Rationale Wurzeln von Polynomen finden
Aus dem Faktorsatz wissen wir: Einen Faktor zu finden ist gleichbedeutend damit, eine Nullstelle des Polynoms zu finden. Doch wie bestimmen wir , besonders bei einem Polynom hohen Grades?
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Aus dem Faktorsatz wissen wir: Einen Faktor zu finden ist gleichbedeutend damit, eine Nullstelle des Polynoms zu finden. Doch wie bestimmen wir , besonders bei einem Polynom hohen Grades?
Alle Zahlen auszuprobieren wäre ineffizient. Der Satz über rationale Nullstellen grenzt die möglichen rationalen Kandidaten auf eine endliche Liste ein.
Sei ein Polynom, dessen Koeffizienten () ganze Zahlen sind, wobei und gelten.
Wenn das Polynom eine rationale Nullstelle (Wurzel) der Form hat (wobei und ganze Zahlen sind, und ein Bruch in einfachster Form ist), dann:
Der Satz liefert nur mögliche rationale Nullstellen. Jeder Kandidat muss anschließend geprüft werden.
Hier sind die Schritte zum Finden rationaler Wurzeln mithilfe dieses Theorems, oft kombiniert mit dem Faktorsatz:
Faktorisiere das Polynom vollständig.
Koeffizienten identifizieren:
Die Koeffizienten sind ganze Zahlen. und .
Faktoren von (von ):
Faktoren von (von ):
Mögliche Nullstellen :
Die Division aller durch ergibt:
Mögliche Nullstellen prüfen: Prüfen wir einige Werte aus der Liste.
Prüfe :
Weiter faktorisieren (mit der Nullstelle ):
Teile mithilfe des Horner-Schemas durch mit .
Quotienten faktorisieren:
Faktorisiere .
Vollständige Faktorisierung:
Faktorisiere vollständig mithilfe des Satzes über rationale Nullstellen und des Faktorsatzes.
Koeffizienten identifizieren: , .
Faktoren von (aus ): .
Faktoren von (aus ): .
Mögliche Nullstellen : .
Nullstellen prüfen:
Prüfe .
Division mit dem Horner-Schema ():
Quotienten faktorisieren:
Faktorisiere .
Vollständige Faktorisierung:
Prüfe :
Prüfe :
Prüfe :
Erfolg! ist also eine Wurzel und ein Faktor.
Alternativ prüfen wir :
Erfolg! ist also eine Wurzel und ein Faktor.
Der Quotient ist .
Also .
Da gilt, ist eine Wurzel und ein Faktor.
Der Quotient ist .
.