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Um zu sehen, wie Horners Methode den Prozess vereinfacht, vergleichen wir die Division von (oder ) durch unter Verwendung beider Methoden:
Polynomdivision:
Horners Methode:
Im Horner-Schema brauchen wir nur die Koeffizienten und den Wert . Die ersten drei Zahlen der unteren Zeile, , sind die Koeffizienten des Quotienten . Die letzte Zahl ist der Rest.
Direkt anwendbar ist das Schema bei einem linearen Divisor der Form . Ein Divisor wie muss zuerst passend umgeformt werden.
Die Koeffizientenfolge muss alle Potenzen vom höchsten Exponenten bis zum konstanten Glied enthalten. Für einen fehlenden Term trägst du null ein. Bei erhältst du:
| Potenz | Koeffizient |
|---|---|
| 2 | |
| 5 | |
| 0 | |
| 6 |
Links im Schema steht die Nullstelle des Divisors. Aus folgt , nicht drei. Die Polynomkoeffizienten stehen in der oberen Zeile.
In jeder Spalte multiplizierst du das vorige Ergebnis und addierst den nächsten Koeffizienten. Diese Regel folgt aus der geschachtelten Produktdarstellung des Polynoms:
Beginne mit dem ersten Koeffizienten, also zwei. Nach dem letzten Koeffizienten erhältst du den Polynomwert an der Nullstelle des Divisors. Nach dem Restsatz ist das der Divisionsrest. Die vorigen Ergebnisse sind die Koeffizienten des Quotienten.
Teilen wir durch mit beiden Methoden.
Polynomdivision:
Horners Methode:
| Nächster Koeffizient | Multiplikation | Addition |
|---|---|---|
| 5 | ||
| 0 | ||
| 6 |
Die letzte Zahl ist der Rest, also . Die vorigen Zahlen liefern den Quotienten . Damit gilt:
Bei einem Divisor mit verwendest du im Schema. Danach teilst du den erhaltenen Quotienten durch den Leitkoeffizienten des Divisors. Der Rest bleibt unverändert.
Dasselbe Schema funktioniert zum Beispiel für . Damit das Produkt gleich bleibt, teilst du den bisherigen Quotienten durch zwei:
Bestimme Quotient und Rest der Division von durch sowohl mit dem Horner-Schema als auch mit der Polynomdivision.
Gib das Ergebnis in der Form an. Beide Verfahren müssen dieselben Werte liefern, und die Gradprüfung sagt dir, wie viele Terme der Quotient haben kann.
Polynomdivision:
Horners Methode:
Ergebnis:
Schreiben in Form eines Divisionsalgorithmus:
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