Exponentialfunktionen verstehen
Bei einer Exponentialfunktion steht die unabhängige Variable im Exponenten. Für die Wachstums- und Zerfallsmodelle in dieser Lektion gilt die allgemeine Form mit , und .
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Bei einer Exponentialfunktion steht die unabhängige Variable im Exponenten. Für die Wachstums- und Zerfallsmodelle in dieser Lektion gilt die allgemeine Form mit , und .
Komponenten von Exponentialfunktionen:
In der Funktion :
Exponentialfunktionen haben mehrere besondere Eigenschaften, die sie von anderen Funktionen unterscheiden:
Exponentielle Wachstumsfunktion ():
Exponentielle Zerfallsfunktion ():
Die beiden Grundformen lassen sich im selben Koordinatensystem direkt vergleichen:
Vergleich der Funktionswerte und :
Exponentialfunktionen können auf verschiedene Arten transformiert werden:
Die Funktion verschiebt den Graphen nach oben (wenn ) oder nach unten (wenn ).
Die Funktion verschiebt den Graphen nach rechts (wenn ) oder nach links (wenn ).
Exponentialfunktionen werden im täglichen Leben häufig verwendet:
Wenn eine Population eine konstante proportionale Wachstumsrate hat und die Bedingungen unverändert bleiben, kann ein exponentielles Modell ihr Wachstum beschreiben. Wenn die Anfangspopulation beträgt und die Wachstumsrate pro Zeitraum beträgt, gilt:
Beispiel: Bakterienpopulation, die sich jede Stunde mit einer Rate von vermehrt:
| Zeit (Stunden) | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Bevölkerung |
Das Modell liefert nach beziehungsweise Stunden und . Die Tabelle rundet beide Werte auf die nächste ganze Bakterienzahl.
Radioaktive Stoffe zerfallen nach Exponentialfunktionen. Wenn die Anfangsmasse und die Halbwertszeit beträgt, dann:
Anlagen mit Zinseszins wachsen exponentiell. Wenn das Anfangskapital, der jährliche Zinssatz und die Laufzeit ist, gilt:
Dabei ist die Häufigkeit der Zinsaufzinsung pro Jahr.
Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung, deren Exponent eine Variable enthält. Allgemeine Form:
Methode : Basen ausgleichen
Wenn , dann
Beispiel: Lösen Sie
Methode : Logarithmen verwenden
Für , und lässt sich mit Logarithmen lösen:
Bestimmen Sie den Wert von , wenn
Lösen Sie die Gleichung
Die Bevölkerung einer Stadt beträgt und wächst um pro Jahr. Wie groß ist die Bevölkerung nach laut diesem Modell?
Eine radioaktive Substanz hat eine Halbwertszeit von . Wenn die Anfangsmasse beträgt, wie viel Masse bleibt nach übrig?
Setzen Sie in ein. Berechnen Sie zuerst die Potenz und multiplizieren Sie anschließend mit dem Anfangsfaktor.
Damit ist .
Schreiben Sie als . Bei gleichen positiven Basen müssen die Exponenten übereinstimmen.
Die Probe ergibt . Die Lösung ist also korrekt.
Die Anfangsbevölkerung beträgt , die jährliche Wachstumsrate und die Zeit Jahre. Der jährliche Wachstumsfaktor ist .
Die Bevölkerungszahl wird auf die nächste ganze Person gerundet.
Fünfzehn Jahre entsprechen Halbwertszeiten. Die Masse wird daher dreimal mit multipliziert.
Nach bleiben übrig.