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Gleiche Vektoren dürfen an verschiedenen Stellen einer Ebene oder des Raums eingezeichnet sein. Betrag und Richtung bleiben dabei unverändert.
Zwei Vektoren sind gleich, wenn zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind, also prüfe beide, bevor du sie als gleich bezeichnest. Ein Paar, das nur eine der beiden Bedingungen erfüllt, ist nicht gleich.
Zwei Vektoren ungleich null, und , sind gleich, wenn:
Zwei gleiche Vektoren haben dieselbe Länge und dieselbe Richtung, sodass einer den anderen vertreten kann. Diese Vertretung setzt einen Vektor an einen günstigeren Anfangspunkt, ohne den Vektor selbst zu ändern.
Gleiche Vektoren haben übereinstimmende Komponenten auf jeder Achse. Es genügt nicht, nur ihre Beträge zu vergleichen.
In der zweidimensionalen kartesischen Ebene sind und genau dann gleich, wenn ihre Komponenten übereinstimmen:
Diese Gleichheit gilt genau dann, wenn und gelten.
Im dreidimensionalen Raum sind die Vektoren und genau dann gleich, wenn:
Diese Gleichheit gilt genau dann, wenn , und gelten.
Hat den Anfangspunkt und den Endpunkt , ergeben sich seine Komponenten aus Endpunkt minus Anfangspunkt:
Die Vektoren und sind gleich, wenn:
In dieser Gleichung ist der Anfangspunkt und der Endpunkt von .
Vektorgleichheit folgt aus der Gleichheit aller Komponenten. Reflexivität vergleicht einen Vektor mit sich selbst. Symmetrie vertauscht die Reihenfolge zweier gleicher Vektoren. Transitivität verbindet zwei Gleichheiten über einen gemeinsamen Zwischenvektor.
Jeder Vektor ist sich selbst gleich.
Du darfst die linke und rechte Seite vertauschen, wenn zwei Vektoren gleich sind.
Ist der Vektor gleich dem Vektor , dann ist auch der Vektor gleich dem Vektor .
Zwei Gleichheiten lassen sich über denselben Zwischenvektor verbinden.
Ist der Vektor gleich dem Vektor und der Vektor gleich dem Vektor , dann ist auch der Vektor gleich dem Vektor .
Beide Koordinatendifferenzen müssen übereinstimmen, denn schon eine abweichende Koordinate macht die beiden Vektoren ungleich. Wir vergleichen dazu die Verschiebung entlang jeder Achse getrennt, unabhängig davon, wo die beiden Pfeile beginnen.
Der Vektor mit und ist gleich dem Vektor mit und .
Berechne für beide Pfeile Endpunkt minus Anfangspunkt:
Da gilt, ist der Vektor gleich dem Vektor .
Der Vektor mit und ist gleich dem Vektor mit und .
Berechne für beide Pfeile Endpunkt minus Anfangspunkt:
Da gilt, ist der Vektor gleich dem Vektor .
Gleiche Vektoren haben denselben Betrag und dieselbe Richtung, auch wenn ihre Startpunkte verschieden sind. Dieselbe Verschiebung kann deshalb an unterschiedlichen Positionen eingezeichnet werden, ohne den Vektor zu verändern. Das ist hilfreich, wenn wir Verschiebungen vergleichen oder einen Vektor in einer geometrischen Konstruktion versetzen.
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