Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel

Definition des Mittelpunktswinkels

Ein Mittelpunktswinkel wird von zwei Radien gebildet und hat seinen Scheitelpunkt im Kreismittelpunkt. Seine Schenkel verbinden den Mittelpunkt mit zwei Punkten auf dem Kreis.

In der Abbildung oben:

• Punkt $O$ ist der Mittelpunkt des Kreises
• $OA$ und $OB$ sind Radien des Kreises
• $\angle AOB$ ist der Mittelpunktswinkel
• Das Maß des Mittelpunktswinkels wird mit $\alpha$ bezeichnet

Definition des Umfangswinkels

Ein Umfangswinkel, auch Peripheriewinkel genannt, wird von zwei Sehnen gebildet und hat seinen Scheitelpunkt auf dem Kreis. Seine Schenkel verbinden den Scheitelpunkt mit zwei weiteren Punkten auf dem Kreis.

In der Abbildung oben:

• Der Punkt $C$ liegt auf dem Kreis
• $CA$ und $CB$ sind Sehnen
• $\angle ACB$ ist der Umfangswinkel
• Punkt $O$ ist der Mittelpunkt des Kreises

Zusammenhang zwischen Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel

Stehen beide Winkel über demselben Bogen, ist der Mittelpunktswinkel doppelt so groß wie der Umfangswinkel. Das folgende Diagramm zeigt diesen Zusammenhang.

Im Diagramm zum Zusammenhang beträgt der Mittelpunktswinkel $45^\circ$. Für den Umfangswinkel über demselben kleinen Bogen folgt:

Beweis des Zusammenhangs

Zeichne den Durchmesser durch $C$ und den Mittelpunkt $O$. Die beiden entstehenden gleichschenkligen Dreiecke verbinden den Umfangswinkel mit dem Mittelpunktswinkel.

Beweisschritte:

1. Zeichne die Gerade $CD$ durch den Kreismittelpunkt $O$.
2. Alle vier Strecken $OA = OB = OC = OD$ sind Radien und daher gleich lang.
3. Die Dreiecke $AOC$ und $BOC$ sind gleichschenklig.
4. Setze $\angle ACO = x$ und $\angle BCO = y$.
5. Wegen der gleich langen Schenkel gilt auch $\angle CAO = x$ und $\angle CBO = y$.
6. Der Außenwinkelsatz liefert $\angle AOD = 2x$ und $\angle BOD = 2y$.
7. Zusammengenommen folgt $\angle AOB = 2x + 2y = 2(x + y) = 2 \times \angle ACB$.

Diese Konstruktion beweist die dargestellte Lage, in der $C$ auf dem $AB$ gegenüberliegenden Bogen liegt. Andere Lagen lassen sich in dieselben Fälle mit gleichschenkligen Dreiecken zerlegen. Entscheidend ist immer, dass die verglichenen Winkel über demselben Bogen liegen.

Eigenschaften beider Winkelarten

Aus dem Zusammenhang ergeben sich zwei nützliche Folgerungen. Ein Durchmesser bestimmt einen gestreckten Mittelpunktswinkel. Bleibt der zugehörige Bogen gleich, bleibt auch sein Mittelpunktswinkel gleich, selbst wenn du den Scheitelpunkt des Umfangswinkels auf dem Kreis verschiebst.

Umfangswinkel über einem Durchmesser

Jeder Umfangswinkel über einem Durchmesser misst $90^\circ$ und ist damit ein rechter Winkel.

Ein Halbkreis bestimmt einen gestreckten Mittelpunktswinkel, also:

Umfangswinkel über demselben Bogen

$\angle ACB = \angle ADB$, denn beide Winkel stehen über demselben Bogen $AB$. Mit anderen Worten: Verschiebst du $C$ nach $D$ entlang desselben Bogens, bleibt das Maß gleich.

Hier liegen beide Scheitelpunkte auf demselben großen Bogen. Beide Winkel stehen über dem kleinen Bogen mit Mittelpunktswinkel $45^\circ$.

Umfangswinkel berechnen

Gegeben ist der Mittelpunktswinkel $\angle AOB = 80^\circ$. Gesucht ist der Umfangswinkel $\angle ACB$ über demselben Bogen.

Lösung:

Mittelpunktswinkel berechnen

Gegeben ist der Umfangswinkel $\angle ACB = 35^\circ$. Gesucht ist der Mittelpunktswinkel $\angle AOB$ über demselben Bogen.

Lösung:

Übungsaufgaben

Bestimme zuerst Scheitelpunkt und zugehörigen Bogen. Halbiere oder verdopple bei einem Paar aus Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel. Nutze in den letzten beiden Aufgaben die Eigenschaften des Durchmessers und gleicher Bögen.

1. Wenn der Mittelpunktswinkel eines Kreises $120^\circ$ beträgt, wie groß ist der Umfangswinkel über demselben Bogen?

2. Der Umfangswinkel beträgt $\angle ACB = 45^\circ$. Bestimme den zugehörigen Mittelpunktswinkel $\angle AOB$ über demselben Bogen.

3. In einem Kreis steht der Umfangswinkel $\angle PQR$ über einem Durchmesser. Wie groß ist $\angle PQR$?

4. Zwei Umfangswinkel stehen über demselben Bogen. Einer misst $25^\circ$. Wie groß ist der andere?

Ausführliche Lösungen

Lösung 1

Der Umfangswinkel steht über demselben Bogen wie der Mittelpunktswinkel. Deshalb ist er halb so groß: $\frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ$.

Lösung 2

Der Mittelpunktswinkel und $\angle ACB$ liegen über dem Bogen $AB$. Der Mittelpunktswinkel ist doppelt so groß:

Lösung 3

Ein Durchmesser begrenzt einen Halbkreis mit dem Mittelpunktswinkel $180^\circ$. Der Umfangswinkel ist halb so groß, daher gilt $\angle PQR = 90^\circ$.

Lösung 4

Umfangswinkel über demselben Bogen sind gleich groß. Der andere Winkel misst ebenfalls $25^\circ$.