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In der Abbildung oben:
Ein Umfangswinkel, auch Peripheriewinkel genannt, wird von zwei Sehnen gebildet und hat seinen Scheitelpunkt auf dem Kreis. Seine Schenkel verbinden den Scheitelpunkt mit zwei weiteren Punkten auf dem Kreis.
In der Abbildung oben:
Stehen beide Winkel über demselben Bogen, ist der Mittelpunktswinkel doppelt so groß wie der Umfangswinkel. Das folgende Diagramm zeigt diesen Zusammenhang.
Im Diagramm zum Zusammenhang beträgt der Mittelpunktswinkel . Für den Umfangswinkel über demselben kleinen Bogen folgt:
Zeichne den Durchmesser durch und den Mittelpunkt . Die beiden entstehenden gleichschenkligen Dreiecke verbinden den Umfangswinkel mit dem Mittelpunktswinkel.
Beweisschritte:
Diese Konstruktion beweist die dargestellte Lage, in der auf dem gegenüberliegenden Bogen liegt. Andere Lagen lassen sich in dieselben Fälle mit gleichschenkligen Dreiecken zerlegen. Entscheidend ist immer, dass die verglichenen Winkel über demselben Bogen liegen.
Aus dem Zusammenhang ergeben sich zwei nützliche Folgerungen. Ein Durchmesser bestimmt einen gestreckten Mittelpunktswinkel. Bleibt der zugehörige Bogen gleich, bleibt auch sein Mittelpunktswinkel gleich, selbst wenn du den Scheitelpunkt des Umfangswinkels auf dem Kreis verschiebst.
Jeder Umfangswinkel über einem Durchmesser misst und ist damit ein rechter Winkel.
Ein Halbkreis bestimmt einen gestreckten Mittelpunktswinkel, also:
, denn beide Winkel stehen über demselben Bogen . Mit anderen Worten: Verschiebst du nach entlang desselben Bogens, bleibt das Maß gleich.
Hier liegen beide Scheitelpunkte auf demselben großen Bogen. Beide Winkel stehen über dem kleinen Bogen mit Mittelpunktswinkel .
Gegeben ist der Mittelpunktswinkel . Gesucht ist der Umfangswinkel über demselben Bogen.
Lösung:
Gegeben ist der Umfangswinkel . Gesucht ist der Mittelpunktswinkel über demselben Bogen.
Lösung:
Bestimme zuerst Scheitelpunkt und zugehörigen Bogen. Halbiere oder verdopple bei einem Paar aus Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel. Nutze in den letzten beiden Aufgaben die Eigenschaften des Durchmessers und gleicher Bögen.
Wenn der Mittelpunktswinkel eines Kreises beträgt, wie groß ist der Umfangswinkel über demselben Bogen?
Der Umfangswinkel beträgt . Bestimme den zugehörigen Mittelpunktswinkel über demselben Bogen.
In einem Kreis steht der Umfangswinkel über einem Durchmesser. Wie groß ist ?
Zwei Umfangswinkel stehen über demselben Bogen. Einer misst . Wie groß ist der andere?
Lösung 1
Der Umfangswinkel steht über demselben Bogen wie der Mittelpunktswinkel. Deshalb ist er halb so groß: .
Lösung 2
Der Mittelpunktswinkel und liegen über dem Bogen . Der Mittelpunktswinkel ist doppelt so groß:
Lösung 3
Ein Durchmesser begrenzt einen Halbkreis mit dem Mittelpunktswinkel . Der Umfangswinkel ist halb so groß, daher gilt .
Lösung 4
Umfangswinkel über demselben Bogen sind gleich groß. Der andere Winkel misst ebenfalls .
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