "Pelajari matriks kompleks dengan operasi adjoint, transpose Hermitian, norma Euclidean, dan sifat penting untuk komputasi kuantum dan pemrosesan sinyal.",
    authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
    date: "07/12/2025",
    subject: "Metode Linear AI",
};

## Definisi Matriks dengan Entri Kompleks

Sama seperti matriks dengan entri real, kita juga dapat membentuk matriks yang entri-entrinya berupa bilangan kompleks. Bayangkan sebuah tabel persegi panjang yang berisi bilangan-bilangan kompleks yang tersusun rapi dalam baris dan kolom.

Sebuah skema persegi panjang bilangan kompleks dengan <InlineMath math="m \in \mathbb{N}" /> baris dan <InlineMath math="n \in \mathbb{N}" /> kolom disebut matriks kompleks <InlineMath math="m \times n" />:

<BlockMath math="A = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} = (a_{ij})_{\substack{i=1,\ldots,m \\ j=1,\ldots,n}}" />

dengan **koefisien** <InlineMath math="a_{ij} \in \mathbb{C}" /> untuk <InlineMath math="i = 1, \ldots, m" /> dan <InlineMath math="j = 1, \ldots, n" />. Himpunan semua matriks kompleks <InlineMath math="m \times n" /> ditulis sebagai <InlineMath math="\mathbb{C}^{m \times n}" />.

Perbedaan utama dengan matriks real adalah bahwa setiap entri <InlineMath math="a_{ij}" /> sekarang dapat berupa bilangan kompleks seperti <InlineMath math="2 + 3i" /> atau <InlineMath math="-1 - 4i" />.

## Matriks Adjoint

Dalam konteks matriks kompleks, konsep transpose matriks diperluas menjadi konsep yang lebih umum yang disebut **matriks adjoint**. Konsep ini merupakan generalisasi kompleks dari matriks transpose <InlineMath math="A^T" />.

Misalkan <InlineMath math="A \in \mathbb{C}^{m \times n}" /> adalah matriks kompleks <InlineMath math="m \times n" />. **Matriks adjoint** (matriks konjugat transpose) <InlineMath math="A^H" /> dari <InlineMath math="A" /> adalah matriks kompleks <InlineMath math="n \times m" /> yang diperoleh dengan menukar baris dan kolom dari <InlineMath math="A" /> dan mengambil konjugat kompleks dari setiap entri:

<BlockMath math="A^H = \overline{A^T} = \overline{A}^T = \begin{pmatrix} \overline{a_{11}} & \cdots & \overline{a_{m1}} \\ \vdots & & \vdots \\ \overline{a_{1n}} & \cdots & \overline{a_{mn}} \end{pmatrix} \in \mathbb{C}^{n \times m}" />

Proses ini melibatkan dua langkah: pertama transpose matriks (tukar baris dan kolom), kemudian ambil konjugat kompleks dari setiap entri.

## Sifat-sifat Matriks Adjoint

Matriks adjoint memiliki beberapa sifat penting yang berguna dalam perhitungan. Berikut adalah sifat-sifat fundamental yang selalu berlaku:

### Sifat Dasar

1. **Hubungan dengan transpose real**: Untuk <InlineMath math="A \in \mathbb{R}^{m \times n} \subset \mathbb{C}^{m \times n}" />, berlaku <InlineMath math="A^H = A^T" />

Ini masuk akal karena jika matriks hanya berisi entri real, maka konjugat kompleks tidak mengubah nilainya.

2. **Involusi**: <InlineMath math="(A^H)^H = A" />

Jika kita mengambil adjoint dari adjoint, kita kembali ke matriks asal.

### Sifat Operasi Linear

3. **Linearitas penjumlahan**: <InlineMath math="(A + B)^H = A^H + B^H" />

4. **Linearitas perkalian skalar**: <InlineMath math="(\lambda \cdot A)^H = \overline{\lambda} \cdot A^H" />

Perhatikan bahwa untuk perkalian skalar, kita perlu mengambil konjugat dari skalar <InlineMath math="\lambda" />.

### Sifat Perkalian

5. **Sifat antikomutatif perkalian**: <InlineMath math="(A \cdot B)^H = B^H \cdot A^H" />

Sifat ini menunjukkan bahwa adjoint dari hasil kali matriks adalah hasil kali adjoint matriks-matriks tersebut dalam urutan terbalik.

## Norma Euclidean pada Ruang Kompleks

Untuk vektor dalam ruang kompleks, kita memerlukan cara untuk mengukur "panjang" atau norma vektor tersebut. Konsep norma Euclidean diperluas untuk ruang kompleks menggunakan matriks adjoint.

Untuk <InlineMath math="v \in \mathbb{C}^n" />, kita definisikan:

<BlockMath math="v^H v = \sum_{i=1}^n \overline{v_i} v_i = \sum_{i=1}^n |v_i|^2 \in \mathbb{R}_0^+" />

**Norma Euclidean** dihitung sebagai:

<BlockMath math="\|v\|_2 = \sqrt{v^H v}" />

Ini mendefinisikan norma pada <InlineMath math="\mathbb{C}^n" />, yaitu **norma Euclidean** <InlineMath math="\|\cdot\|_2 : \mathbb{C}^n \to \mathbb{R} : v \mapsto \|v\|_2" />.

### Sifat-sifat Norma Euclidean

Norma Euclidean memenuhi sifat-sifat berikut:

**Homogenitas**: <InlineMath math="\|\alpha v\|_2 = |\alpha| \|v\|_2" />

**Definit positif**: <InlineMath math="\|v\|_2 \geq 0" /> dan <InlineMath math="\|v\|_2 = 0 \Leftrightarrow v = 0" />

**Ketidaksamaan segitiga**: <InlineMath math="\|v + w\|_2 \leq \|v\|_2 + \|w\|_2" />

Sifat-sifat ini menjamin bahwa <InlineMath math="\|\cdot\|_2" /> benar-benar merupakan norma dalam pengertian matematika yang formal.