# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/university/bachelor/ai-ds/linear-methods/eigenvalue-eigenvector-eigenspace
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/university/bachelor/ai-ds/linear-methods/eigenvalue-eigenvector-eigenspace/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
    title: "Nilai Eigen, Vektor Eigen, dan Ruang Eigen",
    description: "Kuasai konsep fundamental nilai eigen: pahami transformasi vektor oleh matriks, hitung vektor eigen, dan jelajahi sifat ruang eigen.",
    authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
    date: "07/12/2025",
    subject: "Metode Linear AI",
};

## Definisi Konsep Fundamental

Dalam aljabar linear, kita sering tertarik dengan vektor-vektor khusus yang memiliki sifat istimewa ketika dikalikan dengan matriks. Bayangkan vektor yang hanya "diregangkan" atau "dipendekkan" oleh matriks, tetapi arahnya tidak berubah.

Misalkan <InlineMath math="A \in \mathbb{K}^{n \times n}" /> adalah matriks persegi. Sebuah **vektor eigen** <InlineMath math="v \in \mathbb{K}^n" /> untuk **nilai eigen** <InlineMath math="\lambda \in \mathbb{K}" /> adalah vektor tak nol <InlineMath math="v \neq 0" /> yang memenuhi:

<BlockMath math="A \cdot v = \lambda \cdot v" />

Persamaan ini menunjukkan bahwa ketika matriks <InlineMath math="A" /> mengoperasikan vektor <InlineMath math="v" />, hasilnya adalah kelipatan skalar dari vektor yang sama.

> Menurut definisi, nilai eigen dapat sama dengan 0, tetapi vektor eigen selalu tak nol.

## Sifat Dasar Vektor Eigen

Vektor eigen memiliki sifat-sifat fundamental yang sangat berguna dalam berbagai aplikasi matematik.

**Perkalian Skalar**: Misalkan <InlineMath math="A \in \mathbb{K}^{n \times n}" /> dan <InlineMath math="v \in \mathbb{K}^n" /> dengan <InlineMath math="v \neq 0" /> adalah vektor eigen dari <InlineMath math="A" /> untuk nilai eigen <InlineMath math="\lambda \in \mathbb{K}" />. Maka semua kelipatan <InlineMath math="t \cdot v" /> dengan <InlineMath math="t \neq 0" /> juga merupakan vektor eigen dari <InlineMath math="A" /> untuk nilai eigen yang sama <InlineMath math="\lambda" />.

Mengapa hal ini benar? <InlineMath math="A \cdot (t \cdot v) = t \cdot (A \cdot v) = t \cdot (\lambda \cdot v) = \lambda \cdot (t \cdot v)" />

Sifat ini menunjukkan bahwa jika kita menemukan satu vektor eigen, maka semua kelipatan tak nolnya juga adalah vektor eigen untuk nilai eigen yang sama.

## Contoh Perhitungan Vektor Eigen

Mari kita lihat beberapa contoh konkret untuk memahami konsep ini lebih baik:

### Matriks Diagonal

Untuk matriks <InlineMath math="A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}" />:

<InlineMath math="v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}" /> adalah vektor eigen untuk nilai eigen <InlineMath math="\lambda_1 = 1" />, karena <InlineMath math="A \cdot v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot v_1" />

<InlineMath math="v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}" /> adalah vektor eigen untuk nilai eigen <InlineMath math="\lambda_2 = 2" />, karena <InlineMath math="A \cdot v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} = 2 \cdot v_2" />

### Matriks Simetris

Untuk matriks <InlineMath math="A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}" />:

<InlineMath math="v_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}" /> adalah vektor eigen untuk nilai eigen <InlineMath math="\lambda_1 = 2" />, karena <InlineMath math="A \cdot v_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix} = 2 \cdot v_1" />

<InlineMath math="v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}" /> adalah vektor eigen untuk nilai eigen <InlineMath math="\lambda_2 = 4" />, karena <InlineMath math="A \cdot v_2 = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} = 4 \cdot v_2" />

## Kebebasan Linear Vektor Eigen

Salah satu hasil penting dalam teori vektor eigen adalah bahwa vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen yang berbeda selalu bebas linear.

Ada hasil yang sangat penting dalam kebebasan linear vektor eigen. Misalkan <InlineMath math="A \in \mathbb{K}^{n \times n}" /> dan <InlineMath math="\lambda_1, \ldots, \lambda_k \in \mathbb{K}" /> adalah nilai-nilai eigen yang berbeda berpasangan dari <InlineMath math="A" />, yaitu <InlineMath math="\lambda_i \neq \lambda_j" /> untuk <InlineMath math="i \neq j" /> dengan <InlineMath math="i, j \in \{1, \ldots, k\}" />. Maka vektor-vektor eigen yang bersesuaian <InlineMath math="v_1, \ldots, v_k \in \mathbb{K}^n" /> adalah bebas linear.

Teorema ini dapat dibuktikan menggunakan induksi matematika dan memiliki konsekuensi penting bahwa matriks <InlineMath math="n \times n" /> memiliki paling banyak <InlineMath math="n" /> nilai eigen yang berbeda.

## Ruang Eigen dan Multiplisitas Geometrik

Untuk setiap nilai eigen, kita dapat mendefinisikan ruang vektor yang terdiri dari semua vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen tersebut.

