Eine Funktion ordnet jedem Element ihrer Definitionsmenge genau ein Element der Zielmenge zu. Je nachdem, wie diese Zuordnung die beiden Mengen verbindet, unterscheidet man injektive, surjektive und bijektive Funktionen.
Eine Funktion heißt injektiv, wenn verschiedene Elemente der Definitionsmenge X stets verschiedene Bilder in der Zielmenge Y besitzen. Zwei verschiedene Eingaben dürfen also nicht dieselbe Ausgabe erzeugen.
Formale Definition:
Eine Funktion f:X→Y ist injektiv, wenn für jedes x1,x2∈X gilt:
f(x1)=f(x2)⟹x1=x2
Oder äquivalent (unter Verwendung des Kontrapositivs):
x1=x2⟹f(x1)=f(x2)
Stell dir vor, jeder Schüler einer Schule erhält eine eigene Kennnummer. Keine zwei Schüler dürfen dieselbe Nummer besitzen. Die Zuordnung von Schülern zu Kennnummern ist dann injektiv.
Beispiele:
Die Funktion f(x)=2x für x∈R ist injektiv, da jeder eindeutige Wert von x ein eindeutiges 2x erzeugt.
Die Funktion g(x)=x2 für x∈R ist nicht injektiv, da g(2)=4 und g(−2)=4. Es gibt zwei verschiedene Eingaben (2 und −2), die dieselbe Ausgabe erzeugen (4).
Eine Funktion heißt surjektiv, wenn jedes Element der Zielmenge Y Bild von mindestens einem Element der Definitionsmenge X ist. Es bleibt also kein Zielwert unerreicht. Bei einer surjektiven Funktion stimmen Bildmenge und Zielmenge überein.
Formale Definition:
Eine Funktion f:X→Y ist surjektiv, wenn für jedes y∈Ymindestens einx∈X existiert, sodass:
f(x)=y
Stell dir die Zielmenge als Sitzplätze in einem Kino und die Definitionsmenge als Zuschauer vor. Die Zuordnung ist surjektiv, wenn jeder Sitzplatz von mindestens einem Zuschauer erreicht wird.
Beispiele:
Die Funktion f(x)=x3 von R→R ist surjektiv, denn zu jeder reellen Zahl y in der Zielmenge gehört eine reelle Eingabe x, nämlich x=3y.
Die Funktion g(x)=x2 von R→R ist nicht surjektiv. Es gibt keine reelle Zahl x mit g(x)=−1. Die negativen Werte der Zielmenge werden also nicht erreicht.
Beschränkt man die Zielmenge der Funktion g(x)=x2 dagegen auf R→[0,∞), wird sie surjektiv.
Eine Funktion heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Jedes Element der Zielmenge wird dann von genau einem Element der Definitionsmenge erreicht.
Eine bijektive Funktion stellt damit eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen Definitionsmenge und Zielmenge her.
Formale Definition:
Eine Funktion f:X→Y ist bijektiv, wenn für jedes y∈Ygenau einx∈X existiert, sodass:
f(x)=y
Stell dir zwei Mengen mit gleich vielen Elementen vor. Jedes Element der ersten Menge wird genau einem Element der zweiten Menge zugeordnet, und jedes Element der zweiten Menge wird genau einmal erreicht. Eine solche Abbildung ist bijektiv.
Wichtig: Eine Funktion f:X→Y besitzt genau dann eine beidseitige Umkehrfunktion f−1:Y→X, wenn sie bijektiv ist. Eine injektive Funktion lässt sich auf ihrer tatsächlichen Bildmenge umkehren, sobald diese Bildmenge als Zielmenge gewählt wird.
Beispiele:
Die Funktion f(x)=2x von R→R ist bijektiv (injektiv und surjektiv).
Die Funktion f(x)=x3 von R→R ist bijektiv (injektiv und surjektiv).
Die Funktion g(x)=x2 von R→R ist nicht bijektiv (weder injektiv noch surjektiv).
Die Funktion h(x)=ex von R→R ist nicht bijektiv (injektiv, aber nicht surjektiv).
Die Funktion k(x)=x3−x von R→R ist nicht bijektiv (surjektiv, aber nicht injektiv).
In jeder der folgenden Abbildungen wird dieselbe Formel q(x)=x2 verwendet. Ordne jede Funktion als injektiv, surjektiv, bijektiv oder weder injektiv noch surjektiv ein.
Die Funktion ist weder injektiv noch surjektiv. Sie ist nicht injektiv, weil q(2)=q(−2)=4 gilt, und nicht surjektiv, weil keine negative reelle Zahl erreicht wird.
Die Funktion ist surjektiv, aber nicht injektiv. Jeder Wert y≥0 wird mit x=y erreicht, doch Eingaben mit entgegengesetztem Vorzeichen haben weiterhin dasselbe Quadrat.
Die Funktion ist bijektiv. Die eingeschränkte Definitionsmenge entfernt die doppelte negative Eingabe, und jeder Wert aus [0,∞) wird genau einmal erreicht. Ihre Umkehrfunktion ist q−1(x)=x.
Die Formel hat sich nicht geändert. Die Einordnung ändert sich durch Definitionsmenge und Zielmenge.
