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Die Sehnen und überspannen gleich große Mittelpunktswinkel und sind daher gleich lang. Die Sehne überspannt einen größeren Mittelpunktswinkel und ist länger.
Im selben Kreis bestimmen Sehnenlänge und senkrechter Abstand vom Mittelpunkt einander. Wird der Abstand kleiner, wird die Sehne länger, und beide Größen lassen sich mit dem Satz des Pythagoras ineinander umrechnen.
Zwei gleich lange Sehnen haben den gleichen Abstand vom Kreismittelpunkt. Umgekehrt sind zwei Sehnen mit demselben Abstand vom Kreismittelpunkt gleich lang.
Wenn , dann ist der Abstand vom Kreismittelpunkt zur Sehne gleich dem Abstand von zur Sehne , also .
Das Lot vom Kreismittelpunkt auf eine Sehne halbiert die Sehne.
In der Abbildung gilt . Der Punkt ist der Mittelpunkt der Sehne , also ist .
Eine Sehne und ihr Mittelpunktswinkel bilden mit zwei Radien ein gleichschenkliges Dreieck. Die Formel unten entsteht, indem dieses Dreieck halbiert wird. Aus dem halben Dreieck ergibt sich die halbe Sehnenlänge als .
Um die Länge einer Sehne zu berechnen, können wir die Formel verwenden:
Dabei gilt:
Wenn der kleinere Mittelpunktswinkel von bis wächst, steigt von bis . Die Sehnenlänge wächst dadurch von bis zum Durchmesser .
Im rechtwinkligen Dreieck ist der Mittelpunktabstand die Ankathete zum halben Mittelpunktswinkel. Der Radius ist die Hypotenuse. Der Kosinus des halben Winkels liefert daher:
Ist die Sehnenlänge bekannt, verwende die halbe Sehnenlänge als eine Kathete des rechtwinkligen Dreiecks:
Wenn sich zwei Sehnen innerhalb eines Kreises schneiden, dann ist das Produkt der Segmente einer Sehne gleich dem Produkt der Segmente der anderen Sehne.
Der Kreis im Diagramm hat den Radius und den Schnittpunkt . Die horizontalen Teilstrecken sind unterschiedlich lang. Ihr Produkt entspricht aber dem Produkt der vertikalen Teilstrecken.
Umfangswinkel über derselben Sehne sind gleich groß, wenn ihre Scheitelpunkte auf derselben Seite der Sehne liegen.
In der Abbildung gilt , weil beide Scheitelpunkte auf derselben Seite der Sehne liegen und beide Winkel diese Sehne überspannen.
Das Apothem einer Sehne ist das Lot vom Kreismittelpunkt auf die Sehne. Seine Länge ist der kürzeste Abstand zwischen Mittelpunkt und Sehne.
Die Länge des Apothems kann mit der Formel berechnet werden:
Dabei gilt:
Zwei parallele Sehnen begrenzen auf den gegenüberliegenden Kreisseiten gleich lange Verbindungsbögen. Vergleiche den kleinen Bogen links mit dem kleinen Bogen rechts, nicht mit dem langen Bogen um die andere Kreisseite.
Wenn , dann ist Bogen gleich Bogen .
Die ersten vier Aufgaben nutzen Winkel, Mittelpunktabstände oder Teilstrecken, um fehlende Maße zu bestimmen. In der letzten Aufgabe beweist du die maximale Sehnenlänge mithilfe des größten möglichen Sinuswerts.
Ein Kreis hat einen Radius von . Der kleinere Mittelpunktswinkel über einer Sehne beträgt . Bestimme die Sehnenlänge und den Abstand der Sehne vom Kreismittelpunkt.
Zwei Sehnen und schneiden sich im Punkt innerhalb eines Kreises. Gegeben sind , und . Bestimme die Länge von .
In einem Kreis mit Radius gibt es eine Sehne der Länge . Berechne den Abstand dieser Sehne vom Mittelpunkt des Kreises.
Zwei parallele Sehnen in einem Kreis sind bzw. vom Mittelpunkt entfernt. Wenn der Radius des Kreises beträgt, bestimme die Längen beider Sehnen.
Beweise, dass die längste Sehne in einem Kreis der Durchmesser ist.
Lösung 1: Sehnenlänge und Abstand vom Kreismittelpunkt berechnen
Gegeben: , rad
Lösung 2: Sehnensatz
Gegeben: , ,
Lösung 3: Abstand der Sehne vom Kreismittelpunkt berechnen
Gegeben: ,
Lösung 4: Parallele Sehnen
Gegeben: , ,
Für die erste Sehne:
Für die zweite Sehne:
Lösung 5: Beweis, dass der Durchmesser die längste Sehne ist
Für jede Sehne sei der kleinere Mittelpunktswinkel, sodass gilt:
Der Maximalwert von wird erreicht, wenn , also .
Bei verläuft die Sehne durch den Mittelpunkt des Kreises (Durchmesser) mit der Länge:
Daher ist der Durchmesser die längste Sehne.
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