Gleiche Vektoren

Gleiche Komponenten trotz verschiedener Anfangspunkte

Zwei Vektoren sind gleich, oder werden durch äquivalente gerichtete Strecken dargestellt, wenn ihre Komponenten übereinstimmen. Für Vektoren ungleich null bedeutet das zugleich: gleicher Betrag und gleiche Richtung. Für $\vec{a}$ und $\vec{b}$ schreiben wir $\vec{a} = \vec{b}$.

Gleiche Vektoren dürfen an verschiedenen Stellen einer Ebene oder des Raums eingezeichnet sein. Betrag und Richtung bleiben dabei unverändert.

Bedingungen für gleiche Vektoren

Zwei Vektoren sind gleich, wenn zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind, also prüfe beide, bevor du sie als gleich bezeichnest. Ein Paar, das nur eine der beiden Bedingungen erfüllt, ist nicht gleich.

Zwei Vektoren ungleich null, $\overrightarrow{CD}$ und $\overrightarrow{PQ}$, sind gleich, wenn:

1. Beide Vektoren haben die gleiche Länge: $|\overrightarrow{CD}| = |\overrightarrow{PQ}|$
2. Beide Vektoren haben die gleiche Richtung

Gleiche Vektoren darstellen

Zwei gleiche Vektoren haben dieselbe Länge und dieselbe Richtung, sodass einer den anderen vertreten kann. Diese Vertretung setzt einen Vektor an einen günstigeren Anfangspunkt, ohne den Vektor selbst zu ändern.

In Komponentenform

Gleiche Vektoren haben übereinstimmende Komponenten auf jeder Achse. Es genügt nicht, nur ihre Beträge zu vergleichen.

In der zweidimensionalen kartesischen Ebene sind $\vec{a}$ und $\vec{b}$ genau dann gleich, wenn ihre Komponenten übereinstimmen:

Diese Gleichheit gilt genau dann, wenn $a_1 = b_1$ und $a_2 = b_2$ gelten.

Im dreidimensionalen Raum sind die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ genau dann gleich, wenn:

Diese Gleichheit gilt genau dann, wenn $a_1 = b_1$, $a_2 = b_2$ und $a_3 = b_3$ gelten.

Mit Anfangspunkten und Endpunkten

Hat $\overrightarrow{AB}$ den Anfangspunkt $A(x_1, y_1)$ und den Endpunkt $B(x_2, y_2)$, ergeben sich seine Komponenten aus Endpunkt minus Anfangspunkt:

Die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{CD}$ sind gleich, wenn:

In dieser Gleichung ist $C(x_3, y_3)$ der Anfangspunkt und $D(x_4, y_4)$ der Endpunkt von $\overrightarrow{CD}$.

Regeln aus der Vektorgleichheit

Vektorgleichheit folgt aus der Gleichheit aller Komponenten. Reflexivität vergleicht einen Vektor mit sich selbst. Symmetrie vertauscht die Reihenfolge zweier gleicher Vektoren. Transitivität verbindet zwei Gleichheiten über einen gemeinsamen Zwischenvektor.

Reflexive Eigenschaft

Jeder Vektor ist sich selbst gleich.

Symmetrische Eigenschaft

Du darfst die linke und rechte Seite vertauschen, wenn zwei Vektoren gleich sind.

Ist der Vektor $\vec{a}$ gleich dem Vektor $\vec{b}$, dann ist auch der Vektor $\vec{b}$ gleich dem Vektor $\vec{a}$.

Transitive Eigenschaft

Zwei Gleichheiten lassen sich über denselben Zwischenvektor verbinden.

Ist der Vektor $\vec{a}$ gleich dem Vektor $\vec{b}$ und der Vektor $\vec{b}$ gleich dem Vektor $\vec{c}$, dann ist auch der Vektor $\vec{a}$ gleich dem Vektor $\vec{c}$.

Gleiche Vektoren anhand ihrer Komponenten prüfen

Beide Koordinatendifferenzen müssen übereinstimmen, denn schon eine abweichende Koordinate macht die beiden Vektoren ungleich. Wir vergleichen dazu die Verschiebung entlang jeder Achse getrennt, unabhängig davon, wo die beiden Pfeile beginnen.

Gleichheit durch übereinstimmende Komponentenänderungen

Der Vektor $\overrightarrow{AB}$ mit $A(2, 3)$ und $B(5, 7)$ ist gleich dem Vektor $\overrightarrow{CD}$ mit $C(1, 1)$ und $D(4, 5)$.

Berechne für beide Pfeile Endpunkt minus Anfangspunkt:

Da $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} = (3, 4)$ gilt, ist der Vektor $\overrightarrow{AB}$ gleich dem Vektor $\overrightarrow{CD}$.

Äquivalente Vektoren mit verschiedenen Anfangspunkten

Der Vektor $\overrightarrow{PQ}$ mit $P(0, 0)$ und $Q(2, 2)$ ist gleich dem Vektor $\overrightarrow{RS}$ mit $R(3, 1)$ und $S(5, 3)$.

Berechne für beide Pfeile Endpunkt minus Anfangspunkt:

Da $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{RS} = (2, 2)$ gilt, ist der Vektor $\overrightarrow{PQ}$ gleich dem Vektor $\overrightarrow{RS}$.

Warum die Startpunkte verschieden sein können

Gleiche Vektoren haben denselben Betrag und dieselbe Richtung, auch wenn ihre Startpunkte verschieden sind. Dieselbe Verschiebung kann deshalb an unterschiedlichen Positionen eingezeichnet werden, ohne den Vektor zu verändern. Das ist hilfreich, wenn wir Verschiebungen vergleichen oder einen Vektor in einer geometrischen Konstruktion versetzen.