Definition einer Kreissehne
Eine Sehne ist eine Strecke, die zwei Punkte auf einem Kreis verbindet. Im Gegensatz zu einem Durchmesser muss sie nicht durch den Kreismittelpunkt verlaufen. Ihre beiden Endpunkte liegen jedoch immer auf dem Kreis.
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Eine Sehne ist eine Strecke, die zwei Punkte auf einem Kreis verbindet. Im Gegensatz zu einem Durchmesser muss sie nicht durch den Kreismittelpunkt verlaufen. Ihre beiden Endpunkte liegen jedoch immer auf dem Kreis.
In der Abbildung oben sind , und Sehnen mit unterschiedlichen Längen.
Zwei gleich lange Sehnen haben den gleichen Abstand vom Kreismittelpunkt.
Wenn , dann ist der Abstand vom Kreismittelpunkt zur Sehne gleich dem Abstand von zur Sehne , also .
Das Lot vom Kreismittelpunkt auf eine Sehne halbiert die Sehne.
In der Abbildung gilt . Der Punkt ist der Mittelpunkt der Sehne , also ist .
Um die Länge einer Sehne zu berechnen, können wir die Formel verwenden:
Dabei gilt:
Der Zusammenhang zwischen Mittelpunktswinkel und Sehnenlänge lässt sich wie folgt visualisieren:
Der Abstand einer Sehne vom Mittelpunkt des Kreises kann mit der Formel berechnet werden:
Oder wenn die Sehnenlänge bekannt ist:
Wenn sich zwei Sehnen innerhalb eines Kreises schneiden, dann ist das Produkt der Segmente einer Sehne gleich dem Produkt der Segmente der anderen Sehne.
In der Abbildung oben gilt:
Umfangswinkel über derselben Sehne sind gleich groß, wenn ihre Scheitelpunkte auf derselben Seite der Sehne liegen.
In der Abbildung gilt , weil beide Scheitelpunkte auf derselben Seite der Sehne liegen und beide Winkel diese Sehne überspannen.
Das Apothem einer Sehne ist das Lot vom Kreismittelpunkt auf die Sehne. Seine Länge ist der kürzeste Abstand zwischen Mittelpunkt und Sehne.
Die Länge des Apothems kann mit der Formel berechnet werden:
Dabei gilt:
Zwei parallele Sehnen in einem Kreis haben besondere Eigenschaften.
Wenn , dann ist Bogen gleich Bogen .
Ein Kreis hat einen Radius von . Der kleinere Mittelpunktswinkel über einer Sehne beträgt . Bestimmen Sie:
Zwei Sehnen und schneiden sich im Punkt innerhalb eines Kreises. Wenn , und , ermitteln Sie die Länge von .
In einem Kreis mit Radius gibt es eine Sehne der Länge . Berechnen Sie den Abstand dieser Sehne vom Mittelpunkt des Kreises.
Zwei parallele Sehnen in einem Kreis sind bzw. vom Mittelpunkt entfernt. Wenn der Radius des Kreises beträgt, bestimmen Sie die Längen beider Sehnen.
Beweisen Sie, dass die längste Sehne in einem Kreis der Durchmesser ist.
Sehnenlänge und Abstand vom Kreismittelpunkt berechnen
Gegeben: , rad
Sehnensatz
Gegeben: , ,
Abstand der Sehne vom Kreismittelpunkt berechnen
Gegeben: ,
Parallele Sehnen
Gegeben: , ,
Beweis, dass der Durchmesser die längste Sehne ist
Für jede Sehne sei der kleinere Mittelpunktswinkel, sodass gilt:
Für die erste Sehne:
Für die zweite Sehne:
Der Maximalwert von wird erreicht, wenn , also .
Bei verläuft die Sehne durch den Mittelpunkt des Kreises (Durchmesser) mit der Länge:
Daher ist der Durchmesser die längste Sehne.