Kreis und Kreisbogen

Kreis

Ein Kreis ist die Menge aller Punkte einer Ebene, die von einem Punkt den gleichen festen Abstand haben. Dieser Punkt ist der $Kreismittelpunkt$ , der feste Abstand ist der $Radius$ .

Liegt der Mittelpunkt bei $O(a,b)$ und beträgt der Radius $r > 0$ , folgt aus der Abstandsformel die Kreisgleichung:

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

Bestandteile eines Kreises

Das folgende Diagramm ordnet Mittelpunkt, Radius, Durchmesser und Sehne ein:

Bestandteile eines Kreises

Mittelpunkt, Radius, Durchmesser und Sehne in einem Kreis.

Diese vier Bestandteile sollten zuerst erkannt werden:

$Mittelpunkt$ ( $O$ ): fester Bezugspunkt für jeden Radius
$Radius$ ( $r$ ): Strecke vom Mittelpunkt zu einem Punkt auf dem Kreis
$Durchmesser$ ( $d$ ): Sehne durch den Mittelpunkt, daher $d = 2r$
$Sehne$ : Strecke zwischen zwei Punkten auf dem Kreis

Ein Kreisbogen ist $ein Teil des Kreisumfangs$ , der durch zwei Punkte auf dem Kreis begrenzt wird. Ein Bogen wird mit einem gebogenen Symbol über den Buchstaben gekennzeichnet, zum Beispiel $\overset{\frown}{AB}$ .

Die Bogenlänge hängt von $Radius und Mittelpunktswinkel$ ab. Ein Bogen besitzt ein Winkelmaß in Grad und eine Länge, die in Längeneinheiten angegeben wird.

Arten von Bögen

Kleiner und großer Bogen

Visualisierung des Unterschieds zwischen kleinem und großem Kreisbogen.

Bogenart	Anteil am Umfang	Beispiel für das Winkelmaß
$Kleiner Bogen$	Weniger als die Hälfte	$90^\circ/360^\circ=1/4$
$Großer Bogen$	Mehr als die Hälfte	$270^\circ/360^\circ=3/4$
$Halbkreis$	Genau die Hälfte	$180^\circ/360^\circ=1/2$

Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel

Ein Mittelpunktswinkel hat seinen Scheitel im Kreismittelpunkt, ein Umfangswinkel auf dem Kreis. Wenn beide über $demselben Bogen$ liegen, ist der Mittelpunktswinkel doppelt so groß wie der Umfangswinkel.

Mittelpunktswinkel

Ein Mittelpunktswinkel hat seinen Scheitelpunkt im Kreismittelpunkt. Seine beiden Schenkel sind Radien.

Mittelpunktswinkel

\angle AOB

Zwei Radien bilden einen Winkel mit Scheitelpunkt im Kreismittelpunkt.

Mittelpunktswinkel und zugehöriger Bogen haben $dasselbe Winkelmaß$ . Ohne den Radius bestimmt dieses Maß aber noch keine Länge. Die folgenden zwei Kreise haben denselben Winkel, jedoch unterschiedliche Bogenlängen.

Radius	Mittelpunktswinkel	Bogenlänge
$3\text{ cm}$	$60^\circ$	$\frac{60}{360}(2\pi)(3)=\pi\text{ cm}$
$6\text{ cm}$	$60^\circ$	$\frac{60}{360}(2\pi)(6)=2\pi\text{ cm}$

Umfangswinkel

Ein Umfangswinkel, auch Peripheriewinkel genannt, hat seinen $Scheitelpunkt auf dem Kreis$ . Seine beiden Schenkel sind Sehnen.

Umfangswinkel

\angle ACB

Der Scheitelpunkt liegt auf der Kreislinie, die Schenkel sind Sehnen.

Zusammenhang zwischen Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel

\begin{aligned} &\text{Umfangswinkel} \\ &= \frac{1}{2} \times \text{Mittelpunktswinkel} \end{aligned}

Wenn ein Mittelpunktswinkel und ein Umfangswinkel über demselben Bogen liegen, ist der Umfangswinkel halb so groß wie der Mittelpunktswinkel.

$Beispielanwendung$ :

Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel

Wenn

\angle AOB = 80^\circ

, dann

\angle ACB = 40^\circ

Bogenlänge und Sektorfläche

Bogen und Sektor nehmen $denselben Anteil$ des ganzen Kreises ein. Dieser gemeinsame Anteil ist das Verhältnis des Mittelpunktswinkels zu $360^\circ$ , sodass dieses eine Verhältnis sowohl die Bogenlänge als auch die Sektorfläche festlegt.

Bogenlänge

Ein Bogen umfasst denselben $Anteil des Kreisumfangs$ wie sein Mittelpunktswinkel von einer vollen Drehung. Für einen Mittelpunktswinkel von $\alpha$ Grad gilt:

\text{Bogenlänge} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi r

Dabei gilt:

$l$ = Bogenlänge
$\alpha$ = Maß des Mittelpunktswinkels in Grad
$r$ = Kreisradius

Sektorfläche

Ein Kreissektor ist die von $zwei Radien$ und dem dazwischenliegenden Bogen begrenzte Fläche. Sein Flächenanteil entspricht dem Anteil des Mittelpunktswinkels an einer vollen Drehung.

