Exponentialfunktion

Die Variable steht im Exponenten

Bei einer Exponentialfunktion steht die unabhängige Variable im Exponenten. Die folgenden Wachstums- und Zerfallsmodelle verwenden die allgemeine Form $f(x) = a \cdot b^x$ mit $a > 0$, $b > 0$ und $b \neq 1$.

Komponenten von Exponentialfunktionen:

In der Funktion $f(x) = a \cdot b^x$:

• $a$ ist der Anfangswert der Funktion.
• $b$ ist die Basis und bestimmt Wachstum oder Zerfall.
• $x$ ist die unabhängige Variable im Exponenten.

Eigenschaften von Exponentialfunktionen

Bei positivem Anfangswert bestimmt die Basis die Änderungsrichtung. Bei der Eingabe null ist der Funktionswert gleich dem Anfangsfaktor.

Eine Erhöhung der Eingabe um eins multipliziert den Funktionswert immer mit derselben Basis. Dadurch unterscheidet sich exponentielle Veränderung von einer festen Zunahme bei linearen Funktionen.

Verlauf des Graphen

Aus den Potenzregeln folgen diese Identitäten. Beim Multiplizieren zweier Funktionswerte tritt der Anfangsfaktor zweimal auf. Um den Funktionswert an der Summe der Eingaben zu erhalten, teilen wir dieses Produkt deshalb durch den Anfangsfaktor.

Typen von Exponentialfunktionen

Graphen exponentieller Funktionen

Die beiden Grundformen lassen sich im selben Koordinatensystem direkt vergleichen:

Vergleich der Funktionswerte $f(x) = 2^x$ und $g(x) = (0{,}5)^x$:

Transformationen von Exponentialfunktionen

Eine vertikale Verschiebung bewegt die Asymptote, während eine horizontale Verschiebung einen Bezugspunkt des Graphen verschiebt. Jede Konstante, die zur Funktion addiert wird, verschiebt den Graphen in eine feste Richtung, und die transformierte Gleichung zeigt diese Richtung.

Vertikale Verschiebung

Die Funktion $f(x) = a \cdot b^x + c$ verschiebt den Graphen nach oben (wenn $c > 0$) oder nach unten (wenn $c < 0$).

Horizontale Verschiebung

Die Funktion $f(x) = a \cdot b^{x-h}$ verschiebt den Graphen nach rechts, wenn $h > 0$, und nach links, wenn $h < 0$. Die Verschiebung bewegt jeden Punkt um denselben Betrag, die Asymptote bleibt also stehen und die Form der Kurve ändert sich nicht.

Bei einer Verschiebung um zwei nach rechts wird jede ursprüngliche Eingabe um zwei größer. Die Ausgabe bleibt gleich.

Anwendungen von Exponentialfunktionen

Die betrachtete Größe ändert sich in jedem der folgenden Beispiele innerhalb gleicher Zeitabstände um denselben Faktor. Dieser Faktor beschreibt Bevölkerungswachstum, Zerfall oder die Zunahme eines Guthabens durch Zinsen.

Derselbe Prozentsatz bezieht sich jeweils auf den aktuellen Betrag. Die absolute Zunahme ist deshalb nicht konstant. Zehn Prozent Wachstum verändern hundert zu hundertzehn und dann zu hunderteinundzwanzig.

Bevölkerungswachstum

Wenn eine Population eine konstante proportionale Wachstumsrate hat und die Bedingungen unverändert bleiben, kann ein exponentielles Modell ihr Wachstum beschreiben. Wenn die Anfangspopulation $P_0$ beträgt und die Wachstumsrate $r$ pro Zeitraum beträgt, gilt:

Beispiel: Bakterienpopulation, die sich jede Stunde mit einer Rate von $20\%$ vermehrt:

• Anfangspopulation: $1000 \text{ Bakterien}$
• Wachstumsrate: $r = 0{,}2$
• Funktion: $P(t) = 1000 \cdot (1{,}2)^t$

Das Modell liefert nach $4$ beziehungsweise $5$ Stunden $2073{,}6$ und $2488{,}32$. Die Tabelle rundet beide Werte auf die nächste ganze Bakterienzahl.

