# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/university/bachelor/ai-ds/linear-methods/system-linear-equation
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/university/bachelor/ai-ds/linear-methods/system-linear-equation/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
    title: "Sistem Persamaan Linear",
    description: "Selesaikan sistem linear berlebih dengan metode kuadrat terkecil. Pelajari curve fitting, model polinomial, dan solusi matriks untuk data nyata.",
    authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
    date: "07/15/2025",
    subject: "Metode Linear AI",
};

## Sistem Persamaan Linear Berlebih

Bayangkan kita sedang mencoba mencocokkan sebuah kurva dengan sekumpulan data. 
Dalam banyak kasus praktis, kita memiliki lebih banyak data daripada parameter yang ingin kita cari. 
Situasi seperti ini menciptakan apa yang disebut **sistem persamaan linear berlebih**.

Sistem ini memiliki karakteristik khusus. Jumlah persamaan lebih banyak daripada jumlah variabel yang tidak diketahui. 
Secara matematis, jika kita punya <InlineMath math="m" /> persamaan dan <InlineMath math="n" /> variabel, 
maka kondisi <InlineMath math="m > n" /> membuat sistem ini "berlebih".

## Contoh Nyata dengan Model Polinomial Kuadrat

Mari kita lihat contoh konkret. Misalkan kita memiliki <InlineMath math="7" /> titik data yang ingin kita cocokkan 
dengan sebuah parabola atau kurva kuadrat.

Data yang kita miliki adalah sebagai berikut.

| <InlineMath math="i" /> | <InlineMath math="1" /> | <InlineMath math="2" /> | <InlineMath math="3" /> | <InlineMath math="4" /> | <InlineMath math="5" /> | <InlineMath math="6" /> | <InlineMath math="7" /> |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| <InlineMath math="t_i" /> | <InlineMath math="-3" /> | <InlineMath math="-2" /> | <InlineMath math="-1" /> | <InlineMath math="0" /> | <InlineMath math="1" /> | <InlineMath math="2" /> | <InlineMath math="3" /> |
| <InlineMath math="y_i" /> | <InlineMath math="-2.2" /> | <InlineMath math="-4.2" /> | <InlineMath math="-4.2" /> | <InlineMath math="-1.8" /> | <InlineMath math="1.8" /> | <InlineMath math="8.2" /> | <InlineMath math="15.8" /> |

Kita ingin mencari sebuah parabola yang bentuknya seperti ini.

<BlockMath math="y = a_2 \cdot t^2 + a_1 \cdot t + a_0" />

Di sini kita mencari <InlineMath math="3" /> parameter, yaitu <InlineMath math="a_2" /> (koefisien kuadrat), 
<InlineMath math="a_1" /> (koefisien linear), dan <InlineMath math="a_0" /> (konstanta).

## Menyusun Sistem Persamaan

Sekarang, bagaimana kita menggunakan data ini untuk mencari parameter parabola? 
Idenya sederhana. Untuk setiap titik data, kita bisa menuliskan satu persamaan. 
Dengan <InlineMath math="7" /> titik data, kita akan mendapatkan <InlineMath math="7" /> persamaan.

<MathContainer>
<BlockMath math="a_2 \cdot (-3)^2 + a_1 \cdot (-3) + a_0 = -2.2" />
<BlockMath math="a_2 \cdot (-2)^2 + a_1 \cdot (-2) + a_0 = -4.2" />
<BlockMath math="a_2 \cdot (-1)^2 + a_1 \cdot (-1) + a_0 = -4.2" />
<BlockMath math="a_2 \cdot 0^2 + a_1 \cdot 0 + a_0 = -1.8" />
<BlockMath math="a_2 \cdot 1^2 + a_1 \cdot 1 + a_0 = 1.8" />
<BlockMath math="a_2 \cdot 2^2 + a_1 \cdot 2 + a_0 = 8.2" />
<BlockMath math="a_2 \cdot 3^2 + a_1 \cdot 3 + a_0 = 15.8" />
</MathContainer>

Sekarang mari kita hitung nilai kuadrat untuk setiap <InlineMath math="t_i" />. 
Misalnya, untuk <InlineMath math="t_1 = -3" />, kita punya <InlineMath math="(-3)^2 = 9" />. 
Begitu juga dengan yang lain. Setelah dihitung semua, persamaan kita menjadi seperti ini.

