Funktionsbegriff

Wann eine Relation eine Funktion ist

Eine Funktion ordnet jeder Eingabe ihres Definitionsbereichs genau eine Ausgabe zu. Bildet $f$ eine Menge $A$ auf eine Menge $B$ ab, schreiben wir:

Zu jedem $x\in A$ muss genau ein Wert $y\in B$ mit $y=f(x)$ gehören. Zwei verschiedene Eingaben dürfen dieselbe Ausgabe besitzen. Nicht erlaubt sind zwei verschiedene Ausgaben für dieselbe Eingabe.

Die Regel $f(x)=x+2$ ordnet zum Beispiel jeder reellen Eingabe genau einen Wert zu:

Dieselben Angaben lassen sich als geordnete Paare schreiben:

Jede erste Koordinate tritt nur mit einer zweiten Koordinate auf. Deshalb beschreiben die Paare auf den dargestellten Eingaben eine Funktion.

Funktionsnotation lesen

In der Gleichung $f(x)=y$ gilt:

• $f$ ist der Name der Funktion.
• $x$ ist eine Eingabe aus dem Definitionsbereich.
• $f(x)$ ist die Ausgabe, die durch Anwenden der Regel auf $x$ entsteht.
• $y$ ist eine andere Bezeichnung für diese Ausgabe.

Die Schreibweise $f(3)$ bedeutet keine Multiplikation $f\cdot3$. Sie bedeutet: „Werte $f$ an der Stelle $3$ aus.“ Für $f(x)=x+2$ gilt:

Eine Regel untersuchen

Die interaktive Funktionsmaschine verwendet $f(x)=2x+1$. Ändere die Eingabe, sage die Ausgabe voraus und vergleiche anschließend deine Vorhersage mit dem angezeigten Ergebnis.

Die beiden Schritte haben eine feste Reihenfolge: Multipliziere die Eingabe mit $2$ und addiere anschließend $1$. Zum Beispiel:

Funktion oder keine Funktion

Vergleiche die beiden Relationen:

Die Relation $R$ ist eine Funktion. Die Eingaben $1$ und $2$ teilen sich dieselbe Ausgabe, nämlich $4$, was erlaubt ist. Die Relation $S$ ist keine Funktion, weil die Eingabe $1$ zwei verschiedene Ausgaben hat, nämlich $4$ und $6$.

Überprüfe dein Verständnis

Diese Fragen prüfen jeweils eine Definition, deshalb nennst du in jeder Antwort die Eingabe, die Zuordnungsregel und die eine Ausgabe, die diese Regel liefert. Prüfe bei der zweiten Aufgabe zuerst, ob jede Eingabe genau eine Ausgabe hat, bevor du auf eine Funktion schließt.

1. Es sei $g(x)=3x-2$. Bestimme $g(0)$, $g(2)$ und $g(-3)$.
2. Beschreibt $T=\{(-2,5),(0,1),(4,5)\}$ auf den dargestellten Eingaben eine Funktion? Begründe.
3. Beschreibt $U=\{(-2,5),(0,1),(-2,7)\}$ auf den dargestellten Eingaben eine Funktion? Begründe.

Ausführliche Lösungen

1. Setze jede Eingabe in dieselbe Regel ein:

   $$g(0)=3(0)-2=-2$$

   $$g(2)=3(2)-2=4$$

   $$g(-3)=3(-3)-2=-11$$

2. Ja. Jede erste Koordinate in $T$ besitzt genau eine zweite Koordinate. Die Ausgabe $5$ darf von mehreren Eingaben angenommen werden.

3. Nein. Die Eingabe $-2$ ist zwei verschiedenen Ausgaben zugeordnet, nämlich $5$ und $7$.