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Das folgende Diagramm ordnet Mittelpunkt, Radius, Durchmesser und Sehne ein:
Diese vier Bestandteile sollten zuerst erkannt werden:
Ein Kreisbogen ist ein Teil des Kreisumfangs, der durch zwei Punkte auf dem Kreis begrenzt wird. Ein Bogen wird mit einem gebogenen Symbol über den Buchstaben gekennzeichnet, zum Beispiel .
Die Bogenlänge hängt von Radius und Mittelpunktswinkel ab. Ein Bogen besitzt ein Winkelmaß in Grad und eine Länge, die in Längeneinheiten angegeben wird.
| Bogenart | Anteil am Umfang | Beispiel für das Winkelmaß |
|---|---|---|
| Kleiner Bogen | Weniger als die Hälfte | |
| Großer Bogen | Mehr als die Hälfte | |
| Halbkreis | Genau die Hälfte |
Ein Mittelpunktswinkel hat seinen Scheitel im Kreismittelpunkt, ein Umfangswinkel auf dem Kreis. Wenn beide über demselben Bogen liegen, ist der Mittelpunktswinkel doppelt so groß wie der Umfangswinkel.
Ein Mittelpunktswinkel hat seinen Scheitelpunkt im Kreismittelpunkt. Seine beiden Schenkel sind Radien.
Mittelpunktswinkel und zugehöriger Bogen haben dasselbe Winkelmaß. Ohne den Radius bestimmt dieses Maß aber noch keine Länge. Die folgenden zwei Kreise haben denselben Winkel, jedoch unterschiedliche Bogenlängen.
| Radius | Mittelpunktswinkel | Bogenlänge |
|---|---|---|
Ein Umfangswinkel, auch Peripheriewinkel genannt, hat seinen Scheitelpunkt auf dem Kreis. Seine beiden Schenkel sind Sehnen.
Wenn ein Mittelpunktswinkel und ein Umfangswinkel über demselben Bogen liegen, ist der Umfangswinkel halb so groß wie der Mittelpunktswinkel.
Beispielanwendung:
Bogen und Sektor nehmen denselben Anteil des ganzen Kreises ein. Dieser gemeinsame Anteil ist das Verhältnis des Mittelpunktswinkels zu , sodass dieses eine Verhältnis sowohl die Bogenlänge als auch die Sektorfläche festlegt.
Ein Bogen umfasst denselben Anteil des Kreisumfangs wie sein Mittelpunktswinkel von einer vollen Drehung. Für einen Mittelpunktswinkel von Grad gilt:
Dabei gilt:
Ein Kreissektor ist die von zwei Radien und dem dazwischenliegenden Bogen begrenzte Fläche. Sein Flächenanteil entspricht dem Anteil des Mittelpunktswinkels an einer vollen Drehung.
Die Abbildung zeigt die beiden Radien, den zugehörigen Bogen und den von ihnen eingeschlossenen Sektor.
Ein Kreis hat den Radius . Der zugehörige Mittelpunktswinkel beträgt . Berechne für diesen Kreis die Bogenlänge und die Sektorfläche. Beide Ergebnisse folgen aus dem Anteil , den der Winkel am ganzen Kreis einnimmt.
Lösung:
Gegeben: ,
Bogenlänge:
Sektorfläche:
Die Aufgaben verbinden Mittelpunktswinkel, Umfangswinkel und Bogenmaße. Entscheide vor dem Einsetzen, welche Beziehung sie verknüpft.
Ein Kreis hat den Durchmesser . Ein Umfangswinkel über einem Bogen misst . Bestimme den Mittelpunktswinkel über demselben Bogen.
In einem Kreis mit Mittelpunkt und Radius gehört zum Bogen der Mittelpunktswinkel . Berechne die Länge des Bogens und die Fläche des Sektors .
Zwei Umfangswinkel stehen über demselben Bogen. Einer misst . Wie groß ist der andere?
Lösung 1
Der Durchmesser wird für diese Aufgabe nicht benötigt. Entscheidend ist, dass beide Winkel über demselben Bogen liegen. Der Mittelpunktswinkel ist doppelt so groß wie der Umfangswinkel:
Der Mittelpunktswinkel beträgt also .
Lösung 2
Der Winkel entspricht einem Drittel der vollen Drehung, denn . Dieser Anteil wird zuerst auf den Umfang und danach auf die Kreisfläche angewendet.
Damit beträgt die Bogenlänge und die Sektorfläche .
Lösung 3
Umfangswinkel über demselben Bogen sind gleich groß. Da der erste Winkel misst, beträgt auch der zweite .
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