# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/university/bachelor/ai-ds/linear-methods/cramer-rule
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/university/bachelor/ai-ds/linear-methods/cramer-rule/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
    title: "Aturan Cramer",
    description: "Selesaikan sistem linear dengan determinan menggunakan aturan Cramer. Pelajari matriks komplementer, formula invers, dan contoh lengkap untuk AI.",
    authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
    date: "07/12/2025",
    subject: "Metode Linear AI",
};

## Penyelesaian Sistem Linear

Aturan Cramer adalah metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan determinan. Metode ini memberikan cara langsung untuk menghitung solusi sistem persamaan linear ketika matriks koefisiennya dapat dibalik.

Metode ini sangat berguna untuk memahami hubungan antara determinan dan solusi sistem linear, meskipun secara komputasi kurang efisien dibandingkan eliminasi Gauss untuk sistem besar.

## Matriks Komplementer

Sebelum membahas aturan Cramer, kita perlu memahami konsep **matriks komplementer** yang menjadi dasar dari metode ini.

Untuk matriks <InlineMath math="A \in \mathbb{R}^{n \times n}" />, matriks komplementer didefinisikan sebagai:

<MathContainer>
<BlockMath math="\tilde{A} = (\tilde{a}_{ij})_{i=1,\ldots,n \atop j=1,\ldots,n} \in \mathbb{R}^{n \times n}" />
</MathContainer>

dengan elemen-elemen:

<BlockMath math="\tilde{a}_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \det A_{ji}" />

Perhatikan bahwa indeks dalam <InlineMath math="A_{ji}" /> bertukar posisi (bukan <InlineMath math="A_{ij}" />).

Matriks komplementer <InlineMath math="\tilde{A}" /> adalah matriks yang terdiri dari **kofaktor-kofaktor** dari matriks <InlineMath math="A" />, tetapi dengan posisi yang ditranspose.

### Struktur Matriks Komplementer

Matriks komplementer memiliki struktur sebagai berikut:

<MathContainer>
<BlockMath math="\tilde{A} = \begin{pmatrix} \det A_{11} & -\det A_{21} & \det A_{31} & \cdots \\ -\det A_{12} & \det A_{22} & -\det A_{32} & \cdots \\ \det A_{13} & -\det A_{23} & \det A_{33} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}" />
</MathContainer>

Setiap elemen dihitung dengan mengambil determinan submatriks yang sesuai, kemudian diberikan tanda berdasarkan pola papan catur <InlineMath math="(-1)^{i+j}" />.

## Sifat Fundamental Matriks Komplementer

Salah satu sifat terpenting dari matriks komplementer adalah hubungannya dengan matriks asli:

<MathContainer>
<BlockMath math="A \cdot \tilde{A} = \tilde{A} \cdot A = \begin{pmatrix} \det A & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \det A & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \det A \end{pmatrix}" />
</MathContainer>

Dengan kata lain:

<BlockMath math="A \cdot \tilde{A} = (\det A) \cdot I" />

Sifat ini sangat penting karena memberikan hubungan langsung antara matriks, matriks komplementernya, dan determinannya.

## Formula Invers Matriks

Dari sifat fundamental di atas, kita dapat menurunkan **formula invers matriks** menggunakan matriks komplementer.

Jika matriks <InlineMath math="A \in \mathbb{R}^{n \times n}" /> dapat dibalik, maka:

<MathContainer>
<BlockMath math="A^{-1} = \frac{1}{\det A} \cdot \tilde{A}" />
</MathContainer>

Namun perhitungan invers matriks menggunakan formula ini jauh lebih tidak efisien dibandingkan eliminasi Gauss untuk matriks berukuran besar.

### Contoh untuk Matriks 2×2

Untuk matriks <InlineMath math="n = 2" />:

<BlockMath math="A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}" />

Determinannya adalah:

<BlockMath math="\det A = a \cdot d - b \cdot c" />

Matriks komplementernya adalah:

<BlockMath math="\tilde{A} = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}" />

Sehingga inversnya adalah:

<MathContainer>
<BlockMath math="A^{-1} = \frac{1}{a \cdot d - b \cdot c} \cdot \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}" />
</MathContainer>

Kita dapat memverifikasi bahwa:

<MathContainer>
<BlockMath math="A \cdot A^{-1} = \frac{1}{a \cdot d - b \cdot c} \begin{pmatrix} a \cdot d - b \cdot c & -a \cdot b + a \cdot b \\ c \cdot d - c \cdot d & -c \cdot b + a \cdot d \end{pmatrix}" />
<BlockMath math="= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I" />
</MathContainer>

## Pernyataan Teorema

Sekarang kita dapat merumuskan aturan Cramer untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.

