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Ein Kreis ist die Menge aller Punkte einer Ebene, die von einem Punkt den gleichen festen Abstand haben. Dieser Punkt ist der Kreismittelpunkt, der feste Abstand ist der Radius.
Liegt der Mittelpunkt bei und beträgt der Radius , folgt aus der Abstandsformel die Kreisgleichung:
Die folgende Abbildung ordnet Mittelpunkt, Radius, Durchmesser und Sehne ein:
Diese vier Bestandteile sollten zuerst erkannt werden:
Ein Kreisbogen ist ein Teil des Kreisumfangs, der durch zwei Punkte auf dem Kreis begrenzt wird. Ein Bogen wird mit einem gebogenen Symbol über den Buchstaben gekennzeichnet, zum Beispiel .
Bogenarten nach ihrer Länge:
Ein Mittelpunktswinkel hat seinen Scheitelpunkt im Kreismittelpunkt. Seine beiden Schenkel sind Radien.
Eigenschaften des Mittelpunktswinkels:
Ein Umfangswinkel, auch Peripheriewinkel genannt, hat seinen Scheitelpunkt auf dem Kreis. Seine beiden Schenkel sind Sehnen.
Wenn ein Mittelpunktswinkel und ein Umfangswinkel über demselben Bogen liegen, ist der Umfangswinkel halb so groß wie der Mittelpunktswinkel.
Beispielanwendung:
Ein Bogen umfasst denselben Anteil des Kreisumfangs wie sein Mittelpunktswinkel von einer vollen Drehung. Für einen Mittelpunktswinkel von Grad gilt:
Dabei gilt:
Ein Kreissektor ist die von zwei Radien und dem dazwischenliegenden Bogen begrenzte Fläche. Sein Flächenanteil entspricht dem Anteil des Mittelpunktswinkels an einer vollen Drehung.
Die Abbildung zeigt die beiden Radien, den zugehörigen Bogen und den von ihnen eingeschlossenen Sektor.
Ein Kreis hat den Radius . Der zugehörige Mittelpunktswinkel beträgt . Berechne:
Lösung:
Gegeben: ,
Bogenlänge:
Sektorfläche:
Ein Kreis hat den Durchmesser . Ein Umfangswinkel über einem Bogen misst . Bestimme den Mittelpunktswinkel über demselben Bogen.
In einem Kreis mit Mittelpunkt und Radius gehört zum Bogen der Mittelpunktswinkel . Berechne:
Zwei Umfangswinkel stehen über demselben Bogen. Einer misst . Wie groß ist der andere?
Der Durchmesser wird für diese Aufgabe nicht benötigt. Entscheidend ist, dass beide Winkel über demselben Bogen liegen. Der Mittelpunktswinkel ist doppelt so groß wie der Umfangswinkel:
Der Mittelpunktswinkel beträgt also .
Der Winkel entspricht einem Drittel der vollen Drehung, denn . Dieser Anteil wird zuerst auf den Umfang und danach auf die Kreisfläche angewendet.
Damit beträgt die Bogenlänge und die Sektorfläche .
Umfangswinkel über demselben Bogen sind gleich groß. Da der erste Winkel misst, beträgt auch der zweite .
