Den Restsatz verstehen
Der Rest einer Polynomdivision lässt sich oft bestimmen, ohne die vollständige Division oder das Horner-Schema auszuführen. Der Restsatz verbindet diesen Rest direkt mit einem Funktionswert des Polynoms.
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Der Rest einer Polynomdivision lässt sich oft bestimmen, ohne die vollständige Division oder das Horner-Schema auszuführen. Der Restsatz verbindet diesen Rest direkt mit einem Funktionswert des Polynoms.
Wenn ein Polynom durch geteilt wird, dann ist der Rest .
Um den Rest bei der Division von durch zu bestimmen, genügt also die Auswertung von bei .
Der Satz folgt direkt aus dem bekannten Polynomdivisionsalgorithmus:
Wo:
Setzen wir nun in den Divisionsalgorithmus ein:
Dies beweist, dass der Wert des Polynoms bei gleich dem Rest ist, wenn durch geteilt wird.
Mit dem Restsatz lässt sich ein Divisionsrest schnell bestimmen, ohne den gesamten Divisionsweg auszuschreiben.
Bestimme den Rest bei der Division von durch auf zwei Wegen.
Der Teiler ist oder , also .
Koeffizienten von (Vervollständigung des -Terms): .
Aus Horners Methode erhalten wir:
Nach dem Restsatz ist der Rest bei der Division von durch gleich .
Berechnen wir :
Beide Wege ergeben den Rest . Der Restsatz kommt dabei ohne das vollständige Divisionsschema aus.
Die Auswertung von liefert also genau den Rest der Division durch .
Bestimme mithilfe des Restsatzes den Rest bei der Division von durch .
Nach dem Restsatz ist der Rest bei der Division von durch gleich .
Der Rest ist also .