Varianz und Standardabweichung bei Einzeldaten

Streuung mit Varianz und Standardabweichung messen

Zwei gängige Streuungsmaße sind Varianz und Standardabweichung.

Die Varianz mittelt die quadrierten Abstände vom Mittelwert. Die Standardabweichung zieht daraus die Quadratwurzel und hat dadurch wieder dieselbe Einheit wie die ursprünglichen Daten.

• Eine kleine Varianz oder Standardabweichung bedeutet, dass die Beobachtungen nah am Mittelwert liegen.
• Ein großer Wert bedeutet, dass die Beobachtungen weiter vom Mittelwert abweichen.

Formeln für Varianz und Standardabweichung

Wir behandeln die Beobachtungen als vollständige Grundgesamtheit. Die Varianz hat quadrierte Einheiten. Die Quadratwurzel stellt die ursprüngliche Einheit wieder her, sodass du die Standardabweichung direkt mit einem Beobachtungswert vergleichen kannst.

Varianz

Ziehe von jedem Beobachtungswert den Mittelwert ab, quadriere jede Differenz und bilde anschließend den Mittelwert dieser Quadrate.

Die Formel lautet:

Dabei gilt:

• $\sigma^2$ = Populationsvarianz
• $x_i$ = beobachteter Wert
• $\bar{x}$ = arithmetisches Mittel
• $n$ = Anzahl der Beobachtungen
• $\sum$ = Summe aller angegebenen Terme

Standardabweichung

Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz. Im Gegensatz zur Varianz hat sie dieselbe Einheit wie die Originaldaten.

Die Formel lautet:

Diese Formeln verwenden die Symbole der Grundgesamtheit und teilen durch die vollständige Anzahl der Beobachtungen. Für eine Stichprobe ist die entsprechende Stichprobenvarianz zu verwenden.

Vergleich der Varianz in zwei Altersgruppen

Betrachte zwei Gruppen von Alterswerten. Beide haben den gleichen Mittelwert ($\bar{x}$), nämlich $16$, unterscheiden sich aber deutlich in ihrer Streuung.

• Gruppe Eins ($n=12$): $13$, $14$, $15$, $15$, $16$, $16$, $17$, $17$, $17$, $17$, $17$, $18$
• Gruppe Zwei ($n=12$): $1$, $3$, $4$, $5$, $7$, $8$, $12$, $27$, $28$, $29$, $32$, $36$

Wir berechnen die Populationsvarianz und Standardabweichung jeder Gruppe.

Berechnung für Gruppe Eins

Berechne $(x_i - \bar{x})^2$ für jeden Wert in Gruppe 1, wobei $\bar{x}=16$ gilt:

Addiere die quadrierten Differenzen $\sum(x_i - \bar{x})^2$:

Berechne die Varianz:

Berechne die Standardabweichung:

Berechnung für Gruppe Zwei

Wiederhole die Berechnung von $(x_i - \bar{x})^2$ für Gruppe 2, wieder mit $\bar{x}=16$:

Addiere die quadrierten Differenzen $\sum(x_i - \bar{x})^2$:

Berechne die Varianz:

Berechne die Standardabweichung:

Interpretation der Ergebnisse

Beide Gruppen haben denselben Mittelwert $16$, sie unterscheiden sich also nur darin, wie weit die einzelnen Werte von diesem Mittelwert entfernt liegen. Die kleinere Standardabweichung gehört zu der Gruppe, deren Werte näher beieinander stehen.

• Die Varianz von Gruppe 1 ($\sigma^2 = 2$) ist viel kleiner als die von Gruppe 2 ($\sigma^2 \approx 159{,}17$).
• Die Standardabweichung von Gruppe 1 ($\sigma \approx 1{,}41$) ist ebenfalls viel kleiner als die von Gruppe 2 ($\sigma \approx 12{,}62$).

Die Werte in Gruppe 1 liegen dicht um den Mittelwert $16$. Die Werte in Gruppe 2 streuen deutlich weiter um denselben Mittelwert $16$.

Alternative Formel für Varianz

Die folgende äquivalente Formel verwendet die beiden Summen $\sum x_i$ und $\sum x_i^2$, die ein Taschenrechner oder Programm direkt sammeln kann:

Teile zuerst die Summe der quadrierten Werte $\sum x_i^2$ durch $n$. Ziehe anschließend das Quadrat des Mittelwerts $(\bar{x})^2 = (\frac{\sum x_i}{n})^2$ ab.

Berechne mit dieser Formel die Varianz von Gruppe 1 noch einmal:

Nutze die Häufigkeit jedes Alterswerts, damit Wiederholungen mitgezählt werden. Der Wert 15 kommt zweimal vor, 16 ebenfalls zweimal und 17 fünfmal.

Setze bei $n=12$ beide Summen ein.

Die Varianz beträgt wieder $2$ Quadratjahre, wie bei der Berechnung über quadrierte Differenzen. Die Standardabweichung hat die Einheit Jahre.