Radioaktiver Zerfall

Radioaktive Stoffe zerfallen nach Exponentialfunktionen. Wenn die Anfangsmasse $M_0$ und die Halbwertszeit $t_{1/2}$ beträgt, dann:

Bei einer Anfangsmasse von achtzig Gramm und einer Halbwertszeit von zwei Jahren halbiert sich die Masse alle zwei Jahre.

Zinseszins

Anlagen mit Zinseszins wachsen exponentiell. Wenn $P$ das Anfangskapital, $r$ der jährliche Zinssatz und $t \text{ Jahre}$ die Laufzeit ist, gilt:

Dabei ist $n$ die Häufigkeit der Zinsaufzinsung pro Jahr.

Ein Anfangskapital von einer Million Rupiah wird mit einem nominalen Jahreszinssatz von zehn Prozent zweimal jährlich verzinst. Das Modell enthält keine Einzahlungen, Auszahlungen, Gebühren oder Steuern.

In jedem Halbjahr wird das Guthaben mit demselben Faktor multipliziert. Das Modell ergibt am Jahresende ein Guthaben von Rp1.102.500.

Exponentielle Gleichungen

Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung, deren Exponent eine Variable enthält. Allgemeine Form:

Methode 1: Basen ausgleichen

Wenn $b^{f(x)} = b^{g(x)}$, dann $f(x) = g(x)$

Beispiel: Löse $2^{x+1} = 8$

Methode 2: Logarithmen verwenden

Für $b>0$, $b\neq1$ und $c>0$ lässt sich $b^x = c$ mit Logarithmen lösen:

Übungen

In jeder Aufgabe sind Angaben zu einer Exponentialfunktion gegeben und die Funktion selbst oder einer ihrer Werte gesucht, deshalb notierst du zuerst die allgemeine Form und setzt den gegebenen Punkt ein.

1. Bestimme den Wert von $f(3)$, wenn $f(x) = 5 \cdot 2^x$

2. Löse die Gleichung $3^{2x-1} = 27$

3. Die Bevölkerung einer Stadt beträgt $50{.}000 \text{ Menschen}$ und wächst um $3\%$ pro Jahr. Wie groß ist die Bevölkerung nach $10 \text{ Jahren}$ laut diesem Modell?

4. Eine radioaktive Substanz hat eine Halbwertszeit von $5 \text{ Jahren}$. Wenn die Anfangsmasse $100 \text{ Gramm}$ beträgt, wie viel Masse bleibt nach $15 \text{ Jahren}$ übrig?

Lösungen

Aufgabe 1. Setze $x = 3$ in $f(x) = 5 \cdot 2^x$ ein. Berechne zuerst die Potenz und multipliziere anschließend mit dem Anfangsfaktor.

Damit ist $f(3) = 40$.

Aufgabe 2. Schreibe $27$ als $3^3$. Die Basis drei ist positiv und ungleich eins. Deshalb haben gleiche Potenzen hier gleiche Exponenten.

Die Probe ergibt $3^{2(2)-1} = 3^3 = 27$. Die Lösung ist also korrekt.

Aufgabe 3. Die Anfangsbevölkerung beträgt $P_0 = 50{.}000$, die jährliche Wachstumsrate $r = 0{,}03$ und die Zeit $t = 10$ Jahre. Der jährliche Wachstumsfaktor ist $1 + r = 1{,}03$.

Die Bevölkerungszahl wird auf die nächste ganze Person gerundet.

Aufgabe 4. Fünfzehn Jahre entsprechen $15/5 = 3$ Halbwertszeiten. Die Masse wird daher dreimal mit $1/2$ multipliziert.

Nach $15 \text{ Jahren}$ bleiben $12{,}5 \text{ Gramm}$ übrig.