Definition des Mittelpunktswinkels
Ein Mittelpunktswinkel wird von zwei Radien gebildet und hat seinen Scheitelpunkt im Kreismittelpunkt. Seine Schenkel verbinden den Mittelpunkt mit zwei Punkten auf dem Kreis.
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Ein Mittelpunktswinkel wird von zwei Radien gebildet und hat seinen Scheitelpunkt im Kreismittelpunkt. Seine Schenkel verbinden den Mittelpunkt mit zwei Punkten auf dem Kreis.
In der Abbildung oben:
Ein Umfangswinkel, auch Peripheriewinkel genannt, wird von zwei Sehnen gebildet und hat seinen Scheitelpunkt auf dem Kreis. Seine Schenkel verbinden den Scheitelpunkt mit zwei weiteren Punkten auf dem Kreis.
In der Abbildung oben:
Stehen ein Mittelpunktswinkel und ein Umfangswinkel über demselben Bogen, sind ihre Winkelmaße fest miteinander verknüpft.
Wenn ein Mittelpunktswinkel und ein Umfangswinkel über demselben Bogen stehen, dann gilt:
Für den Beweis ergänzen wir eine Hilfslinie. So lässt sich der Zusammenhang auf die Basiswinkel gleichschenkliger Dreiecke zurückführen.
Beweisschritte:
Diese Konstruktion beweist die dargestellte Lage, in der auf dem gegenüberliegenden Bogen liegt. Andere Lagen lassen sich in dieselben Fälle mit gleichschenkligen Dreiecken zerlegen. Entscheidend ist immer, dass die verglichenen Winkel über demselben Bogen liegen.
Umfangswinkel über einem Durchmesser
Jeder Umfangswinkel über einem Durchmesser misst und ist damit ein rechter Winkel.
Umfangswinkel über demselben Bogen
, denn beide Winkel stehen über demselben Bogen .
Gegeben ist der Mittelpunktswinkel . Gesucht ist der Umfangswinkel über demselben Bogen.
Lösung:
Gegeben ist der Umfangswinkel . Gesucht ist der Mittelpunktswinkel über demselben Bogen.
Lösung:
Wenn der Mittelpunktswinkel eines Kreises beträgt, wie groß ist der Umfangswinkel über demselben Bogen?
Der Umfangswinkel beträgt . Bestimme den zugehörigen Mittelpunktswinkel über demselben Bogen.
In einem Kreis steht der Umfangswinkel über einem Durchmesser. Wie groß ist ?
Zwei Umfangswinkel stehen über demselben Bogen. Einer misst . Wie groß ist der andere?
Der Umfangswinkel steht über demselben Bogen wie der Mittelpunktswinkel. Deshalb ist er halb so groß: .
Der Mittelpunktswinkel und liegen über dem Bogen . Der Mittelpunktswinkel ist doppelt so groß:
Ein Durchmesser begrenzt einen Halbkreis mit dem Mittelpunktswinkel . Der Umfangswinkel ist halb so groß, daher gilt .
Umfangswinkel über demselben Bogen sind gleich groß. Der andere Winkel misst ebenfalls .