\text{Sektorfläche} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times \pi r^2

Die Abbildung zeigt die beiden Radien, den zugehörigen Bogen und den von ihnen eingeschlossenen Sektor.

Kreissektor

Von zwei Radien und einem Bogen begrenzter Bereich.

Berechnung der Bogenlänge und der Sektorfläche

Ein Kreis hat den Radius $14 \text{ cm}$ . Der zugehörige Mittelpunktswinkel beträgt $90^\circ$ . Berechne für diesen Kreis die Bogenlänge und die Sektorfläche. Beide Ergebnisse folgen aus dem Anteil $90/360$ , den der Winkel am ganzen Kreis einnimmt.

Bogenlänge
Sektorfläche

$Lösung$ :

Gegeben: $r = 14 \text{ cm}$ , $\alpha = 90^\circ$

Bogenlänge:
$l = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi r$
Sektorfläche:
$L = \frac{\alpha}{360^\circ} \times \pi r^2$

Übungsaufgaben

Die Aufgaben verbinden Mittelpunktswinkel, Umfangswinkel und Bogenmaße. Entscheide vor dem Einsetzen, $welche Beziehung$ sie verknüpft.

Ein Kreis hat den Durchmesser $20 \text{ cm}$ . Ein Umfangswinkel über einem Bogen misst $30^\circ$ . Bestimme den Mittelpunktswinkel über demselben Bogen.
In einem Kreis mit Mittelpunkt $O$ und Radius $21 \text{ cm}$ gehört zum Bogen $AB$ der Mittelpunktswinkel $120^\circ$ . Berechne die Länge des Bogens $AB$ und die Fläche des Sektors $AOB$ .
Zwei Umfangswinkel stehen über demselben Bogen. Einer misst $45^\circ$ . Wie groß ist der andere?

Ausführliche Lösungen

$Lösung 1$

Der Durchmesser wird für diese Aufgabe nicht benötigt. Entscheidend ist, dass beide Winkel über $demselben Bogen$ liegen. Der Mittelpunktswinkel ist doppelt so groß wie der Umfangswinkel:

\begin{aligned} \text{Mittelpunktswinkel} &=2(30^\circ) \\ &=60^\circ \end{aligned}

Der Mittelpunktswinkel beträgt also $60^\circ$ .

$Lösung 2$

Der Winkel $120^\circ$ entspricht einem Drittel der vollen Drehung, denn $\frac{120^\circ}{360^\circ}=\frac{1}{3}$ . Dieser Anteil wird zuerst auf den Umfang und danach auf die Kreisfläche angewendet.

\begin{aligned} l &=\frac{120^\circ}{360^\circ}(2\pi)(21) \\ &=14\pi\text{ cm} \\ &\approx43{,}98\text{ cm} \end{aligned}

Damit beträgt die Bogenlänge $14\pi\text{ cm}$ und die Sektorfläche $147\pi\text{ cm}^2$ .

$Lösung 3$

Umfangswinkel über demselben Bogen sind gleich groß. Da der erste Winkel $45^\circ$ misst, beträgt auch der zweite $45^\circ$ .

Kreis

Ein Kreis ist die Menge aller Punkte einer Ebene, die von einem Punkt den gleichen festen Abstand haben. Dieser Punkt ist der $Kreismittelpunkt$ , der feste Abstand ist der $Radius$ .

Liegt der Mittelpunkt bei $O(a,b)$ und beträgt der Radius $r > 0$ , folgt aus der Abstandsformel die Kreisgleichung:

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

Bestandteile eines Kreises

Das folgende Diagramm ordnet Mittelpunkt, Radius, Durchmesser und Sehne ein:

Bestandteile eines Kreises

Mittelpunkt, Radius, Durchmesser und Sehne in einem Kreis.

Diese vier Bestandteile sollten zuerst erkannt werden:

$Mittelpunkt$ ( $O$ ): fester Bezugspunkt für jeden Radius
$Radius$ ( $r$ ): Strecke vom Mittelpunkt zu einem Punkt auf dem Kreis
$Durchmesser$ ( $d$ ): Sehne durch den Mittelpunkt, daher $d = 2r$
$Sehne$ : Strecke zwischen zwei Punkten auf dem Kreis

Kreisbögen

Die Bogenlänge hängt von $Radius und Mittelpunktswinkel$ ab. Ein Bogen besitzt ein Winkelmaß in Grad und eine Länge, die in Längeneinheiten angegeben wird.

Arten von Bögen

Kleiner und großer Bogen

Visualisierung des Unterschieds zwischen kleinem und großem Kreisbogen.

