# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/university/bachelor/ai-ds/linear-methods/determinant-calculation
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/university/bachelor/ai-ds/linear-methods/determinant-calculation/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
    title: "Perhitungan Determinan",
    description: "Kuasai perhitungan determinan dengan ekspansi kofaktor, eliminasi Gauss, dan matriks segitiga. Pelajari metode efisien untuk aljabar linear AI.",
    authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
    date: "07/10/2025",
    subject: "Metode Linear AI",
};

## Metode Perhitungan Determinan

Setelah memahami [konsep dasar determinan](/subject/university/bachelor/ai-ds/linear-methods/determinant), kita perlu mengetahui cara menghitungnya secara praktis. Ada beberapa metode yang bisa digunakan tergantung pada bentuk matriks yang kita hadapi.

Untuk matriks berukuran kecil, kita bisa menggunakan rumus langsung. Namun untuk matriks yang lebih besar, kita memerlukan strategi yang lebih efisien.

## Kasus Dasar Matriks 1×1

Untuk matriks berukuran <InlineMath math="1 \times 1" />, determinan sangat sederhana. Jika <InlineMath math="A \in \mathbb{R}^{1 \times 1}" /> dengan <InlineMath math="A = (a_{11})" />, maka:

<BlockMath math="\det A = a_{11}" />

Ini adalah kasus paling dasar yang menjadi fondasi untuk perhitungan determinan matriks yang lebih besar.

## Konsep Submatriks

Sebelum membahas metode ekspansi kofaktor, kita perlu memahami konsep **submatriks**. Untuk matriks <InlineMath math="A \in \mathbb{R}^{n \times n}" /> dan indeks <InlineMath math="i, j \in \{1, 2, \ldots, n\}" />, submatriks <InlineMath math="A_{ij}" /> adalah matriks berukuran <InlineMath math="(n-1) \times (n-1)" /> yang diperoleh dengan menghilangkan baris <InlineMath math="i" /> dan kolom <InlineMath math="j" /> dari matriks <InlineMath math="A" />.

Mari kita lihat contoh untuk matriks <InlineMath math="3 \times 3" />. Misalkan kita memiliki:

<BlockMath math="A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}" />

Untuk mendapatkan submatriks <InlineMath math="A_{12}" />, kita menghilangkan baris ke-1 dan kolom ke-2:

<MathContainer>
<BlockMath math="A_{12} = \begin{pmatrix} \cancel{a_{11}} & \cancel{a_{12}} & \cancel{a_{13}} \\ a_{21} & \cancel{a_{22}} & a_{23} \\ a_{31} & \cancel{a_{32}} & a_{33} \end{pmatrix}" />
<BlockMath math="= \begin{pmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{pmatrix}" />
</MathContainer>

Untuk submatriks <InlineMath math="A_{23}" />, kita menghilangkan baris ke-2 dan kolom ke-3:

<MathContainer>
<BlockMath math="A_{23} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cancel{a_{13}} \\ \cancel{a_{21}} & \cancel{a_{22}} & \cancel{a_{23}} \\ a_{31} & a_{32} & \cancel{a_{33}} \end{pmatrix}" />
<BlockMath math="= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix}" />
</MathContainer>

Proses ini berlaku untuk semua kombinasi baris dan kolom yang dihilangkan.

## Ekspansi Kofaktor

Metode yang paling umum untuk menghitung determinan adalah ekspansi kofaktor. Untuk matriks <InlineMath math="A \in \mathbb{R}^{n \times n}" /> dengan <InlineMath math="n > 1" />, determinan dapat dihitung menggunakan rumus:

<MathContainer>
<BlockMath math="\det A = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot \det A_{ij}" />
</MathContainer>

untuk kolom <InlineMath math="j" /> yang tetap dan dipilih secara bebas.

Dalam rumus ini, istilah <InlineMath math="(-1)^{i+j} \cdot \det A_{ij}" /> disebut **kofaktor** dari elemen <InlineMath math="a_{ij}" />. Tanda <InlineMath math="(-1)^{i+j}" /> memberikan pola papan catur untuk menentukan tanda positif atau negatif.

### Contoh Ekspansi Kofaktor 3×3

Mari kita lihat contoh ekspansi kofaktor untuk matriks 3×3:

<BlockMath math="A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}" />

Kita pilih baris pertama untuk ekspansi:

<MathContainer>
<BlockMath math="\det A = 2 \cdot (-1)^{1+1} \det A_{11} + 1 \cdot (-1)^{1+2} \det A_{12} + 3 \cdot (-1)^{1+3} \det A_{13}" />
<BlockMath math="= 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} - 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + 3 \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}" />
<BlockMath math="= 2 \cdot (4 \cdot 0 - 1 \cdot 2) - 1 \cdot (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) + 3 \cdot (0 \cdot 2 - 4 \cdot 1)" />
<BlockMath math="= 2 \cdot (-2) - 1 \cdot (-1) + 3 \cdot (-4) = -4 + 1 - 12 = -15" />
</MathContainer>

Kita bisa melakukan ekspansi berdasarkan baris atau kolom mana pun. Biasanya kita memilih baris atau kolom yang memiliki banyak nol untuk mempermudah perhitungan.

