For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.
Das Horner-Schema verkürzt die Polynomdivision, wenn der Divisor linear ist, etwa . Statt alle Variablen und Potenzen auszuschreiben, arbeiten wir nur mit der geordneten Koeffizientenfolge sowie wiederholten Multiplikationen und Additionen.
Um zu sehen, wie Horners Methode den Prozess vereinfacht, vergleichen wir die Division von (oder ) durch unter Verwendung beider Methoden:
Polynomdivision:
Horners Methode:
Im Horner-Schema brauchen wir nur die Koeffizienten und den Wert . Die ersten drei Zahlen der unteren Zeile, , sind die Koeffizienten des Quotienten . Die letzte Zahl ist der Rest.
Damit ist die Rechnung deutlich kompakter als bei der ausgeschriebenen Polynomdivision.
Direkt anwendbar ist das Schema bei einem linearen Divisor der Form . Ein Divisor wie muss zuerst passend umgeformt werden.
Vor der Division mit der Horner-Methode sind mehrere Vorbereitungsschritte erforderlich:
Koeffizienten des Dividenden notieren:
Schreibe die Koeffizienten vom höchsten Exponenten bis zum konstanten Glied auf. Fehlt eine Potenz, muss an ihrer Stelle der Koeffizient stehen.
Beispiel:
Bei fehlt der -Term. Seine Stelle erhält daher den Koeffizienten . Die vollständige Folge lautet .
Den Wert aus dem Divisor ablesen:
Lies aus dem Divisor ab. Steht er als , verwenden wir . Bei entspricht der Divisor , daher verwenden wir .
Horner-Schema aufbauen:
Setze links vor das Schema und schreibe die Koeffizienten von in die obere Zeile.
Hier sind die Schritte zur Durchführung einer Division nach dem Horner-Schema:
Teilen wir durch mit beiden Methoden.
Polynomdivision:
Horners Methode:
Vorbereitung:
Horner-Prozess:
Schema-Erklärung:
Ergebnis:
Schreiben in Form eines Divisionsalgorithmus:
Bestimme Quotient und Rest der Division von durch sowohl mit dem Horner-Schema als auch mit der Polynomdivision.
Gib das Ergebnis in der Form an.
Polynomdivision:
Horners Methode:
Ergebnis:
Schreiben in Form eines Divisionsalgorithmus:
Beispiel:
Wenn der Teiler ist, dann , also .
