Varianz und Standardabweichung bei Einzeldaten

Die Varianz mittelt die quadrierten Abstände vom Mittelwert. Die Standardabweichung zieht daraus die Quadratwurzel und hat dadurch wieder dieselbe Einheit wie die ursprünglichen Daten.

• Eine kleine Varianz oder Standardabweichung bedeutet, dass die Beobachtungen nah am Mittelwert liegen.
• Ein großer Wert bedeutet, dass die Beobachtungen weiter vom Mittelwert abweichen.

Formeln für Varianz und Standardabweichung

1. Varianz ($\sigma^2$)

   Ziehe von jedem Beobachtungswert den Mittelwert ab, quadriere jede Differenz und bilde anschließend den Mittelwert dieser Quadrate.

   Die Formel lautet:

   $$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}$$

   Dabei gilt:

   • $\sigma^2$ = Populationsvarianz
   • $x_i$ = beobachteter Wert
   • $\bar{x}$ = arithmetisches Mittel

2. Standardabweichung ($\sigma$)

   Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz. Im Gegensatz zur Varianz hat sie dieselbe Einheit wie die Originaldaten.

   Die Formel lautet:

   $$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}}$$

Diese Formeln verwenden die Symbole der Grundgesamtheit und teilen durch die vollständige Anzahl der Beobachtungen. Für eine Stichprobe ist die entsprechende Stichprobenvarianz zu verwenden.

Vergleich der Varianz in zwei Altersgruppen

Betrachte zwei Gruppen von Alterswerten. Beide haben den gleichen Mittelwert ($\bar{x}$), nämlich $16$, unterscheiden sich aber deutlich in ihrer Streuung.

• Gruppe Eins ($n=12$): $13, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 17, 18$
• Gruppe Zwei ($n=12$): $1, 3, 4, 5, 7, 8, 12, 27, 28, 29, 32, 36$

Wir berechnen die Populationsvarianz und Standardabweichung jeder Gruppe.

Berechnung für Gruppe Eins

Berechne $(x_i - \bar{x})^2$ für jeden Wert in Gruppe $1$, wobei $\bar{x}=16$ gilt:

• $(13-16)^2 = (-3)^2 = 9$
• $(14-16)^2 = (-2)^2 = 4$
• $(15-16)^2 = (-1)^2 = 1$ ($2 \text{ Werte}$)
• $(16-16)^2 = (0)^2 = 0$ ($2 \text{ Werte}$)
• $(17-16)^2 = (1)^2 = 1$ ($5 \text{ Werte}$)
• $(18-16)^2 = (2)^2 = 4$

Addiere die quadrierten Differenzen $\sum(x_i - \bar{x})^2$:

Berechne die Varianz:

Berechne die Standardabweichung:

Berechnung für Gruppe Zwei

Wiederhole die Berechnung von $(x_i - \bar{x})^2$ für Gruppe $2$, wieder mit $\bar{x}=16$:

• $(1-16)^2 = (-15)^2 = 225$
• $(3-16)^2 = (-13)^2 = 169$
• $(4-16)^2 = (-12)^2 = 144$
• $(5-16)^2 = (-11)^2 = 121$
• $(7-16)^2 = (-9)^2 = 81$
• $(8-16)^2 = (-8)^2 = 64$
• $(12-16)^2 = (-4)^2 = 16$
• $(27-16)^2 = (11)^2 = 121$
• $(28-16)^2 = (12)^2 = 144$
• $(29-16)^2 = (13)^2 = 169$
• $(32-16)^2 = (16)^2 = 256$
• $(36-16)^2 = (20)^2 = 400$

Addiere die quadrierten Differenzen $\sum(x_i - \bar{x})^2$:

Berechne die Varianz:

Berechne die Standardabweichung:

Interpretation der Ergebnisse

• Die Varianz von Gruppe $1$ ($\sigma^2 = 2$) ist viel kleiner als die von Gruppe $2$ ($\sigma^2 \approx 159{,}17$).
• Die Standardabweichung von Gruppe $1$ ($\sigma \approx 1{,}41$) ist ebenfalls viel kleiner als die von Gruppe $2$ ($\sigma \approx 12{,}62$).

Die Werte in Gruppe $1$ liegen dicht um den Mittelwert $16$. Die Werte in Gruppe $2$ streuen deutlich weiter um denselben Mittelwert $16$.

Alternative Formel für Varianz

Eine äquivalente Rechenformel kann für einen Taschenrechner oder Computer praktisch sein:

Teile zuerst die Summe der quadrierten Werte $\sum x_i^2$ durch $n$. Ziehe anschließend das Quadrat des Mittelwerts $(\bar{x})^2 = (\frac{\sum x_i}{n})^2$ ab.

Berechne mit dieser Formel die Varianz von Gruppe $1$ noch einmal:

1. Berechne $\sum x_i^2$ für Gruppe $1$:

   $$13^2 + 14^2 + 15^2 + 15^2 + 16^2 + 16^2 + 17^2 + 17^2 + 17^2 + 17^2 + 17^2 + 18^2$$

   $$= 169 + 196 + 225 + 225 + 256 + 256 + 289 + 289 + 289 + 289 + 289 + 324 = 3096$$

2. Berechne $\sum x_i$ für Gruppe $1$:

   $$13 + 14 + 15 + 15 + 16 + 16 + 17 + 17 + 17 + 17 + 17 + 18$$

3. Setze die Werte in die alternative Formel ein:

   $$\sigma^2 = \frac{3096}{12} - \left( \frac{192}{12} \right)^2$$

Das Ergebnis stimmt genau mit der ersten Methode überein: $\sigma^2 = 2$.

Wir kennen auch $n=12$.