Restsatz

Den Divisionsrest durch Einsetzen bestimmen

Der Rest einer Polynomdivision lässt sich oft bestimmen, ohne die vollständige Division oder das Horner-Schema auszuführen. Der $Restsatz$ verbindet diesen Rest direkt mit einem Funktionswert des Polynoms.

Der Satz gilt für einen $linearen Divisor$ . Setze den Wert ein, bei dem dieser Divisor null wird.

Aussage des Restsatzes

Wenn ein Polynom $P(x)$ durch $(x - c)$ geteilt wird, dann ist der Rest $S = P(c)$ .

Um den $Rest$ bei der Division von $P(x)$ durch $(x - c)$ zu bestimmen, genügt also die Auswertung von $P(x)$ bei $x = c$ .

Für $P(x)=2x^2-3x+4$ und den Divisor $x-2$ erhältst du:

P(2)=2(2)^2-3(2)+4=8-6+4=6

Warum der Restsatz gilt

Der Satz folgt direkt aus dem bekannten $Polynomdivisionsalgorithmus$ :

P(x) = (x - c) \cdot H(x) + S

Dabei gilt:

$P(x)$ ist das Dividendenpolynom.
$(x - c)$ ist das Teilerpolynom (Grad $1$ ).
$H(x)$ ist der Quotient.
$S$ ist der Rest (eine Konstante, da der Divisor vom Grad $1$ ist).

Setzen wir nun $x = c$ in den Divisionsalgorithmus ein:

P(c) = (c - c) \cdot H(c) + S

Dies beweist, dass der Wert des Polynoms $P(x)$ bei $x = c$ gleich dem Rest $S$ ist, wenn $P(x)$ durch $(x - c)$ geteilt wird.

Beim quadratischen Beispiel $wird das Produkt aus Divisor und Quotient für die Eingabe zwei null$ . Der Rest bleibt in der Divisionsidentität immer sechs:

2x^2-3x+4=(x-2)(2x+1)+6

Eingabe	Polynomwert	Divisor mal Quotient	Rest
1	3	-3	6
2	6	0	6
3	13	7	6

Bei einem Divisor zweiten Grades kann der Rest linear sein. Ein einzelner Polynomwert reicht dann nicht aus, um den gesamten Rest zu bestimmen.

Rechnen mit dem Restsatz

Mit dem Restsatz $lässt sich ein Divisionsrest schnell bestimmen$ , ohne den gesamten Divisionsweg auszuschreiben.

Bestimme den Rest bei der Division von $P(x) = 2x^5 + 5x^4 - 10x^3 + 9x^2 - 10$ durch $x + 4$ auf zwei Wegen.

Das Hornerverfahren anwenden

Der Teiler ist $x + 4$ oder $x - (-4)$ , also $c = -4$ .

Koeffizienten von $P(x)$ ( $null für den fehlenden Term ergänzen$ ): $2, 5, -10, 9, 0, -10$ .

\begin{array}{c|cccccc} -4 & 2 & 5 & -10 & 9 & 0 & -10 \\ & & -8 & 12 & -8 & -4 & 16 \\ \hline & 2 & -3 & 2 & 1 & -4 & \boxed{6} \\ \end{array}

Aus Horners Methode erhalten wir:

Quotient: $H(x) = 2x^4 - 3x^3 + 2x^2 + x - 4$
Rest: $S = \boxed{6}$

Verwendung des Restsatzes

Nach dem $Restsatz$ ist der Rest bei der Division von $P(x)$ durch $x - (-4)$ gleich $P(-4)$ .

Berechnen wir $P(-4)$ :

\begin{aligned} P(-4) &= 2(-4)^5 + 5(-4)^4 \\ &\quad{}- 10(-4)^3 + 9(-4)^2 - 10 \end{aligned}

Beide Wege ergeben den Rest $6$ . Der Restsatz kommt dabei ohne das vollständige Divisionsschema aus.

Die Auswertung von $P(c)$ liefert also genau den Rest der Division durch $(x-c)$ .

Übung

Bestimme mithilfe des Restsatzes den $Rest$ bei der Division von $P(x) = 3x^5 - 20x^4 - 6x^3 - 48x - 8$ durch $x - 7$ . Der Divisor $x - 7$ entspricht dem Wert $x = 7$ , sodass eine einzige Substitution genügt. Setze diesen Wert in das Polynom ein und gib die erhaltene Zahl als Rest an.

Ausführliche Lösung

Nach dem $Restsatz$ ist der Rest bei der Division von $P(x)$ durch $x-7$ gleich $P(7)$ .

\begin{aligned} P(7) &= 3(7)^5 - 20(7)^4 \\ &\quad{}- 6(7)^3 - 48(7) - 8 \end{aligned}

Der Rest ist also $-1$ .