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Ein Wert mit heißt Nullstelle oder Wurzel des Polynoms . Der Faktorsatz verbindet solche Nullstellen direkt mit den Faktoren des Polynoms.
Sei ein Polynom und eine reelle Zahl.
ist ein Faktor von genau dann, wenn .
Die Aussage gilt in beide Richtungen. Ist ein Faktor bekannt, wird das Produkt beim Einsetzen seiner Nullstelle null. Umgekehrt bedeutet ein Polynomwert von null, dass bei der Division kein Rest bleibt.
| Bekannte Information | Folgerung |
|---|---|
Der Faktorsatz ist ein Sonderfall des Restsatzes. Ausgangspunkt ist der Divisionsalgorithmus:
Und aus dem Restsatz wissen wir .
Jede bestätigte Nullstelle liefert einen Linearfaktor. Dividiere das Polynom durch diesen Faktor und zerlege anschließend den Quotienten. Bei jeder Division durch einen Linearfaktor sinkt der Grad um eins. Dadurch wird die nächste Rechnung einfacher.
Die Faktorisierung hängt vom Zahlbereich ab. Über den reellen Zahlen lässt sich nicht in Linearfaktoren zerlegen, denn . Behalte solche Faktoren sowie einen gegebenenfalls nötigen Leitkoeffizienten bei. Zum Beispiel:
Sei . Die Koeffizientensumme ist . Genau diese Summe entsteht beim Einsetzen von eins, also gilt .
Schritt 1. Null bestätigen
Berechne .
Schritt 2. Faktor bestätigen
Da , ist ein Faktor von .
Schritt 3. Polynom dividieren
Wir verwenden die Horner-Methode, um durch () zu dividieren.
Der Quotient ist . Der Rest beträgt erwartungsgemäß .
Also .
Schritt 4. Quotienten faktorisieren
Faktorisiere das quadratische Polynom .
Die Zahlen und passen: Ihre Summe ist , ihr Produkt .
Schritt 5. Vollständige Faktorisierung
Fasse alle Faktoren zusammen.
Sei . Zeige, dass gilt, und verwende dieses Ergebnis, um vollständig zu faktorisieren. Schon die Division dieses kubischen Polynoms durch den ersten Linearfaktor liefert einen quadratischen Quotienten. Suche zwei Zahlen, deren Summe und Produkt zu den entsprechenden Koeffizienten passen.
Schritt 1. Zeige
Damit ist bestätigt.
Schritt 2. Faktor bestätigen
Da , ist ein Faktor von .
Schritt 3. Polynom dividieren (Horner-Methode mit )
Der Quotient ist .
Also .
Schritt 4. Quotienten faktorisieren
Faktorisiere .
Für diesen Quotienten gilt und .
Schritt 5. Vollständige Faktorisierung
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