## Matriks Segitiga dan Diagonal

Untuk beberapa jenis matriks khusus, perhitungan determinan menjadi sangat sederhana:

### Matriks Segitiga Atas

Untuk matriks segitiga atas <InlineMath math="R" />:

<MathContainer>
<BlockMath math="R = \begin{pmatrix} r_{11} & * & \cdots & * \\ 0 & r_{22} & \cdots & * \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & r_{nn} \end{pmatrix}" />
</MathContainer>

Determinannya adalah:

<MathContainer>
<BlockMath math="\det R = r_{11} \cdot r_{22} \cdot \ldots \cdot r_{nn}" />
</MathContainer>

### Matriks Segitiga Bawah

Untuk matriks segitiga bawah <InlineMath math="L" />:

<MathContainer>
<BlockMath math="L = \begin{pmatrix} l_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ * & l_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ * & * & \cdots & l_{nn} \end{pmatrix}" />
</MathContainer>

Determinannya adalah:

<MathContainer>
<BlockMath math="\det L = l_{11} \cdot l_{22} \cdot \ldots \cdot l_{nn}" />
</MathContainer>

### Matriks Diagonal

Untuk matriks diagonal <InlineMath math="D" />:

<MathContainer>
<BlockMath math="D = \begin{pmatrix} d_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & d_{nn} \end{pmatrix}" />
</MathContainer>

Determinannya adalah:

<MathContainer>
<BlockMath math="\det D = d_{11} \cdot d_{22} \cdot \ldots \cdot d_{nn}" />
</MathContainer>

> Pada ketiga jenis matriks ini, determinan sama dengan perkalian semua elemen diagonal utama.

## Matriks Elementer

Matriks elementer adalah matriks yang diperoleh dari matriks identitas dengan satu operasi baris elementer. Determinan matriks elementer memiliki nilai yang mudah dihitung:

1. **Matriks skalar** <InlineMath math="S_i(\lambda)" /> yang mengalikan baris ke-i dengan <InlineMath math="\lambda" />:

    <BlockMath math="\det S_i(\lambda) = \lambda" />

2. **Matriks pertukaran** <InlineMath math="Q_i^j(\lambda)" /> yang menukar baris ke-i dan ke-j:

    <BlockMath math="\det Q_i^j(\lambda) = 1" />

3. **Matriks transveksi** <InlineMath math="P_i^j" /> yang menambahkan kelipatan baris ke-j ke baris ke-i:

    <BlockMath math="\det P_i^j = -1" />

Perhatikan bahwa matriks pertukaran memiliki determinan 1, bukan -1 seperti yang sering dikira. Tanda negatif muncul ketika kita **melakukan** operasi pertukaran baris pada matriks lain.

## Eliminasi Gauss untuk Perhitungan Determinan

Salah satu metode paling efisien untuk menghitung determinan adalah menggunakan eliminasi Gauss. Prosesnya adalah mengubah matriks menjadi bentuk segitiga atas, lalu mengalikan elemen-elemen diagonal.

Ketika matriks <InlineMath math="A" /> ditransformasi menjadi bentuk segitiga atas <InlineMath math="R" /> melalui eliminasi Gauss, kita perlu menghitung berapa kali pertukaran baris dilakukan. Jika ada <InlineMath math="p" /> pertukaran baris, maka:

<BlockMath math="\det A = (-1)^p \cdot \det R" />

Karena <InlineMath math="R" /> adalah matriks segitiga atas:

<BlockMath math="\det R = r_{11} \cdot r_{22} \cdot \ldots \cdot r_{nn}" />

Sehingga:

<MathContainer>
<BlockMath math="\det A = (-1)^p \cdot r_{11} \cdot r_{22} \cdot \ldots \cdot r_{nn}" />
</MathContainer>

### Efisiensi Metode

Eliminasi Gauss memiliki kompleksitas waktu <InlineMath math="O(\frac{1}{3}n^3)" />, yang jauh lebih efisien dibandingkan ekspansi kofaktor yang memiliki kompleksitas <InlineMath math="O(n!)" />.

Untuk matriks besar yang tidak terstruktur, eliminasi Gauss adalah metode yang paling praktis dan dapat diandalkan.

## Contoh Perhitungan Lengkap

Mari kita lihat contoh perhitungan determinan menggunakan eliminasi Gauss:

<BlockMath math="A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 2 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}" />

**Langkah 1**: Tukar baris 1 dan 3 untuk mendapatkan pivot yang tidak nol:

<BlockMath math="\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3 \end{pmatrix}" />

**Langkah 2**: Eliminasi kolom pertama dengan mengurangi 2 kali baris 1 dari baris 2:

<BlockMath math="\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 3 & 3 \end{pmatrix}" />

**Langkah 3**: Eliminasi kolom kedua dengan mengurangi 1.5 kali baris 2 dari baris 3:

<BlockMath math="\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} = R" />

Karena ada satu pertukaran baris (<InlineMath math="p = 1" />):

<MathContainer>
<BlockMath math="\det A = (-1)^1 \cdot \det R" />
<BlockMath math="= (-1)^1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 6" />
<BlockMath math="= -12" />
</MathContainer>