Misalkan <InlineMath math="A \in \mathbb{K}^{n \times n}" /> dan <InlineMath math="\lambda \in \mathbb{K}" />. Himpunan:

<BlockMath math="\text{Eig}_A(\lambda) = \{v \in \mathbb{K}^n : A \cdot v = \lambda \cdot v\}" />

disebut **ruang eigen** dari <InlineMath math="A" /> untuk nilai eigen <InlineMath math="\lambda" />. Dimensi dari <InlineMath math="\text{Eig}_A(\lambda)" />:

<BlockMath math="\dim \text{Eig}_A(\lambda)" />

disebut **multiplisitas geometrik** dari nilai eigen <InlineMath math="\lambda" /> dari <InlineMath math="A" />.

### Sifat-sifat Ruang Eigen

Ruang eigen memiliki beberapa sifat penting:

1. **Vektor nol bukan vektor eigen**: Vektor nol bukan vektor eigen, tetapi merupakan elemen dari <InlineMath math="\text{Eig}_A(\lambda)" />

2. **Himpunan vektor eigen**: <InlineMath math="\text{Eig}_A(\lambda) \setminus \{0\}" /> adalah himpunan semua vektor eigen dari <InlineMath math="A" /> yang bersesuaian dengan <InlineMath math="\lambda" />

3. **Kondisi nilai eigen**: <InlineMath math="\lambda" /> adalah nilai eigen dari <InlineMath math="A" /> jika dan hanya jika <InlineMath math="\text{Eig}_A(\lambda) \neq \{0\}" />

4. **Batasan dimensi**: <InlineMath math="0 \leq \dim \text{Eig}_A(\lambda) \leq n" />

5. **Hubungan dengan kernel**: <InlineMath math="\text{Eig}_A(0) = \{v \in \mathbb{K}^n : A \cdot v = 0\} = \ker A" />

6. **Ruang eigen umum**: <InlineMath math="\text{Eig}_A(\lambda) = \{v \in \mathbb{K}^n : (A - \lambda \cdot I) \cdot v = 0\} = \ker(A - \lambda \cdot I)" />

7. **Perpotongan ruang eigen**: Jika <InlineMath math="\lambda_1 \neq \lambda_2" />, maka <InlineMath math="\text{Eig}_A(\lambda_1) \cap \text{Eig}_A(\lambda_2) = \{0\}" />

## Hubungan dengan Invertibilitas

Nilai eigen memiliki hubungan erat dengan sifat invertibilitas matriks.

Sekarang, mari kita lihat hubungan menarik antara invertibilitas dan nilai eigen. Matriks <InlineMath math="A \in \mathbb{K}^{n \times n}" /> dapat diinversi jika dan hanya jika semua nilai eigen <InlineMath math="\lambda \in \mathbb{K}" /> dari <InlineMath math="A" /> memenuhi <InlineMath math="\lambda \neq 0" />.

Mengapa hal ini benar? <InlineMath math="A" /> dapat diinversi jika dan hanya jika <InlineMath math="\text{Rang} A = n" />, yang berarti <InlineMath math="\text{Eig}_A(0) = \ker A = \{0\}" />, sehingga <InlineMath math="\lambda = 0" /> bukan nilai eigen dari <InlineMath math="A" />.

### Nilai Eigen Matriks Invers

Jika matriks <InlineMath math="A" /> dapat diinversi dan <InlineMath math="v \neq 0" /> adalah vektor eigen dari <InlineMath math="A" /> untuk nilai eigen <InlineMath math="\lambda \in \mathbb{K}" />, maka <InlineMath math="v" /> juga merupakan vektor eigen dari <InlineMath math="A^{-1}" /> untuk nilai eigen <InlineMath math="\frac{1}{\lambda}" />.

Mengapa hal ini benar? Dari <InlineMath math="A \cdot v = \lambda \cdot v" />, dengan mengalikan <InlineMath math="A^{-1}" /> dan <InlineMath math="\frac{1}{\lambda}" />, diperoleh <InlineMath math="\frac{1}{\lambda} \cdot v = A^{-1} \cdot v" />.

## Kriteria Invertibilitas

Mari kita lihat berbagai cara untuk mengetahui apakah matriks dapat diinversi. Untuk matriks persegi <InlineMath math="A \in \mathbb{K}^{n \times n}" />, pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

1. <InlineMath math="A" /> dapat diinversi
2. Terdapat matriks <InlineMath math="A^{-1} \in \mathbb{K}^{n \times n}" /> dengan <InlineMath math="A \cdot A^{-1} = I = A^{-1} \cdot A" />
3. <InlineMath math="A" /> memiliki peringkat penuh, <InlineMath math="\text{Rang} A = n" /> atau <InlineMath math="\ker A = \{0\}" />
4. Kolom-kolom dari <InlineMath math="A" /> bebas linear
5. Baris-baris dari <InlineMath math="A" /> bebas linear
6. <InlineMath math="\det A \neq 0" />
7. Semua nilai eigen dari <InlineMath math="A" /> tidak sama dengan 0

Teorema ini memberikan berbagai cara equivalent untuk memeriksa apakah suatu matriks dapat diinversi, dengan nilai eigen menjadi salah satu kriteria yang sangat berguna.