Kreis und Tangente

Definition der Kreistangente

Eine Kreistangente ist eine Gerade, die den Kreis in genau einem Punkt berührt. Dieser Punkt heißt Berührpunkt.

Kreis

Kreis und Tangente

Definition der Kreistangente

Eine Kreistangente ist eine Gerade, die den Kreis in genau einem Punkt berührt. Dieser Punkt heißt Berührpunkt.

Kreistangente

Eine Tangente berührt den Kreis in genau einem Punkt.

Wichtige Eigenschaft: Eine Tangente verläuft im Tangentenpunkt immer senkrecht zum Radius des Kreises.

Gleichung der Kreistangente

Tangente durch einen Punkt auf dem Kreis

Liegt der Punkt $(x_1, y_1)$ auf dem Kreis $x^2 + y^2 = r^2$ , dann lautet die Gleichung der Tangente an diesem Punkt:

x_1 \cdot x + y_1 \cdot y = r^2

Für einen Kreis mit Mittelpunkt $(a, b)$ :

(x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = r^2

Tangente mit gegebener Steigung

Die Gleichung der Tangente an den Kreis $x^2 + y^2 = r^2$ mit der Steigung $m$ lautet:

y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2}

Für einen Kreis mit Mittelpunkt $(a, b)$ :

y - b = m(x - a) \pm r\sqrt{1 + m^2}

Tangenten von einem Punkt außerhalb des Kreises

Von einem Punkt außerhalb des Kreises können zwei Tangenten an den Kreis gezogen werden.

Zwei Tangenten von einem äußeren Punkt

Vom Punkt

P

außerhalb des Kreises lassen sich zwei Tangenten an den Kreis zeichnen.

Länge der Tangente

Wenn $P(x_1, y_1)$ ein Punkt außerhalb des Kreises mit Mittelpunkt $O(a, b)$ und Radius $r$ ist, dann beträgt die Länge der Tangentenstrecke von $P$ bis zum Berührpunkt:

PT = \sqrt{(x_1 - a)^2 + (y_1 - b)^2 - r^2}

Gemeinsame Tangenten zweier Kreise

Äußere gemeinsame Tangenten

Äußere gemeinsame Tangenten sind Geraden, die beide Kreise berühren und die Verbindungslinie der beiden Kreismittelpunkte nicht schneiden.

Äußere gemeinsame Tangenten

Geraden, die beide Kreise von derselben Seite berühren.

Länge der äußeren gemeinsamen Tangente:

l = \sqrt{d^2 - (r_1 - r_2)^2}

wobei $d$ der Abstand zwischen den beiden Kreismittelpunkten ist.

Das äußere Tangentenstück hat nur für $d>|r_1-r_2|$ eine positive Länge. Bei Gleichheit berühren sich die Kreise von innen und das Stück zwischen den beiden Berührpunkten schrumpft auf die Länge null.

Innere gemeinsame Tangenten

Innere gemeinsame Tangenten sind Geraden, die beide Kreise berühren und die Verbindungslinie der beiden Kreismittelpunkte schneiden.

Innere gemeinsame Tangenten

Geraden, die beide Kreise von gegenüberliegenden Seiten berühren.

Länge der inneren gemeinsamen Tangente:

l = \sqrt{d^2 - (r_1 + r_2)^2}

Das innere Tangentenstück hat nur für $d>r_1+r_2$ eine positive Länge. Bei Gleichheit berühren sich die Kreise von außen und das Stück zwischen den beiden Berührpunkten hat die Länge null.

Tangentengleichungen bestimmen

Bestimmen der Tangente durch einen Punkt auf dem Kreis

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Kreis $x^2 + y^2 = 25$ am Punkt $(3, 4)$ .

Lösung:

Da der Punkt $(3, 4)$ auf dem Kreis liegt (nachweisbar: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ ), lautet die Gleichung der Tangente:

x_1 \cdot x + y_1 \cdot y = r^2

Tangente mit vorgegebener Steigung bestimmen

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Kreis $x^2 + y^2 = 16$ , die parallel zur Geraden $3x - 4y + 5 = 0$ verläuft.

