Den Faktorsatz verstehen
Wenn wir ein Polynom durch dividieren, ist der Rest manchmal Null. Aus dem Restsatz wissen wir, dass gilt, wenn der Rest Null ist. Was bedeutet es also, wenn ?
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Wenn wir ein Polynom durch dividieren, ist der Rest manchmal Null. Aus dem Restsatz wissen wir, dass gilt, wenn der Rest Null ist. Was bedeutet es also, wenn ?
Ein Wert mit heißt Nullstelle oder Wurzel des Polynoms . Der Faktorsatz verbindet solche Nullstellen direkt mit den Faktoren des Polynoms.
Sei ein Polynom und eine reelle Zahl.
ist ein Faktor von genau dann, wenn .
Dies ist eine zweiseitige Aussage:
Wenn ein Faktor von ist, dann .
(Wenn eine Zahl perfekt durch eine andere Zahl teilbar ist, muss der Rest Null sein).
Wenn , dann ist ein Faktor von .
(Wenn der Wert des Polynoms bei Null ist, bedeutet dies, dass das Polynom genau teilt).
Der Faktorsatz ist ein Sonderfall des Restsatzes. Ausgangspunkt ist der Divisionsalgorithmus:
Und aus dem Restsatz wissen wir .
Der Faktorsatz macht aus einer bestätigten Nullstelle einen linearen Faktor. Wird dieser Vorgang wiederholt, sinkt der Grad, bis sich das verbleibende Polynom im betrachteten Zahlbereich faktorisieren lässt.
Allgemeine Schritte:
Nullstelle finden: Suche mithilfe geeigneter Kandidaten oder eines Hinweises, etwa der Koeffizientensumme, einen Wert mit .
Faktor bestätigen: Gilt , dann ist nach dem Faktorsatz ein Faktor von .
Polynom dividieren: Teile mit dem Horner-Schema oder der Polynomdivision durch . Der Quotient ist .
Quotienten faktorisieren: Lässt sich weiter zerlegen, wiederhole den Vorgang ab Schritt für , bis vollständig faktorisiert ist.
Faktorisierung notieren: Schreibe als Produkt aller gefundenen Faktoren.
Sei . Die Koeffizientensumme ist . Genau diese Summe entsteht beim Einsetzen von eins, also gilt .
Null bestätigen:
Berechne .
Faktor bestätigen:
Da , ist ein Faktor von .
Polynom dividieren:
Wir verwenden die Horner-Methode, um durch () zu dividieren.
Quotienten faktorisieren:
Faktorisiere das quadratische Polynom .
Vollständige Faktorisierung:
Fasse alle Faktoren zusammen.
Sei . Zeige, dass gilt, und faktorisiere damit vollständig.
Zeige :
Damit ist bestätigt.
Faktor bestätigen:
Da , ist ein Faktor von .
Polynom dividieren (Horner-Methode mit ):
Quotienten faktorisieren:
Faktor .
Vollständige Faktorisierung:
Der Quotient ist . Der Rest beträgt erwartungsgemäß .
Also .
Der Quotient ist .
Also .