Den Kreis in genau einem Punkt berühren
Eine Tangente schneidet einen Kreis in genau einem Punkt. Dieser Schnittpunkt heißt Berührpunkt.
Kreistangente
Eine Tangente berührt den Kreis in genau einem Punkt.
Nakafa
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Eine Tangente steht im Berührpunkt senkrecht zum Radius.
Wenn Radius und Tangente beide eine definierte Steigung besitzen, ist das Produkt ihrer Steigungen . Bei einer vertikalen Geraden verwendest du die Punktform, ohne durch Koordinaten zu teilen. Für alle folgenden Formeln gilt .
Liegt der Punkt auf dem Kreis , dann lautet die Gleichung der Tangente an diesem Punkt:
Liegt der Mittelpunkt im Ursprung, steht der Radiusvektor senkrecht zur Geradenrichtung . Ihr Skalarprodukt ist null. Nutze außerdem .
Der Kreis in dieser Formel steht in der Standardform für einen Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung.
Für einen Kreis mit Mittelpunkt :
Die Gleichung der Tangente an den Kreis mit der Steigung lautet:
Schreibe die Gerade als . Sie ist eine Tangente, wenn der Abstand vom Mittelpunkt zur Geraden dem Radius entspricht.
Für einen Kreis mit Mittelpunkt :
Von einem Punkt außerhalb des Kreises können zwei Tangenten an den Kreis gezogen werden.
Wenn ein Punkt außerhalb des Kreises mit Mittelpunkt und Radius ist, dann beträgt die Länge der Tangentenstrecke von bis zum Berührpunkt:
Im rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse und . Der Satz des Pythagoras liefert daher:
Zwei Kreise können gemeinsame Tangenten haben, die zwischen ihnen verlaufen oder außen vorbeigehen. Ob eine gemeinsame Tangente überhaupt existiert, hängt davon ab, wie weit die Kreise auseinanderliegen.
Äußere gemeinsame Tangenten berühren beide Kreise, ohne die Strecke zwischen ihren Mittelpunkten zu schneiden.
Länge der äußeren gemeinsamen Tangente:
In dieser Formel ist der Abstand zwischen den beiden Kreismittelpunkten.
Das äußere Tangentenstück hat nur für eine positive Länge. Für berühren sich die Kreise von innen. Die Strecke zwischen den Berührpunkten hat dann die Länge null. Bei und gleichen Radien sind die Kreise dagegen identisch.
Innere gemeinsame Tangenten sind Geraden, die beide Kreise berühren und die Verbindungsstrecke der beiden Mittelpunkte schneiden.
Länge der inneren gemeinsamen Tangente:
Das innere Tangentenstück hat nur für eine positive Länge. Bei Gleichheit berühren sich die Kreise von außen und das Stück zwischen den beiden Berührpunkten hat die Länge null.
Die Beispiele unten stellen Tangentengleichungen aus unterschiedlichen Vorgaben auf. Arbeite die Substitution in jedem Fall durch. Prüfe am Ende jedes Beispiels, ob der Berührpunkt tatsächlich auf der Geraden und auf dem Kreis liegt.
Bestimme die Gleichung der Tangente an den Kreis am Punkt .
Lösung:
Da der Punkt auf dem Kreis liegt (nachweisbar: ), lautet die Gleichung der Tangente:
Bestimme die Gleichung der Tangente an den Kreis , die parallel zur Geraden verläuft.
Lösung:
Die Steigung der Geraden beträgt .
Tangentengleichung mit Steigung :
Daher lauten die Gleichungen der Tangenten:
Bestimme die Länge der Tangente vom Punkt zum Kreis .
Lösung:
Kreismittelpunkt und Radius .
Unterscheide Aufgaben zu Geradengleichungen von Aufgaben zu Streckenlängen. Für Gleichungen nutzt du den gegebenen Punkt oder die Steigung. Für Längen bestimmst du das passende rechtwinklige Dreieck und den jeweiligen Mittelpunktabstand.
Bestimme die Gleichung der Tangente an den Kreis im Punkt !
Bestimme die Gleichungen beider Tangenten an den Kreis , die senkrecht zur Geraden stehen!
Vom Punkt werden Tangenten zum Kreis gezogen. Bestimme die Länge jeder Strecke von zum Berührpunkt und die Koordinaten beider Berührpunkte.
Zwei Kreise haben die Mittelpunkte und sowie die Radien und . Bestimme die Länge des äußeren gemeinsamen Tangentenabschnitts!
Bestimme die Gleichung der Tangente an den Kreis , die durch den Punkt verläuft!
Lösung 1: Tangentengleichung an einem Punkt auf dem Kreis
Punkt auf Kreis überprüfen:
Tangentengleichung:
Lösung 2: Tangente senkrecht zu einer vorgegebenen Geraden
Die Steigung der Linie beträgt .
Da die Geraden senkrecht zueinander stehen, gilt .
Tangentengleichung:
Daher:
Lösung 3: Tangente von einem äußeren Punkt
Länge der Tangente:
Für die Berührpunkte sei einer der beiden Punkte. Weil der Radius senkrecht auf der Tangente steht, ist das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren null:
Damit sind die Berührpunkte und .
Lösung 4: Äußere gemeinsame Tangente
Lösung 5: Tangente durch einen Punkt auf dem Kreis
Ergänze die Quadrate, um Mittelpunkt und Radius abzulesen:
Mittelpunkt , Radius
Prüfe, ob der Punkt auf dem Kreis liegt:
Die linke Seite ist . Der Punkt liegt also auf dem Kreis, und die Tangentengleichung lautet:
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