# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/university/bachelor/ai-ds/linear-methods/orthogonal-unitary-matrix
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/university/bachelor/ai-ds/linear-methods/orthogonal-unitary-matrix/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
    title: "Matriks Ortogonal dan Uniter",
    description: "Jelajahi matriks ortogonal dan uniter dengan sifat determinan, analisis nilai eigen, contoh rotasi, dan aplikasinya dalam aljabar linear.",
    authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
    date: "07/12/2025",
    subject: "Metode Linear AI",
};

## Mengenal Matriks Ortogonal dan Uniter

Matriks ortogonal dan uniter adalah jenis matriks yang sangat istimewa. Bayangkan mereka seperti transformasi yang sangat "bersih" yang tidak mengubah jarak dan sudut dalam ruang, hanya memutar atau memantulkan objek.

Perbedaannya sederhana. Matriks ortogonal bekerja dengan bilangan real, sedangkan matriks uniter bekerja dengan bilangan kompleks. Keduanya punya sifat yang sama, cuma versi yang berbeda saja.

## Definisi Matematis

### Matriks Ortogonal

Matriks kuadrat real <InlineMath math="A \in \mathbb{R}^{n \times n}" /> disebut **ortogonal** kalau:

<BlockMath math="A^{-1} = A^T" />

Artinya, untuk mendapat invers matriks ini, kita cukup transpose saja. Sangat praktis kan?

Ini sama artinya dengan:

<BlockMath math="A^T A = A A^T = I" />

### Matriks Uniter

Matriks kuadrat kompleks <InlineMath math="A \in \mathbb{C}^{n \times n}" /> disebut **uniter** kalau:

<BlockMath math="A^{-1} = A^H" />

Di sini <InlineMath math="A^H" /> adalah conjugate transpose dari <InlineMath math="A" />. Konsepnya mirip, cuma untuk bilangan kompleks.

Ini juga ekuivalen dengan:

<BlockMath math="A^H A = A A^H = I" />

> Matriks ortogonal real sebenarnya adalah kasus khusus dari matriks uniter, karena <InlineMath math="\mathbb{R}^{n \times n} \subset \mathbb{C}^{n \times n}" />.

## Sifat Determinan yang Menarik

Yang menarik dari matriks ortogonal dan uniter adalah determinannya selalu punya nilai absolut 1. Kenapa bisa begitu?

Untuk matriks uniter <InlineMath math="A" />, kita punya <InlineMath math="A^H A = I" />. Kalau kita hitung determinannya:

<MathContainer>
<BlockMath math="1 = \det I = \det(A^H A) = \det A^H \cdot \det A = \overline{\det A} \cdot \det A = |\det A|^2" />
</MathContainer>

Jadi <InlineMath math="|\det A| = 1" />. Untuk matriks ortogonal, cara buktikannya sama, cuma pakai <InlineMath math="A^T A = I" />.

## Nilai Eigen yang Istimewa

Nilai eigen dari matriks ortogonal dan uniter juga punya sifat khusus. Setiap nilai eigen <InlineMath math="\lambda" /> selalu memenuhi:

<BlockMath math="|\lambda| = 1" />

Mengapa demikian? Misalkan <InlineMath math="A \cdot v = \lambda \cdot v" /> untuk vektor eigen <InlineMath math="v \neq 0" />. Untuk kasus kompleks, kita bisa hitung:

<MathContainer>
<BlockMath math="v^H v = v^H A^H A v = (A \cdot v)^H (A \cdot v) = (\lambda \cdot v)^H (\lambda \cdot v)" />
<BlockMath math="= \overline{\lambda} \cdot \lambda \cdot v^H v = |\lambda|^2 \cdot v^H v" />
</MathContainer>

Karena <InlineMath math="v^H v \neq 0" />, maka <InlineMath math="|\lambda|^2 = 1" />, sehingga <InlineMath math="|\lambda| = 1" />.

## Bentuk Nilai Eigen

Untuk matriks ortogonal real, nilai eigennya bisa 1 atau -1 kalau real. Tapi kalau kompleks, bentuknya bisa ditulis sebagai:

<BlockMath math="\lambda = \exp(i\varphi) = \cos \varphi + i \sin \varphi" />

Ini artinya nilai eigen kompleks terletak di lingkaran unit di bidang kompleks.

## Contoh Konkret Matriks Rotasi

Mari lihat contoh yang familiar yaitu matriks rotasi:

<BlockMath math="A = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}" />

Kita bisa cek bahwa ini matriks ortogonal:

<MathContainer>
<BlockMath math="A^T A = \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}" />
<BlockMath math="= \begin{pmatrix} \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha & \cos \alpha(-\sin \alpha) + \sin \alpha \cos \alpha \\ (-\sin \alpha) \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha & (-\sin \alpha)(-\sin \alpha) + \cos^2 \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}" />
</MathContainer>

### Mencari Nilai Eigen

Polinomial karakteristiknya adalah:

<MathContainer>
<BlockMath math="\chi_A(t) = \det \begin{pmatrix} \cos \alpha - t & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha - t \end{pmatrix}" />
<BlockMath math="= (\cos \alpha - t)^2 + \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha - 2t \cos \alpha + t^2" />
<BlockMath math="= 1 - 2t \cos \alpha + t^2" />
</MathContainer>

Nilai eigennya adalah:

<BlockMath math="\lambda_{1,2} = \cos \alpha \pm \sqrt{\cos^2 \alpha - 1} = \cos \alpha \pm \sqrt{-\sin^2 \alpha} = \cos \alpha \pm i \sin \alpha" />

Hasilnya adalah <InlineMath math="\lambda_{1,2} = e^{\pm i\alpha}" />. 

Transformasi <InlineMath math="\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 : x \mapsto A \cdot x" /> menggambarkan rotasi sebesar sudut <InlineMath math="\alpha" />. Untuk <InlineMath math="\alpha \neq 0" /> dan <InlineMath math="\alpha \neq \pi" />, matriks ini tidak punya nilai eigen real, tapi punya dua nilai eigen kompleks.