Misalkan <InlineMath math="A \in \mathbb{R}^{n \times n}" /> adalah matriks yang dapat dibalik dan <InlineMath math="a^1, a^2, \ldots, a^n \in \mathbb{R}^n" /> adalah kolom-kolom dari <InlineMath math="A" />. Untuk vektor <InlineMath math="b \in \mathbb{R}^n" />, solusi <InlineMath math="x \in \mathbb{R}^n" /> dari sistem persamaan linear <InlineMath math="A \cdot x = b" /> diberikan oleh:

<MathContainer>
<BlockMath math="x_j = \frac{\det(a^1 \; \ldots \; a^{j-1} \; b \; a^{j+1} \; \ldots \; a^n)}{\det A}" />
</MathContainer>

untuk <InlineMath math="j = 1, 2, \ldots, n" />.

Untuk menghitung komponen ke-<InlineMath math="j" /> dari solusi <InlineMath math="x" />, kita mengganti kolom ke-<InlineMath math="j" /> dari matriks <InlineMath math="A" /> dengan vektor <InlineMath math="b" />, kemudian menghitung determinan matriks yang dimodifikasi ini dan membaginya dengan determinan matriks <InlineMath math="A" /> asli.

## Bukti Menggunakan Pengembangan Laplace

Bukti aturan Cramer menggunakan pengembangan Laplace dan sifat matriks komplementer.

Untuk <InlineMath math="j = 1, \ldots, n" />:

<MathContainer>
<BlockMath math="x_j = (A^{-1} \cdot b)_j = \sum_{i=1}^{n} (A^{-1})_{ji} \cdot b_i = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\det A} \cdot \tilde{a}_{ji} \cdot b_i" />
</MathContainer>

<MathContainer>
<BlockMath math="= \frac{1}{\det A} \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} \cdot \det A_{ij} \cdot b_i" />
<BlockMath math="= \frac{1}{\det A} \cdot \det(a^1 \; \ldots \; a^{j-1} \; b \; a^{j+1} \; \ldots \; a^n)" />
</MathContainer>

berdasarkan pengembangan Laplace terhadap kolom ke-j.

## Contoh Penerapan

Mari kita lihat contoh konkret penerapan aturan Cramer:

<MathContainer>
<BlockMath math="A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 20 \\ 40 \\ 30 \end{pmatrix}" />
</MathContainer>

Karena:

<MathContainer>
<BlockMath math="\det A = 1 \cdot ((-1) \cdot 1 - 1 \cdot 1) - 1 \cdot (1 \cdot 1 - (-1) \cdot 1)" />
<BlockMath math="+ (-1) \cdot (1 \cdot 1 - (-1) \cdot (-1)) = -4 \neq 0" />
</MathContainer>

matriks <InlineMath math="A" /> dapat dibalik dan sistem memiliki solusi unik.

Menurut aturan Cramer:

<MathContainer>
<BlockMath math="x_1 = \frac{1}{\det A} \cdot \det \begin{pmatrix} 20 & 1 & -1 \\ 40 & -1 & 1 \\ 30 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{-120}{-4} = 30" />
</MathContainer>

<MathContainer>
<BlockMath math="x_2 = \frac{1}{\det A} \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 20 & -1 \\ 1 & 40 & 1 \\ -1 & 30 & 1 \end{pmatrix} = \frac{-100}{-4} = 25" />
</MathContainer>

<MathContainer>
<BlockMath math="x_3 = \frac{1}{\det A} \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 20 \\ 1 & -1 & 40 \\ -1 & 1 & 30 \end{pmatrix} = \frac{-140}{-4} = 35" />
</MathContainer>

Verifikasi menunjukkan bahwa <InlineMath math="A \cdot x - b = 0" />.

## Sifat Solusi untuk Matriks Integer

Jika <InlineMath math="A \in \mathbb{Z}^{n \times n}" /> adalah matriks yang dapat dibalik dengan elemen bilangan bulat dan <InlineMath math="b \in \mathbb{Z}^n" /> adalah vektor dengan elemen bilangan bulat, maka elemen-elemen dari invers <InlineMath math="A^{-1}" /> dan solusi <InlineMath math="x" /> dari sistem <InlineMath math="A \cdot x = b" /> adalah bilangan rasional dengan penyebut yang (jika tidak disingkat) sama dengan <InlineMath math="|\det A|" />.

Hal ini terjadi karena dalam perhitungan determinan hanya dilakukan operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian, sehingga determinan matriks bilangan bulat selalu bilangan bulat. Dalam formula invers dan aturan Cramer, satu-satunya operasi pembagian adalah pembagian dengan <InlineMath math="\det A" />.