Lösung:

Die Steigung der Geraden $3x - 4y + 5 = 0$ beträgt $m = \frac{3}{4}$ .

Tangentengleichung mit Steigung $m = \frac{3}{4}$ :

y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2}

Daher lauten die Gleichungen der Tangenten:

$y = \frac{3}{4}x + 5$ oder $3x - 4y + 20 = 0$
$y = \frac{3}{4}x - 5$ oder $3x - 4y - 20 = 0$

Tangentenlänge von einem äußeren Punkt berechnen

Bestimmen Sie die Länge der Tangente vom Punkt $P(7, 1)$ zum Kreis $x^2 + y^2 = 25$ .

Lösung:

Kreismittelpunkt $O(0, 0)$ und Radius $r = 5$ .

PT = \sqrt{(x_1 - a)^2 + (y_1 - b)^2 - r^2}

Übungsaufgaben

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Kreis $x^2 + y^2 = 36$ im Punkt $(-3, 3\sqrt{3})$ !
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Kreis $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$ , die senkrecht zur Geraden $2x + y - 5 = 0$ steht!
Vom Punkt $A(10, 0)$ werden Tangenten zum Kreis $x^2 + y^2 = 36$ gezogen. Bestimmen Sie:
- Länge der Tangente
- Koordinaten von Tangentenpunkten
Zwei Kreise haben die Mittelpunkte $O_1(-4, 0)$ und $O_2(4, 0)$ sowie die Radien $2$ und . Bestimmen Sie die Länge der äußeren gemeinsamen Tangente!
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Kreis $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ , die durch den Punkt verläuft!

Ausführliche Lösungen

Tangentengleichung an einem Punkt auf dem Kreis

Punkt auf Kreis überprüfen:

$(-3)^2 + (3\sqrt{3})^2 = 9 + 27 = 36 \space \checkmark$

Tangentengleichung:
$x_1 \cdot x + y_1 \cdot y = r^2$
Tangente senkrecht zu einer vorgegebenen Geraden

Die Steigung der Linie $2x + y - 5 = 0$ beträgt $m_1 = -2$ .
Tangente von einem äußeren Punkt
- Länge der Tangente:
  $AT = \sqrt{10^2 + 0^2 - 36} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$
Äußere gemeinsame Tangente
$d = \sqrt{(4-(-4))^2 + (0-0)^2} = 8$
Tangente durch einen Punkt auf dem Kreis

Kreis: $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$

Mittelpunkt , Radius

Quellen

3

(8, -2)

-3x + 3\sqrt{3}y = 36

-x + \sqrt{3}y = 12

x - \sqrt{3}y + 12 = 0

Da die Geraden senkrecht zueinander stehen, gilt $m_2 = \frac{1}{2}$ .

Tangentengleichung:

y - b = m(x - a) \pm r\sqrt{1 + m^2}

Daher: $x - 2y - 8 \pm 5\sqrt{5} = 0$

Für die Berührpunkte sei $T(x,y)$ einer der beiden Punkte. Weil der Radius $OT$ senkrecht auf der Tangente $AT$ steht, ist das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren null:

(A-T)\cdot T=0

Damit sind die Berührpunkte $T_1\left(\frac{18}{5},\frac{24}{5}\right)$ und .

l = \sqrt{d^2 - (r_2 - r_1)^2} = \sqrt{64 - 1} = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}

(3, -2)

r = 5

Prüfe, ob der Punkt $(8, -2)$ auf dem Kreis liegt:

(8-3)^2 + (-2+2)^2 = 25 + 0 = 25

Die linke Seite ist $r^2=25$ . Der Punkt liegt also auf dem Kreis, und die Tangentengleichung lautet:

(8-3)(x-3) + (-2+2)(y+2) = 25

T_2\left(\frac{18}{5},-\frac{24}{5}\right)