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Alle Zahlen auszuprobieren wäre ineffizient. Der Satz über rationale Nullstellen grenzt die möglichen rationalen Kandidaten auf eine endliche Liste ein.
Sei ein Polynom, dessen Koeffizienten () ganze Zahlen sind, wobei und gelten.
Wenn das Polynom eine rationale Nullstelle (Wurzel) der Form hat (wobei und ganze Zahlen sind, und ein Bruch in einfachster Form ist), dann:
Der Satz liefert nur mögliche rationale Nullstellen. Jeder Kandidat muss anschließend geprüft werden.
Ein Kandidat ist noch keine Nullstelle. Verwende positive und negative Teiler des konstanten Glieds als Zähler und positive Teiler des Leitkoeffizienten als Nenner. Kürze die Brüche, damit du gleiche Werte nicht mehrfach prüfst. Teste jeden Kandidaten durch Einsetzen oder mit dem Horner-Schema.
Ist das konstante Glied null, klammere zuerst aus. Zum Beispiel besitzt die Nullstelle null. Der verbleibende Faktor liefert die Nullstelle zwei.
Passt kein Kandidat, gibt es lediglich keine rationalen Nullstellen. Für sind die Kandidaten , doch keiner ergibt den Polynomwert null. Trotzdem gibt es die reellen Nullstellen .
Faktorisiere das Polynom vollständig.
Schritt 1. Koeffizienten identifizieren
Die Koeffizienten sind ganze Zahlen. und .
Schritt 2. Faktoren von (von )
Schritt 3. Faktoren von (von )
Schritt 4. Mögliche Nullstellen
Die Division aller durch ergibt:
Schritt 5
| Kandidat | Ergebnis des Einsetzens | Entscheidung |
|---|---|---|
| 1 | Keine Nullstelle | |
| -1 | Keine Nullstelle | |
| 2 | Keine Nullstelle | |
| -2 | Nullstelle | |
| 3 | Nullstelle |
Verwende die Nullstelle für die Division. Auch ist eine Nullstelle. Sie erscheint wieder beim Faktorisieren des Quotienten.
Schritt 6. Weiter faktorisieren (mit der Nullstelle )
Teile mithilfe des Horner-Schemas durch mit .
Der Quotient ist .
Also .
Schritt 7. Quotienten faktorisieren
Faktorisiere .
Schritt 8. Vollständige Faktorisierung
Faktorisiere vollständig mithilfe des Satzes über rationale Nullstellen und des Faktorsatzes. Notiere die möglichen Nullstellen aus den Teilern des konstanten Glieds und des Leitkoeffizienten, prüfe sie der Reihe nach und teile jeden bestätigten Faktor heraus.
Schritt 1. Koeffizienten identifizieren , .
Schritt 2. Faktoren von (aus ) , , , , , .
Schritt 3. Faktoren von (aus ) , .
Schritt 4. Mögliche Nullstellen , , , , , , , .
Schritt 5. Nullstellen prüfen
Prüfe .
Da gilt, ist eine Wurzel und ein Faktor.
Schritt 6. Division mit dem Horner-Schema ()
Der Quotient ist .
.
Schritt 7. Quotienten faktorisieren
Faktorisiere .
Schritt 8. Vollständige Faktorisierung
Die Nullstelle tritt doppelt auf, denn der Faktor steht im Quadrat. Die andere Nullstelle ist und folgt aus .
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