<MathContainer>
<BlockMath math="9a_2 - 3a_1 + a_0 = -2.2" />
<BlockMath math="4a_2 - 2a_1 + a_0 = -4.2" />
<BlockMath math="1a_2 - 1a_1 + a_0 = -4.2" />
<BlockMath math="0a_2 + 0a_1 + a_0 = -1.8" />
<BlockMath math="1a_2 + 1a_1 + a_0 = 1.8" />
<BlockMath math="4a_2 + 2a_1 + a_0 = 8.2" />
<BlockMath math="9a_2 + 3a_1 + a_0 = 15.8" />
</MathContainer>

## Bentuk Matriks

Sistem persamaan di atas bisa ditulis dalam bentuk matriks <InlineMath math="A \cdot x = b" />.

<MathContainer>
<BlockMath math="\begin{pmatrix} 9 & -3 & 1 \\ 4 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_2 \\ a_1 \\ a_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2.2 \\ -4.2 \\ -4.2 \\ -1.8 \\ 1.8 \\ 8.2 \\ 15.8 \end{pmatrix}" />
</MathContainer>

Secara umum, untuk model polinomial kuadrat dengan <InlineMath math="m" /> titik data, 
bentuk matriksnya adalah sebagai berikut.

<MathContainer>
<BlockMath math="\begin{pmatrix} t_1^2 & t_1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ t_m^2 & t_m & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_2 \\ a_1 \\ a_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_m \end{pmatrix}" />
</MathContainer>

## Mengapa Tidak Ada Solusi Tepat

Sekarang kita hadapi situasi yang menarik. Dalam contoh kita, matriks <InlineMath math="A" /> berukuran <InlineMath math="7 \times 3" /> 
dan vektor <InlineMath math="x" /> berukuran <InlineMath math="3 \times 1" />. 
Artinya, kita memiliki <InlineMath math="7" /> persamaan tetapi hanya <InlineMath math="3" /> variabel yang tidak diketahui.

Apakah ini berarti sistemnya tidak bisa diselesaikan? Mari kita periksa lebih dalam.

Ketiga kolom matriks <InlineMath math="A" /> saling bebas linear, sehingga peringkat matriks <InlineMath math="A" /> adalah <InlineMath math="3" />. 
Namun ketika kita menambahkan vektor <InlineMath math="b" /> ke matriks <InlineMath math="A" /> 
untuk membentuk matriks diperluas <InlineMath math="(A|b)" />, peringkatnya menjadi <InlineMath math="4" />.

Kondisi ini memberitahu kita sesuatu yang penting. Sistem ini **tidak memiliki solusi tepat**. 
Dalam bahasa sederhana, tidak ada parabola tunggal yang bisa melewati ke-<InlineMath math="7" /> titik data secara sempurna.

## Solusi dengan Kuadrat Terkecil

Lalu apa yang harus kita lakukan? Menyerah? Tentu tidak! 

Ketika sistem persamaan linear berlebih tidak memiliki solusi tepat, 
kita menggunakan pendekatan **kuadrat terkecil**. Ide dasarnya sangat masuk akal. 
Jika kita tidak bisa menemukan parabola yang melewati semua titik, 
mari kita cari parabola yang "paling dekat" dengan semua titik.

Secara matematis, metode ini mencari parameter yang meminimalkan jumlah kuadrat selisih 
antara nilai prediksi dan nilai observasi. Bayangkan kita menggambar parabola, 
lalu mengukur jarak vertikal dari setiap titik data ke parabola tersebut. 
Metode kuadrat terkecil mencari parabola yang membuat total kuadrat jarak-jarak ini paling kecil.

> Sistem persamaan linear berlebih sangat umum dalam dunia nyata, 
> terutama ketika kita memiliki banyak data pengukuran tetapi model yang relatif sederhana.

Pendekatan kuadrat terkecil memberikan solusi yang optimal dalam arti meminimalkan 
kesalahan secara keseluruhan, sehingga sangat praktis untuk aplikasi rekayasa dan sains.