# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/university/bachelor/ai-ds/linear-methods/eigenvalue-diagonal-matrix
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/university/bachelor/ai-ds/linear-methods/eigenvalue-diagonal-matrix/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
    title: "Nilai Eigen dari Matriks Diagonal dan Segitiga",
    description: "Temukan cara membaca nilai eigen langsung dari entri diagonal matriks diagonal dan segitiga, plus hubungan determinan-jejak.",
    authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
    date: "07/12/2025",
    subject: "Metode Linear AI",
};

## Matriks Diagonal dan Sifat Khususnya

Untuk matriks diagonal, nilai eigen bisa langsung dibaca dari entri diagonal utamanya. Ini adalah salah satu keistimewaan paling menarik dalam aljabar linear.

Nilai eigen dari matriks diagonal kuadrat atau matriks segitiga <InlineMath math="A \in \mathbb{K}^{n \times n}" />

<MathContainer>
<BlockMath math="A = \begin{pmatrix} a_{11} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & a_{nn} \end{pmatrix}" />
<BlockMath math="\text{atau } A = \begin{pmatrix} a_{11} & * \\ & \ddots & \\ 0 & & a_{nn} \end{pmatrix}" />
<BlockMath math="\text{atau } A = \begin{pmatrix} a_{11} & & 0 \\ & \ddots & \\ * & & a_{nn} \end{pmatrix}" />
</MathContainer>

adalah entri diagonal utamanya:

<BlockMath math="\lambda_1 = a_{11}, \ldots, \lambda_n = a_{nn}" />

Mengapa hal ini benar? Karena <InlineMath math="\chi_A(t) = \det(A - t \cdot I) = (a_{11} - t) \cdots (a_{nn} - t)" /> dengan akar-akar <InlineMath math="a_{11}, \ldots, a_{nn}" />.

Sifat ini sangat memudahkan kita karena tidak perlu menghitung determinan atau menyelesaikan persamaan karakteristik yang kompleks.

## Matriks Segitiga Atas dan Bawah

Matriks segitiga memiliki sifat yang sama dengan matriks diagonal. Baik matriks segitiga atas maupun segitiga bawah, nilai eigennya tetap merupakan entri diagonal utama.

Hal ini terjadi karena ketika kita menghitung <InlineMath math="\det(A - tI)" />, entri di atas atau di bawah diagonal utama tidak mempengaruhi hasil perhitungan determinan. Struktur segitiga membuat determinan bisa dihitung sebagai perkalian entri diagonal.

## Contoh Perhitungan Langsung

Mari kita lihat beberapa contoh konkret untuk memahami konsep ini dengan lebih baik.

### Nilai Eigen Kompleks

Misalkan <InlineMath math="A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}" />. Polinomial karakteristiknya adalah:

<MathContainer>
<BlockMath math="\chi_A(t) = \det \begin{pmatrix} 1-t & -1 \\ 1 & 1-t \end{pmatrix}" />
<BlockMath math="= (1-t) \cdot (1-t) - 1 \cdot (-1) = t^2 - 2t + 2" />
</MathContainer>

yang memiliki akar <InlineMath math="\lambda_1 = 1 + i" /> dan <InlineMath math="\lambda_2 = 1 - i" />.

### Nilai Eigen Nol

Untuk <InlineMath math="A = \begin{pmatrix} 1 & -i \\ i & 1 \end{pmatrix}" />, polinomial karakteristiknya adalah:

<MathContainer>
<BlockMath math="\chi_A(t) = \det \begin{pmatrix} 1-t & -i \\ i & 1-t \end{pmatrix}" />
<BlockMath math="= (1-t) \cdot (1-t) - i \cdot (-i) = t^2 - 2t" />
</MathContainer>

dengan akar <InlineMath math="\lambda_1 = 2" /> dan <InlineMath math="\lambda_2 = 0" />.

## Faktorisasi Polinomial Karakteristik

Ketika matriks <InlineMath math="A \in \mathbb{C}^{n \times n}" /> memiliki <InlineMath math="n" /> nilai eigen yang tidak harus berbeda <InlineMath math="\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{C}" />, polinomial karakteristik <InlineMath math="\chi_A(t)" /> bisa difaktorkan sebagai:

<BlockMath math="\chi_A(t) = (\lambda_1 - t) \cdots (\lambda_n - t)" />

Jumlah multiplisitas aljabar dari semua nilai eigen adalah <InlineMath math="n" />:

<BlockMath math="\sum_{\lambda \in \mathbb{C}} \mu_A(\lambda) = n" />

Dalam bentuk yang lebih kompak:

<BlockMath math="\chi_A(t) = \prod_{\lambda \in \mathbb{C}} (\lambda - t)^{\mu_A(\lambda)}" />

Sifat ini berlaku secara alami untuk nilai eigen kompleks dari matriks dengan entri real. Nilai eigen bisa berupa bilangan real atau berpasangan kompleks konjugat.

## Hubungan Determinan dan Jejak

Ada hubungan fundamental antara nilai eigen dengan determinan dan jejak matriks. Jika polinomial karakteristik <InlineMath math="\chi_A(t)" /> dapat difaktorkan secara linear di <InlineMath math="\mathbb{K}" />, yang berarti matriks <InlineMath math="A" /> memiliki <InlineMath math="n" /> nilai eigen <InlineMath math="\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{K}" />, maka:

<MathContainer>
<BlockMath math="\det A = \prod_{i=1}^n \lambda_i" />
<BlockMath math="\text{tr} A = \sum_{i=1}^n \lambda_i" />
</MathContainer>

**Determinan adalah hasil kali** semua nilai eigen, sementara **jejak adalah jumlah** semua nilai eigen.

Mari kita verifikasi dengan contoh sebelumnya:

Untuk <InlineMath math="A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}" /> dengan <InlineMath math="\lambda_1 = 1 + i" />, <InlineMath math="\lambda_2 = 1 - i" />:

<MathContainer>
<BlockMath math="\det A = 1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1) = 2 = \lambda_1 \cdot \lambda_2" />
<BlockMath math="\text{tr} A = 1 + 1 = 2 = \lambda_1 + \lambda_2" />
</MathContainer>

Untuk <InlineMath math="A = \begin{pmatrix} 1 & -i \\ i & 1 \end{pmatrix}" /> dengan <InlineMath math="\lambda_1 = 2" />, <InlineMath math="\lambda_2 = 0" />:

<MathContainer>
<BlockMath math="\det A = 1 \cdot 1 - i \cdot (-i) = 0 = \lambda_1 \cdot \lambda_2" />
<BlockMath math="\text{tr} A = 1 + 1 = 2 = \lambda_1 + \lambda_2" />
</MathContainer>

Hubungan ini sangat berguna untuk verifikasi perhitungan dan memberikan wawasan geometris tentang transformasi linear yang diwakili oleh matriks.