Bogenart	Anteil am Umfang	Beispiel für das Winkelmaß
$Kleiner Bogen$	Weniger als die Hälfte	$90^\circ/360^\circ=1/4$
$Großer Bogen$	Mehr als die Hälfte	$270^\circ/360^\circ=3/4$
$Halbkreis$	Genau die Hälfte	$180^\circ/360^\circ=1/2$

Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel

Mittelpunktswinkel

Ein Mittelpunktswinkel hat seinen Scheitelpunkt im Kreismittelpunkt. Seine beiden Schenkel sind Radien.

Mittelpunktswinkel

\angle AOB

Zwei Radien bilden einen Winkel mit Scheitelpunkt im Kreismittelpunkt.

Radius	Mittelpunktswinkel	Bogenlänge
$3\text{ cm}$	$60^\circ$	$\frac{60}{360}(2\pi)(3)=\pi\text{ cm}$
$6\text{ cm}$	$60^\circ$	$\frac{60}{360}(2\pi)(6)=2\pi\text{ cm}$

Umfangswinkel

Ein Umfangswinkel, auch Peripheriewinkel genannt, hat seinen $Scheitelpunkt auf dem Kreis$ . Seine beiden Schenkel sind Sehnen.

Umfangswinkel

\angle ACB

Der Scheitelpunkt liegt auf der Kreislinie, die Schenkel sind Sehnen.

Zusammenhang zwischen Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel

\begin{aligned} &\text{Umfangswinkel} \\ &= \frac{1}{2} \times \text{Mittelpunktswinkel} \end{aligned}

Wenn ein Mittelpunktswinkel und ein Umfangswinkel über demselben Bogen liegen, ist der Umfangswinkel halb so groß wie der Mittelpunktswinkel.

$Beispielanwendung$ :

Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel

Wenn

\angle AOB = 80^\circ

, dann

\angle ACB = 40^\circ

Bogenlänge und Sektorfläche

Bogenlänge

Ein Bogen umfasst denselben $Anteil des Kreisumfangs$ wie sein Mittelpunktswinkel von einer vollen Drehung. Für einen Mittelpunktswinkel von $\alpha$ Grad gilt:

\text{Bogenlänge} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi r

Dabei gilt:

$l$ = Bogenlänge
$\alpha$ = Maß des Mittelpunktswinkels in Grad
$r$ = Kreisradius

Sektorfläche

Ein Kreissektor ist die von $zwei Radien$ und dem dazwischenliegenden Bogen begrenzte Fläche. Sein Flächenanteil entspricht dem Anteil des Mittelpunktswinkels an einer vollen Drehung.

\text{Sektorfläche} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times \pi r^2

Die Abbildung zeigt die beiden Radien, den zugehörigen Bogen und den von ihnen eingeschlossenen Sektor.

Kreissektor

Von zwei Radien und einem Bogen begrenzter Bereich.

Berechnung der Bogenlänge und der Sektorfläche

Bogenlänge
Sektorfläche

$Lösung$ :

Gegeben: $r = 14 \text{ cm}$ , $\alpha = 90^\circ$

Bogenlänge:
$l = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi r$
Sektorfläche:
$L = \frac{\alpha}{360^\circ} \times \pi r^2$

Übungsaufgaben

Die Aufgaben verbinden Mittelpunktswinkel, Umfangswinkel und Bogenmaße. Entscheide vor dem Einsetzen, $welche Beziehung$ sie verknüpft.

Ein Kreis hat den Durchmesser $20 \text{ cm}$ . Ein Umfangswinkel über einem Bogen misst $30^\circ$ . Bestimme den Mittelpunktswinkel über demselben Bogen.
In einem Kreis mit Mittelpunkt $O$ und Radius $21 \text{ cm}$ gehört zum Bogen $AB$ der Mittelpunktswinkel $120^\circ$ . Berechne die Länge des Bogens $AB$ und die Fläche des Sektors $AOB$ .
Zwei Umfangswinkel stehen über demselben Bogen. Einer misst $45^\circ$ . Wie groß ist der andere?

Ausführliche Lösungen

$Lösung 1$

Der Durchmesser wird für diese Aufgabe nicht benötigt. Entscheidend ist, dass beide Winkel über $demselben Bogen$ liegen. Der Mittelpunktswinkel ist doppelt so groß wie der Umfangswinkel:

\begin{aligned} \text{Mittelpunktswinkel} &=2(30^\circ) \\ &=60^\circ \end{aligned}

Der Mittelpunktswinkel beträgt also $60^\circ$ .

$Lösung 2$

\begin{aligned} l &=\frac{120^\circ}{360^\circ}(2\pi)(21) \\ &=14\pi\text{ cm} \\ &\approx43{,}98\text{ cm} \end{aligned}

Damit beträgt die Bogenlänge $14\pi\text{ cm}$ und die Sektorfläche $147\pi\text{ cm}^2$ .

$Lösung 3$

Umfangswinkel über demselben Bogen sind gleich groß. Da der erste Winkel $45^\circ$ misst, beträgt auch der zweite $45^\circ$ .