Lange Polynomdivision

Die schriftliche Zahlendivision auf Polynome übertragen

Die schriftliche Polynomdivision bestimmt $Quotient und Rest$ bei der Division zweier Polynome. Ihr Ablauf ähnelt der schriftlichen Division ganzer Zahlen. Die Spaltenausrichtung ist es, die dieses Muster funktionieren lässt, denn nur gleichartige Terme dürfen voneinander subtrahiert werden.

Vorbereitung

Vor der Division sind einige Vorbereitungen nötig:

$Terme ordnen$ :

Ordne den Dividenden ( $P(x)$ ) und den Divisor ( $Q(x)$ ) nach fallenden Potenzen der Variablen.
$Fehlende Potenzen ergänzen$ :

Fehlt eine Potenz, $ergänze ihren Nullkoeffizienten$ als Platzhalter. Dadurch stehen beim Subtrahieren gleiche Potenzen in derselben Spalte.

$Beispiel$ :

Wenn $P(x) = 4x^4 + 17x^3 - 3x + 1$ , fehlt der $x^2$ -Term.

Also schreiben wir es als $P(x) = 4x^4 + 17x^3 + 0x^2 - 3x + 1$ .
$Divisionsschema aufbauen$ :

Schreibe die Division als schriftliches Schema. Das vervollständigte $P(x)$ steht unter dem Divisionsstrich, $Q(x)$ als Divisor davor.

Schritte der Polynomdivision

Der Divisor darf $nicht das Nullpolynom$ sein. In jedem Durchgang beseitigen Multiplikation und Subtraktion den führenden Term des vorläufigen Rests. Beende die Division, wenn der Rest null ist oder einen kleineren Grad als der Divisor hat.

Beispiel einer Polynomdivision

Dividiere $P(x) = 4x^4 + 17x^3 - 3x + 1$ durch $Q(x) = x^2 + 4x - 1$ .

$Schritt 1$ . Vorbereitung

$P(x) = 4x^4 + 17x^3 + 0x^2 - 3x + 1$ (Ergänze den fehlenden $x^2$ -Term.)

Q(x) = x^2 + 4x - 1

$Schritt 2$ . Divisionsrechnung

Der Quotient lautet $4x^2+x$ und der Rest $-2x+1$ . Die folgenden Schritte zeigen jede Multiplikation und Subtraktion einschließlich des Nullkoeffizienten von $x^2$ .

$Schritt 3$ . Schritt-für-Schritt-Erklärung

$Iteration 1$ :

$Dividieren$ : Teile den führenden Term $4x^4$ durch den führenden Term des Divisors $x^2$ :

\frac{4x^4}{x^2} = 4x^2

Schreibe $4x^2$ als ersten Term des Quotienten.

$Multiplizieren$ : Multipliziere $4x^2$ mit dem Divisor $x^2 + 4x - 1$ :

\begin{aligned} &4x^2(x^2 + 4x - 1) \\ &= 4x^4 + 16x^3 - 4x^2 \end{aligned}

$Subtrahieren$ : Subtrahiere das Produkt vom anfänglichen Polynom:

\begin{aligned} &(4x^4 + 17x^3 + 0x^2) \\ &\quad{}- (4x^4 + 16x^3 - 4x^2) \\ &= x^3 + 4x^2 \end{aligned}

$Herunterziehen$ : Ziehe den nächsten Term ( $-3x$ ) herunter, um das neue Polynom zu erhalten:

x^3 + 4x^2 - 3x

$Iteration 2$ :

$Dividieren$ : Teile den führenden Term des neuen Polynoms $x^3$ durch den führenden Term des Divisors $x^2$ :

\frac{x^3}{x^2} = x

Schreibe $+x$ als nächsten Term des Quotienten.

$Multiplizieren$ : Multipliziere $x$ mit dem Divisor $x^2 + 4x - 1$ :

x(x^2 + 4x - 1) = x^3 + 4x^2 - x

$Subtrahieren$ : Subtrahiere das Produkt vom aktuellen Polynom:

\begin{aligned} &(x^3 + 4x^2 - 3x) \\ &\quad{}- (x^3 + 4x^2 - x) = -2x \end{aligned}

$Herunterziehen$ : Ziehe den nächsten Term ( $+1$ ) herunter, um den vorläufigen Rest zu erhalten:

-2x + 1

$Abbruch$ : Der Grad des Restes ( $-2x+1$ , Grad $1$ ) ist kleiner als der Grad des Divisors ( $x^2+4x-1$ , Grad $2$ ). Damit ist die Division beendet.

$Schritt 4$ . Ergebnis

Der Quotient ( $H(x)$ ) ist $4x^2 + x$ . Der Rest ( $S(x)$ ) beträgt $-2x + 1$ .

$Schritt 5$ . Schreiben in Form eines Divisionsalgorithmus

Mit dem Divisionsalgorithmus können wir das Ergebnis so schreiben:

Bruchform:

\begin{aligned} &\frac{4x^4 + 17x^3 - 3x + 1}{x^2 + 4x - 1} \\ &= 4x^2 + x + \frac{-2x + 1}{x^2 + 4x - 1} \end{aligned}

Multiplikationsform:

\begin{aligned} &4x^4 + 17x^3 - 3x + 1 \\ &= (x^2 + 4x - 1)(4x^2 + x) \\ &\quad{}+ (-2x + 1) \end{aligned}

Die Polynomdivision hält jeden Divisions-, Multiplikations- und Subtraktionsschritt fest. Diese Anordnung funktioniert für Divisoren beliebigen positiven Grades und erleichtert die Kontrolle mit $P(x)=Q(x)H(x)+S(x)$ .

Die Bruchform gilt nur für Eingaben mit $Q(x)\ne0$ . Die Produktidentität gilt weiterhin für alle Eingaben.

Übung

Bestimme bei der Division von $P(x) = x^3 - x + 9$ durch $Q(x) = x^2 - 2x + 3$ das $Quotientenpolynom$ $H(x)$ und das Restpolynom $S(x)$ . Prüfe das Ergebnis, indem du den Divisor mit dem Quotienten multiplizierst und den Rest addierst.

Gib das Ergebnis in der Form $P(x) = Q(x) \cdot H(x) + S(x)$ an.

Ausführliche Lösung

$Ergänze den Nullkoeffizienten$ von $P(x)$ zu $x^3 + 0x^2 - x + 9$ , damit alle Potenzen in absteigender Reihenfolge vorhanden sind.

\begin{array}{l} \qquad\qquad\qquad x + 2 \\ x^2-2x+3\overline{\big)x^3 + 0x^2 - x + 9} \\ \qquad\qquad\underline{-(x^3 - 2x^2 + 3x)} \\ \qquad\qquad\qquad\quad 2x^2 - 4x + 9 \\ \qquad\qquad\qquad\underline{-(2x^2 - 4x + 6)} \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 3 \\ \end{array}

Zuerst werden die führenden Terme dividiert: $x^3 \div x^2 = x$ . Nach dem Multiplizieren und Subtrahieren lautet der neue führende Term $2x^2$ . Deshalb ist der nächste Quotiententerm $2x^2 \div x^2 = 2$ . Der verbleibende Rest $3$ hat einen kleineren Grad als der Divisor, also endet die Division hier.

Quotient: $H(x) = x + 2$
Rest: $S(x) = 3$
Form des Divisionsalgorithmus:

$\begin{aligned} &x^3 - x + 9 \\ &= (x^2 - 2x + 3)(x + 2) + 3 \end{aligned}$